Сопротивление материалов

1)Изгиб. Определения. Основные типы балок и опор. Правило знаков.

Деформационный изгиб вызывают внешние силы и моменты, плоскость действия которых проходит через продольную ось бруса (силы перпендикулярны продольной оси ).

Силовая плоскость – плоскость, в которой действуют внешние силы.

Главная плоскость инерции – это плоскость, проходящая через продольную ось и одну из главных центральных осей инерции поперечного сечения (главные центральные оси XY,XZ).

Плоский изгиб – если все силы приложенные к брусу лежат в одной плоскости Прямой изгиб - если силовая плоскость совпадает с одной из главных плоскостей инерции бруса.

В этом случае изогнутая ось бруса лежит в силовой плоскости.

Косой изгиб - имеет место, если силовая плоскость не совпадает ни с одной из главных плоскостей инерции бруса, в этом случае изогнутая ось не лежит в силовой плоскости

Силовая линия- это линия пересечения силовой плоскости с пл-тью поперечного сечения.

Нейтральная линия-это линия пересечения нейтрального слоя с плоскостью поперечного сечения

Основные типы балок и опор;

Балка-это брус работающий на изгиб.

1)Консоль

2) Двух опорная балка

Пролет- это расстояние между опорами

3)Двухопорная балка с консолью.

4) Многопролетная балка; 3-ех пролетная с консолью

5) Двухопорная балка с консолью  и врезанным шарниром

Два внутренних силовых фактора возникающие при прямом изгибе в поперечном сечении

1) поперечная сила  Q

2) изгибающий момент М

который определяют с помощью метода

сечения (силовая плоскость  X0Y (Qy#0,Мz#0)и силовая плоскостьX0Z(Qz #0,  My#0 )

Правило знаков:

-для Q

     a)при изображении

Положительно Q вращает по часовой стрелки элемент dx относительно любой точки внутри его. При вычислении внешняя сила вращающая отсеченную часть по часовой стрелки относительно центра тяжести поперечного сечения разреза любой точки внутри дает положительную внутреннюю силу

-для М

      a)при  изображении

b) при вычислении:

В поперечном сечении разреза мысленно представим заделку: внешняя сила (момент) изгибающая балку выпуклостью вниз (сжимающая верхние волокна) дает положительный внутренний момент.

Чистый изгиб имеет место, если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент.

Поперечный изгиб – это изгиб при котором в поперечных сечениях бруса возникают два внутренних силовых фактора Q#0,M(x)#0

2)Формула  Журавского. Условие прочности по касательным напряжениям.

Формула Журавского;

τ=Q(x)Sz'''/b(y)Jz где τ-касательное напряжение в сечении с координатой х, в точке этого поперечного сечения с координатой у

 

Q(x)-перерезывающая сила в поперечном сечении х

SZ'''-статический момент части площади поперечного сечения отсекаемой прямой проходящей через рассматриваемую точку параллельную нейтральной оси

b(у)-ширина сечения на уровне рассматриваемой точки

JZ-момент инерции всего сечения относительно нейтральной оси

   Формула Журавского справедлива для массивных профилей, для тонкостенных, τ определяется методами теории упругости.

Гипотезы, положенные в основу вывода формул;

1)Во всех форма τ параллельна  Q

2)Величина τ постоянна по  ширине сечения. Величина τ зависит от координаты точки y, в которой вычисляется τ, то есть изменяется по высоте

Условия прочности по касательным напряжениям:

τmax≤[σ]≈0.6[σ]

3)Осевое  растяжение (сжатие). Внутренние силы, напряженя, деформациию. Закон Гука. Условие прочности и жесткости.

Деформацию осевое растяжение (сжатие) вызывают-внешние силы,объемные,поверхностные результирующие которых совпадают с продольной осью,в этом случае в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила N (N#0).

Напряжение-параметр характеризующий величину и направление внутренней силы в каждой точке поперечного сечения

Полное напряжение-p=dR/dA

Нормальное напряжение-     σ =dN/dA

Касательное напряжение-     τy =dQy/dA, τz =dQz/dA

Величина напряжений τ  и σ =отношению величины внутренней силы к единице площади.

N  (Продольная сила). Величина N = сумме проекций на ось X всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

Q y  и  Q z  –перерезующие (поперечные)силы. Величина Qy   и  Qz  =сумме на ось Y,Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

М x  (крутящий момент). Величина М x  =сумме моментов относительно оси Х всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

М y  и М z (изгибающие моменты).Величины Мy  и Мz =сумме моментов относительно осей Y и Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой  части бруса

Пространственная система сил- ∑Fx =0,  ∑Fy  =0, ∑Fz =0, ∑MOMx =0,∑MOMy =0,∑ MOMz  =0

Плоская система сил -∑ F x=0,∑ Fy=0, ∑ MOMz=0

Результирующие внутренних сил-N,Qy,Qz,Mx,My,Mz.

Гипотеза Бернулли; Поперечное сечение бруса плоское до деформации остается плоским и после деформации,  тоесть продольные волокна удлиняются на одну и ту же величину.

Продольная деформация-изменение длины бруса в направлении действия силы

Поперечная деформация-изменение  длины бруса перпендикулярно направлению действия силы

Абсолютная продольная деформация (удлинение)-     Δ L=L1-L   [M], [CM]

Относительная продольная деформация (удлинение)- εx=Δl/l

Абсолютная поперечная деформация - Δа=а1-а,  Δв =в1-в[Б/Р]

Относительная поперечная деформация: εy=Δa/a

εz=Δb/b.

Коэффициент Пуассона: υ=|εy/εx|

Коэффициент Пуассона характеризует физ. свойства материалов – способность сопротивляться  поперечной деформации

Закон Гука: σ =εE

Е- коэффициент пропорциональности, модуль Юнга, модуль продольной упругости или модуль упругости первого рода характеризует физ, свойства материалов- способность сопротивляться продольной деформации..

Условие прочности: σ ≤[ σ]

Условие жесткости: Δl≤[l]

4)Дифференциальные  зависимости при изгибе. Правило контроля правильности построения эпюр.

Правила контроля эпюр с помощью диф. зависимостей;

1)если на участке балки отсутствует распределенная нагрузка,  то эпюра Q-прямая параллельная оси эпюры. Эпюра моментов здесь – наклонная прямая.

2)если на участке имеется  распределенная нагрузка, то эпюра Q-наклонная прямая, а М-парабола.

3)если на некотором участке;

  а)Q>0,то М возрастает слева на право

  б)Q=0,то М параллельно оси эпюры

  в)Q<0,то М убывает слева на право

4)в точке, где эпюра Q пересекает ось х, эпюра М имеем экстремум.

5)под сосредоточенной внешней  силой на эпюре Q наблюдается скачек ординаты (если сила +, то скачек вверх; –,  то скачек вниз), а на эпюре М-излом, острие которого направлено на встречу действия силы

6)в начале и конце участка  с распределенной нагрузкой параболические и прямолинейные части эпюры М сопрягаются плавно(если нет приложенных там сосредоточенных сил)

7)если q направлена вниз (q<0),парабола М направлена вверх (то есть навстречу q) и наоборот-q<0-выпуклость вниз

8)в сечении на свободном или  шарнирно опертом конце балки М=0(если нет сосредоточенного момента),если есть сосредоточенный момент то равна этому моменту

9)под внешним моментом М на  эпюре М наблюдается скачек  на величину этого момента. На  эпюре Q это не отражается. Если внешний момент сжимает верхние слои то скачек вверх, если сжимает нижние, то скачек вниз.

10)в сечении, совпадающим с заделкой, изгибающий момент и перерезывающая сила  численно равны реактивному моменту и опорной реакции.

Дифференциальные зависимости при изгибе;

-первая диф. зависимость: q=dQ(x)/dx. Первая производная от перерезывающей силы по длине балки равна погонной нагрузке

-вторая диф. зависимость: Q(x)=dM(x)/dx.Величина Q(х)=-а tg угла наклона на эпюры М ( касательной эпюры) к оси эпюры

-третья диф. зависимость q=d² M(x)/dx²

Когда на рассматриваемом участке действует, кроме того, расспределенный момент интенсивностью m, H·м/м, формула принимает следующий вид;

dM/dx=Q+m

5)Статически  неопределимые задачи. Основные понятия и определения. Особенности статически неопределимых конструкций.

Статически неопределимыми конструкциями наз. те в которых имеются лишние связи. Лишние с точки зрения обеспечения геометрической неизменяемости конструкции но необходимые для удовлетворения дополнительных требований констркции(прочность жесткость)

Статически неопределимыми задачами наз. те, в которых число неизвестных реакций больше числа ур-ий равновесия которое нужно составить для их определения

Порядок решения статически неопределимых задач ;

1)Определяем число неизвестных (n) реакций опор (внутренних усилий)

2)Определяем число ур-ий равновесия (m) которые можно

составить для рассматриваемой задачи

3)Определяем статической неопределимости задач.j=n-m

4)Составляем ур-ие совместности  перемещений в кол-ве j(шт)

5)Решаем совместно m  ур-ий равновесия и j  ур-ий совместности перемещений. Определяем неизвестные реакции опор

Статически неопределимые задачи можно разделить на 5 типов зависимости от вида ур-ия совместности перемещения;

1)Стержень нагружен системой  сил

2)Стержневая система

3)Стержни пересекаются в одной  точке

4)Монтажные напряжения

5)Статически неопределимые конструкции с температурными нагружениями

Особенности статически неопределимых систем;

1)Статически неопределимы в  стержневых системах распределения внутренних усилий N зависит от жесткости элемента

   -чем больше жесткость, тем  больше усилия на себя берет  стержень

      Сжатие-жесткость поперечного сечения бруса на растяжение

       Жесткость бруса- ЕА/L

2)Если в статически неопределимой  конструкции один из элементов выполнен не точно, то при сборке (до нагружения) в конструкции возникают монтажные напряжения

3)если статически неопределимая конструкция собиралась при температуре отличющаяся от температуре эксплуатации, то даже при отсутствии внешних сил при эксплуатации в элементах имеют место температурные напряжения

6)Нормальные  напряжения при чистом изгибе. Условие прочности балок по нормальным напряжениям. Три типа задач при расчетах балок на прочность.

Три типа задач;

1)Проверочный расчет

        а)для хрупких  материалов 

[σсжат]=(3….5)·[σрастяж]

Условия прочности

|мах.σсжат|≤[σсжат]

|махσрастяж|≤[σрастяж]

Проверяем мах. сжатое и мах. растянутое волокно;

max σсжат=М(х)умахсжат/Jz=M(x)/Wz, Wz=Jz/yмахсжат

умахсжат-мах расстояние от нейтральной оси до сжатого волокна

Wc-момент сопротивления сжатия поперечного сечения

Maxσрастяж=М(х)умахрастяж/Jz=M(x)/Wzрастяж

WZраст-момент сопротивления растяжения поперечного сечения

 в)Для пластичных материалов

[σсж]=[σр]=[σ]

2)Проэктный расчет

Из условия прочности  σ=М(х)/W≤[σ]

WZ≥М(х)/[σ], WZ-момент сопротивления поперечного сечения

WZ=JZ/ymax

        а) для прямоугольного сечения

WZ=JZ/ymax,   JZ=bh3/12,

ymax=h/2         b) для круглого сечения

 WZ=JZ/ymax,   JZ=пd4/64,   ymax=d/2

        c) для двутавра

Рассчитываем по формуле WZ

WZ=|Mmax|/[σ]

M max-из эпюра

Выбираем из таблицы больший и меньший двутавр, и с помощью табличных значений WZ для выбранных двутавров рассчитываем σ и сравниваем с [σ]. Подходящий тот двутавр, которого σ удовлетворяет условия прочности. Так же сравниваем с условием рациональности по формуле |σ-[σ]/[σ]|·100%≤5%,  отклонение не должно превышать 5%.

Чистый изгиб имеет место, если в поперечных сечениях балки возникает только изгибающий момент 

Опыты на резиновых моделях брусьев, на поверхность которых нанесена резиновая сетка, показывает:

1)что линия перпенд. продольным  волокнам вдоль деформации остается перпендик. или прямой после деформации, следовательно справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли и в поперечных сечениях не возникают касательные напряжения, иначе угол прямой изменился бы и имел бы параллелограмм, а не прямоугольник, так как происходил бы сдвиг слоев

2)верхние волокна с-d растягиваются, нижние e-f сжимаются,  a-в не изменяет своей длины – нейтральный слой, тогда ρ – радиус кривизны нейтрального слоя, y-расстояние от некоторой точки до нейтрального слоя

Гипотеза о не надавливании слоев балки: 

При чистом изгибе продольные слои бруса не оказывают давления друг на друга, а работают в состоянии осевого растяжения  сжатия, отсюда для каждого волокна при осевом растяжении сжатии справедлив закон Гука: σ =Е·ε =Е ·y/p- формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси   

σ –зависит от координаты точки, в которой вычисляется, чем больше y тем больше σ. При у=0,  σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0.

Формула для определения нормальных напряжений балки через кривизну ее изогнутой оси: σ=E·y/ρ

σ- зависит от координаты точки в которой вычисляется, чем больше у тем больше σ. При у=0, σ=0, отсюда в нейтральном слое σ=0

у - расстояние от нейтрального слоя до волокна, в котором вычисляется напряжение

ρ - радиус кривизны

Элементарная внутренняя сила-σ·dA

Кривизна изогнутой оси бруса- 1/ρ

Кривизна нейтрального слоя балки (изогнутой оси бруса)- 1/ρ=М(х)/Е·JZ

Жесткость поперечного сечения бруса на изгиб- E·JZ.

Формула нормального напряжения при чистом изгибе- σ=E·(y/ρ)=EyM(x)/EJz=M(x)y/Jz,где

σ-напряжение в поперечном сечении с координатой  х, в точке этого поперечного сечения с координатой у

М(х)-изгибающий момент в сечении с координатой х

JZ-момент инерции рассматриваемого поперечного сечения относительно нейтральной оси.

Прочность балки считается обеспеченной  если мах. напряжение в опасном сечении не превышает допускаемого

Опасным считают сечения балки в котором  М(х) имеет мах. значение.

7)Дифференциальное  уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров.