Дискретные системы

.

 

В этом случае уравнение разомкнутой импульсной системы будет иметь вид

 

 

или при записи с помощью решетчатых функций, принимая

 

Учитывая, что  при , можно заменить бесконечную сумму на конечную с пределом суммы n (при ε = 0 это уравнение связывает входную g₁[m] и выходную x₁[n] величины импульсной системы в дискретные моменты времени)

 

 

Приведенное уравнение позволяет  определять процессы на выходе системы  по известному входному воздействию.

 

Пример.

 

 

1.  ;  ;

2.  ;  ;

1.   →      →

→ 

 

2.  , причем  →

→   →  .

 

 →  – разностное 
                уравнение 
                системы

 

 

Дискретное  преобразование Лапласа и z-преобразование

 

1. Определения дискретного преобразования Лапласа и z-преобразования.

 

Для исследования импульсных систем автоматического регулирования, а  также в других прикладных задачах, связанных с решетчатыми функциями и разностными уравнениями, используется преобразование, определяемое формулой

 

,        (1)

где q = σ + j – комплексная переменная. Такое преобразование называется дискретным преобразованием Лапласа. Функция , определяемая приведенной выше формулой, называется изображением. Для смещенных решетчатых функций дискретное преобразование Лапласа может быть определено как

.

 

Наряду с дискретным преобразованием  Лапласа в теории автоматического  регулирования применяется так называемое z-преобразование, определяемая формулой (1), но с вводом нового обозначения z = e^q:

.

 

Изображения дискретного  преобразования Лапласа и z-преобразования связаны между собой соотношениями (принципиальной разницы между этими двумя преобразованиями нет):

 

 и  .

 

Для нахождения z-изображений  решетчатых функций по заданному  оригиналу и наоборот имеются специальные таблицы.

 

Пример:   1[n] →  , .

 

Необходимо отметить, что  все функции времени, имеющие одинаковые значения в дискретные моменты времени, обладают одинаковыми z-преобразованиями и поэтому связь между функцией времени и ее z-изображением не является взаимно однозначной. Однако семейство модифицированных (для смещенных решетчатых функций) z-преобразований решетчатой функции для всех ε от 0 до 1 однозначно определяет непрерывную функцию.

 

Непосредственно из определения  следует, что функция  является периодической вдоль мнимой оси. Поэтому достаточно изучить свойства в любой полосе шириной 2π. Наиболее удобна для этой цели полоса – π < Im q ≤ + π, симметричная относительно действительной оси плоскости q, которую называют основной.

Преобразование комплексной переменной q по формуле z = e^q переводит основную полосу плоскости q на всю расширенную плоскость комплексной переменной z. При этом отрезок мнимой оси – π < ≤ + π отображается в окружность единичного радиуса z = e ^j . Левая полуполоса Re q < 0 отображается во внутренность единичного круга | z | < 1, а правая – во внешность.

 

 

2. Обратное преобразование.

 

Обратное преобразование определяет решетчатую функцию по заданному  изображению:

 

.

 

Обратное z-преобразование изображения  выходной величины системы  f [n, ε] = Z_ε^-1{F(z, ε)} может быть найдено на основании формулы обращения

 

 

где z_i  – полюсы функции F(z, ε);  i = 1, 2, ..., k.

Вычет в простом полюсе определяется по формуле

 

 

а в полюсе кратности r

 

Дискретные значения переходного  процесса могут быть найдены также  путем разложения изображения выходной величины F(z, ε) в ряд Лорана по степеням z^-1

 

F(z, ε) = F₀ + F₁ z^-1 + F₂ z^-2 + F₃ z^-3 + ...  .

 

Коэффициенты этого ряда определяют значения выходной величины  замкнутой  импульсной  системы  в дискретные моменты времени t = (n + ε)T. Так как изображение F(z, ε) представляет собой отношение двух полиномов, то коэффициенты ряда F₀, F₁, F₂, ... могут быть получены делением полинома числителя на полином знаменателя. Следует отметить, что при малых периодах дискретности ряд сходится медленно и объем вычислительной работы очень велик.

 

Пример. Определить переходный процесс при единичном ступенчатом входном воздействии на выходе импульсной системы, передаточная функция которой имеет следующий вид:

.

 

Решение. Z-изображение входного воздействия G(z) = z/(z-1).

Следовательно,   

 

= 0,646 z ^–1+1,25 z ^–2+1,42 z ^–3+1,34 z ^–4+1,2 z ^–5+1,11 z ^–6+1,08 z ^–7+...  .

 

Полученные коэффициенты сведены  в таблицу, на основании которой  на можно построить кривую переходного процесса.

 

Таблица  значений переходного  процесса

 

Время t = nT	Выходная величина y[nT]
0 1T 2T 3T 4T 5T 6T 7T   и т.д.	0 0,64 1,25 1,42 1,34 1,20 1,11 1,08 ...

 

 

3. Свойства z-преобразования.

 

Свойства z-преобразования изложены в  литературе, поэтому ограничимся  рассмотрением некоторых из них, которые потребуются в дальнейшем.

 

1. Свойство линейности. Если F₁(z, ε) = Z _ε {f₁(t)} и F₂(z, ε) = Z _ε {f₂(t)}, тогда

 

Z _ε {a₁ f₁(t) + a₂ f₂(t)}= a₁ F₁(z, ε) + a₂ F₂(z, ε).                  (1)

 

2. Теорема сдвига (смещения). Если  Z _ε {f (t)} = F (z, ε) и t – произвольное положительное число, 
тогда

 

           (2.1)

 

где  ,  m – целая,  – дробная часть числа t/T;

если t = mT, тогда

Z _ε {f (t – mT)} = Z _ε {f [n – m]} = z ^–m F (z, ε)     (2.2)

или

Z _ε {f (t + mT)} =  z^m {F (z, ε) – }        (2.3)

3. Изображение конечных разностей:

 

Z {Δf [n]} = (z – 1) F(z) – z f [0]         (3.1)

 

или для разности порядка k и нулевых начальных условиях

 

Z {Δ^kf [n]} = (z – 1) ^k F(z)        (3.2)

 

4. Изображение конечных сумм:

 для полных сумм   –      ,                              (4.1)

для неполных сумм     –      .                               (4.2)

 

5. Предельные значения. Если дискретные значения функции в установившемся режиме существуют, то они могут быть найдены путем следующего предельного перехода:

 

,                    (5.1)

начальное значение функции оригинала:

 

.                          (5.2)

 

6. Свертка функций. Если F₁(z) = Z {f₁(t)} и F₂(z) = Z {f₂(t)}, то

 

          (6.1)

и   

                         (6.2)

 

8. Изображение разностных уравнений. Пусть разностное уравнение, связывающее выходную координату y[nT] импульсной системы с ее входным воздействием f [nT], имеет следующий вид:

 

a₀ y[n] + a₁ y[n -1] + .. .+ a_m y[n - m] = b₀ f [n] + b₁ f [n -1] + ... + b_l f [n - l],       (7.1)

 

при  m ³ l и y[n] º 0,  f [n] º 0 для всех n < 0.

 

Применив z-преобразование к исходному  уравнению, получим

 

a₀Y(z) + a₁ z^-1Y(z) + .. .+ a_m z^-mY(z) = b₀F(z) + b₁ z^-1F(z) + ... + b_l z^-lF(z),

 

которое можно переписать в виде

 

A(z)Y(z) = B(z)F(z),                                        (7.2)

где полиномы

 и    .                     (7.3)

 

Из (7.2) находим изображение выходной координаты

 

Y(z) = W(z) F(z),                                           (7.4)

 

где                  .

 

По аналогии с определением передаточной функции непрерывных систем выражение W(z) называется дискретной передаточной функцией импульсной системы.

Разностное уравнение можно  найти по дискретной передаточной функции в обратной последовательности.

 

Пример. Написать разностное уравнение, связывающие выходную координату у[nT] и входное воздействие f [nT] импульсной системы, заданной передаточной функцией 

.

Решение.  Домножим числитель и знаменатель W(z) на z^-2. В результате получим

.

На основании последнего выражения  разностное уравнение будет

 

a₀ y[n] + a₁ y[n - 1] + a₂ y[n - 2] = b₁ f [n - 1] + b₂ f [n - 2].

 

Его решение при нулевых начальных  условиях y[n] º 0, f [n] º 0 для всех n < 0:

 

y[n] = [1/a₀]´{b₁ f [n - 1] + b₂ f [n - 2] - a₁ y[n - 1] - a₂ y[n - 2]}.

 

Полученному решению соответствует  структурная схема, приведенная на рисунке.

Структурная схема импульсной системы

 

Связь между дискретным преобразованием Лапласа, z-преобразованием и собственно преобразованием Лапласа.

Справедливы формулы:

 

,

где F (q) – преобразование Лапласа для функции причем , где F₁(p) – преобразование Лапласа от непрерывной функции f₁(t).

Изображение для z-преобразование легко  получить из изображения дискретного  преобразования Лапласа посредством замены z = e^q.

 

Комплексный спектр решетчатой функции времени. Комплексный спектр решетчатой функции времени f [n, ε] представляет собой комплексную функцию вещественного переменного w, определяемую следующим выражением:

   при  -¥ < w < ¥.

 

Таким образом, для получения комплексного спектра необходимо в изображении  решетчатой функции произвести замену  z = e ^jwT. Комплексный спектр решетчатой функции является периодической функцией w с периодом 2p/T:

 

и, следовательно, может рассматриваться  на любом интервале значений w, длина которого равна 2p/T. В качестве такого интервала выбирают интервал

 

Подобно любой комплексной функции  комплексный спектр может быть представлен  в показательной или алгебраической форме записи:

 

F (e ^jwT, ε) = А (w, ε)´e ^{jy (w, ε)} = U (w, ε) + jV (w, ε),

 

где A (w, ε), y (w, ε), U (w, ε), V (w, ε) называются соответственно амплитудным, фазовым, вещественным и мнимым спектрами решетчатой функции f [n, ε]. При фиксированном значении w спектр изображается вектором в плоскости (U, jV); при изменении w от -p/T до +p/T, конец вектора F(e ^jwT, ε) прочерчивает некоторую кривую, которая является графическим изображением спектра.

 

4. Передаточные функции  разомкнутых импульсных систем

 

Как было показано выше, выходной сигнал импульсной системы может быть найден из выражения

.

В этом выражении связываются входной g и выходной y сигналы разомкнутой импульсной системы, которые представлены решетчатыми функциями.

Подвергнув данную формулу z-преобразованию, на основании свертки функций  получим уравнение разомкнутой импульсной системы в изображениях:

 

Y (z, ε) = W(z, ε) G(z)

 

где Y (n, ε) = Z _ε {y[n, ε]};  G(z) = Z{g[n]};  W(z, ε) = Z _ε {w_пнч [n, ε]}.

Выражение

w_пнч[n, ε] z ^{- n}

называется дискретной передаточной функцией разомкнутой импульсной системы.

Особенностью дискретной передаточной функции является то, что она зависит от относительного времени ε, т.е. изменяется с течением времени внутри каждого периода дискретности.

Однако большинство задач по исследованию дискретных систем может  быть решено при использовании передаточной функции W(z).

При практических расчетах часто представляют z-преобразование непрерывной функции w_пнч(t) в виде выражения