Сопротивление материалов

Нейтральная линия – линия в поперечном сечении во всех точках которой σ =0. Следовательно:

(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]=0;

z/az+y/ay=1 – уравнение нейтральной линии в отрезках, где az=–i2y/zF; ay=–i2z/yF.

σв=F/A+FyFyB/Iz+FzFzB/Iy;

Условие прочности для хрупких материалов:

max σp=σв=F/A(1+yFyB/i2z+ zFzB/i2y)≤ [σp];

max σсж=σд=F/A(1-yFyД/i2z- zFzД/i2y)≤ [σсж]; Знак «–» указывает на то, что волокно испытывает сжатие.

Условие прочности для пластичных материалов (берем max  по абсолютной величине σ):

max σ=σв=F/A(1+yFyB/i2z+ zFzB/i2y)≤ [σ];

20) Косой изгиб. Эпюра нормальных  напряжений. Вычисление прогиба. Условие жесткости и прочности.

Деформацию и косой изгиб вызывают внешние силы и моменты, лежащие в одной плоскости, проходящей через продольную ось бруса, но не совпадающей ни с одной из главных плоскостей инерции бруса.

«*» – силовая линия.

Касательные напряжения малы по сравнению с нормальными

напряжениями в поперечном сечении бруса, поэтому расчет на прочность ведут по нормальным напряжениям σ, которые определяют с использованием принципа суперпозиции как сумму σ от изгибающих моментов MZ и MY.

Условия прочности для хрупкого материала:

max σp=σв=МZ(x)yB/IZ+Мy(x)zB/Iy ≤ [σp];

max σс=σд=МZ(x)yД/IZ+Мy(x)zД/Iy  ≤ [σс];

В формулы для вычисления σ подставляются абсолютные величины параметров, а знак ставится перед дробью с учетом характера напряжений в рассматриваемой точке. Тогда:

σд= -МZ(x)yД/IZ-Мy(x)zД/Iy

Для пластичных материалов в условии прочности сравниваются максимальные по модулю напряжения с соответствующими допускаемыми.

Прогиб свободного конца бруса находим, используя принцип суперпозиции.

f=√(f2y+f2z); fy=Fyl3/3EIz; fz= Fzl3/3EIy; Находим угол между направлением полного прогиба и осью z: tgφ=fy/fz=tgψ, где ψ – угол между направлением полного прогиба и осью z. Направление полного прогиба – линия пересечения плоскости, в которой лежит ось z, с плоскостью поперечного сечения.

tgψ=-1/tgφ, т.е. направление полного прогиба перпендикулярно нейтральной линии.

21)Кручение  бруса круглого поперечного сечения. Определение напряжений и углов закручивания. Расчет на прочность и жесткость.

Деформацию, кручение вызывают пары внешних сил, плоскость действия которых перпендикулярна продольной оси бруса. Брус, работающий на кручение – балка.

Правило знаков для крутящих моментов (внутренних), возникающих в поперечном сечении под действием скручивающих (внешних): внешний момент считается положительным, если он вращает отсеченную часть вала против часовой стрелки, относительно продольной оси (следует смотреть со стороны поперечного сечения разреза). Знак физического смысла не имеет!

Напряжение и деформацию определяем для брусьев кольцевого и круглого поперечных сечений. Касательные напряжения, возникающие в поперечном сечении в каждой ее точке перпендикулярны радиус-вектору этой точки.

T(x)=∫aτdAρ=∫aτρdA

Крутящий момент Т(х) равен сумме моментов всех элементарных внутренних сил tda, возникающих в поперечном сечении разреза относительно продольной оси.

Гипотезы, положенные в основу вывода формулы:

- Сечения до де

формации остаются плоскими, и после деформации.

- Радиус-векторы точек сечения r в процессе деформации не искривляются.

j - угол закручивания или угол взаимного поворота 2 сечений, отстоящих на расстоянии ℓ. θ=dφ/dx=γ/ρ – относительный угол закручивания, γ – угол сдвига.

Закон Гука при кручении

τ = σ + γ; σ =Еε; IР-полярный момент инерции. Т(х)= ∫АτρdA = ∫А{(σθρ)ρdA/τ} =σθIP. σ-модуль сдвига – характеризует свойства материала. σIP - жесткость поперечного сечения на кручение. Формула для вычисления взаимного угла поворота 2 сечений, находящихся на расстоянии l: φ=∫lT(x)dx/σIP

φ=åKi=1(T(x)li)/GiIPi, где к – число участков на которых величины Т,G,ρ – const. Т(х)-крутящий момент в рассматриваемом сечении. ρ-полярный момент инерции поперечного сечения. ρ-координата точки, в которой мы вычисляем напряжение.

Эпюра τ в поперечном сечении вала.

Расчеты на прочность и жесткость при кручении.

Прочность вала считается обеспеченной, если max напряжения τmax в опасном сечении его не превышают допустимых.

Τmax≤[τКР]. Опасным для вала с Wρ=const будет то сечение, в котором Т(х) мах. Wρ - полярный момент сопротивления сечения вала.

Iρ=πd4/32; Iy=Iz= πd4/64; Iρ=Iy+Iz; Wρ= Iρ/(d/2)= πd3/16=0.2d3

С условия прочности вытекает 3 типа задач:

1) проверочный расчет.

2) проектный расчет.

T(x)/Wρ≤ [τКР]; Wρ≥T(x)/[τКР]; πd3/16≥ T(x)/[τКР]; d≥3√(16T(x)/(π[τКР])) или d≥3√(T(x)/(0.2[τКР])).

Для кольцевого сечения:

Iρ=πD4/32 - πd4/32=(πd4/32)(1-e4);

C=D/d; Wρ=(πd3/16)(1-e3)

d≥ 3√ (16T(x)/(π(1-c3)[τКР])) или

d≥ 3√ (T(x)/(0.2(1-c3)[τКР])).

3) определение грузоподъемности:

из условия прочности имеем:

T(x)/Wρ≤ [τkp];

Расчет на жесткость: условие жесткости: φ=∫LT(x)dx/GIρ≤[φ]; [φ]=(4…17)10-3 рад/м. Если Т(х)=const и Iρ=const, то: φ=T(x)dx/GIρ≤[φ];

22)Практические  расчеты на срез и смятие.

В соединениях соединительные элементы (заклепки, шпонки, штифты, болты, поставленные без зазора и др.) подвергаются деформации сдвига: одна часть детали сдвигается относительно др. под действием внешних сил.

В сечении детали, совпадающем с плоскостью контакта соединяемых деталей, возникает касательное напряжение среза τср. Это сечение соединительной детали (заклепки) – опасное сечение на срез.

Гипотезы, положенные в основу расчета:

1) В поперечных сечениях заклепки  возникает только перерезывающая сила Q.

2) Во всех точках сечения τСР||Q

3) Вов всех точках среза τСР||Q, то внешняя сила между ними равна, т.е. если соединение осуществляется несколькими заклепками, то внешняя сила распределяется между ними равномерно: Fi=F/n, где F – нагрузка на соединение, n – кол-во заклепок, Fi– нагрузка, приходящаяся на одну заклепку.

Q- Fi=0; Q= Fi

τср=Q/Acp=Q/(Пd2/4)=Fi/(Пd2/4)=

=F/(nПd2/4).

Условия прочности заклепки на срез: τср=F/(nПd2/4)≤[τср].

Если прочность листов недостаточна, то они разрушаются от напряжений смятия или же растяжения.

Под действием внешних сил первоначально цилиндрическая плоскость контакта заклепки и листов деформируется (сминается). Первоначально круглые отверстия становятся овальными. Закон изменения σсм зависит от качества изготовления и технологии сборки соединения. Поэтому в инженерных расчетах предполагается, что σсм равномерно распределены по диаметральному сечению.

Условия прочности листов на смятие

σсм=Fi/Acм=F/ndδmin≤[σсм];

σр=Fi/(δmin(t-d));

23)Внецентренное  растяжение (сжатие) брусьев. Ядро сечения.

Деформацию и внецентренное растяжение (сжатие) вызывают внешние силы, результирующие которых параллельны продольной оси, но не совпадают с ней.

Внутренние силовые факторы определяем из уравнений равновесия отсеченной части:

1. åFx=0: N(x)-F=0; N(x)=F;

2. åFy=0: Qy(x)+0=0; Qy(x)=0;

3. åFz=0: Qz(x)+0=0; Qz(x)=0

4. åmomx=0: Mx(x)+0=0; Mx(x)=0

5. åmomy=0: My(x)-F∙zF=0; My(x)=F∙zF;

6. åmomz=0: Mz(x)-FyF=0; Mz(x)=Fyz;

Следовательно, брус испытывает пространственный изгиб с растяжением. По принципу суперпозиции:

σ =σ(1)+σ(2)+σ(3)=(F/A)∙[1±yFy/i2z± zFz/i2y] – формула для вычисления напряжен. в точке с координ. z, y. Для проведения расчета на прочность необходимо знать величины max напряжений σmax растягивающих и сжимающих. Для этого необходимо знать координаты точек max удаленных от нейтральной линии. Получим уравнение нейтральной линии. При внецентренном растяжении пользуются формулами:

σ =(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. При сжатии:

σ =(–F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. Знак перед слагаемыми изгиба ставится в зависимости от того, каким волокнам, растянутым или сжатым, принадлежит рассматриваемая точка.

Нейтральная линия – линия в поперечном сечении во всех точках которой σ =0. Следовательно:

(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]=0;

z/az+y/ay=1 – уравнение нейтральной линии в отрезках, где az=–i2y/zF; ay=–i2z/yF.

Ядро сечения- такая область в окрестности ц.т. сечения, что если внутри нее приложить внешнюю силу, напряжения в сечении будут одного з-н. Чтобы построить ядро сечения нужно «обкатать» н.л. вокруг сечения, т.е. размещать н.л. так, чтобы она касалась контура сечения, негде не пересекая его. При этом точка приложения силы даст контуры ядра сечения. Пример ядра сечения:

24)Основы  напряженного состояния в точки. Главные площадки и главные напряжения. Прямая и обратные задачи. Линейное напряженное состояние.

Через произвольную точку тела можно провести бесчисленное множество сечений, на которых возникает напряжение σ и τ, в общем случае отличающиеся друг от друга в зависимости от ориентации площадки. Совокупность напряжений, возникающих на множестве площадок, проведенных через рассматриваемую точку, называют напряженным состоянием в точке.

В окрестности точки В вырезаем элементарные параллелепипед. Поворачивая элементарный параллелепипед вокруг т.В, можно найти такое его положение, при котором на гранях действует только нормальное напряжение, а касательное будет равным 0. Теория упругости доказывает, что для любого тела при любой нагрузке для любой точки можно найти такую ориентацию параллелепипеда, и это будет единственное его положение. Такие площадки, на которых действуют нормальные напряжения, называются главными. Напряжения σ на этих площадках – главные напряжения. Направления σ – главные направления. Р – полное напряжения на рассматриваемой площадке. Если в задаче одно из главных напряжений не равно 0, то такие задачи называются одноосными или линейными. Если не равны 0 два главные напряжения – двухосные или плоские. Если не равны 0 три главные напряжения – трехосные или пространственные.

Прямая задача:

nα – нормаль к площадке Аα; n – нормаль к площадке наибольшего главного напряжения; α – острый угол между nα и n, причем если поворот от n к nα по часовой стрелке, то α – отрицательный, если против – положительный.

Дано: σ1; σ2; α.

Определить: σα, τα, σβ, τβ.

σα – результат действия σ1 и σ2.

Обратная задача:

Дано: σα, τα, σβ, τβ.

Найти: σ1; σ2; α.

Решая совместно системы (3) и (4) получим:

σ1=½[(σα+σβ)+√((σα–σβ)+4τ2α)];

σ2=½[(σα+σβ)–√((σα–σβ)+4τ2α)];

σ1 – напряжение алгебраически больше из двух полученных. Если одно из двух чисел отрицательно, то имеем σ1 и σ3. Если оба отрицательны, то σ2 и σ3. Если α отрицательное, то по часовой стрелке. Если α положительное, против часовой. Получаем направление σ1, т.е. наибольшее главное напряжение.

Линейное напряженное состояние.

nα – нормаль к сечению Аα; n – нормаль к поперечному сечению; α – положительное – против часовой стрелки; σ – положительное – направлена вдоль внешней нормали к рассматриваемой площадке; τ – положительное – если стремится повернуть рассматриваемый элемент по часовой стрелке относительно любой точки внутри его.

Сумма напряжений на двух взаимно перпендикулярных наклонных площадках всегда равна напряжению в поперечном сечении, независимо от ориентации площадки. Наибольшее касательное напряжение возникает на площадках под углом 45 градусов к главным.

25)Плоское  напряженное состояние. Анализ формул.

nα – нормаль к площадке Аα; n – нормаль к площадке наибольшего главного напряжения; α – острый угол между nα и n, причем если поворот от n к nα по часовой стрелке, то α – отрицательный, если против – положительный.

Анализ формул (3) и (4):

σα+σβ=σ1(sin2α+cos2α)+ +σ2(sin2α+cos2α)=σ1+σ2; Сумма напряжений на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда равна сумме главных напряжений, независимо от ориентации площадки.

Вывод: экстремальными значениями для σα и σβ являются главные напряжения, т.е. σ2≤σα≤σ1; σ2≤σβ≤σ1. Касательные напряжения τ имеет максимальные величины на площадках α=±45º от направления σ1. τα=-τβ. Получили подтверждение закона парности касательного напряжения: τ на двух взаимно перпендикулярных площадках всегда равны по величине и противоположны по направлению.

26)Деформации  при плоском напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.

Дано: σ1 и σ2.

Найти: ε1 и ε2, т.е. относительную деформацию бесконечно малого элемента в окрестности рассматриваемой точки.

ε1=ε1'+σ1"; ε2=ε2'+σ2", где ε1' и ε2' – результат действия σ1;

σ1" и σ2" – результат действия σ2.

Рассмотрим плоское деформированное состояние как сумму двух одноосных, для которых закон Гука: σ=Еε.

Продольная: εХ;

поперечная: εY=-υεX; εZ=-υεX.

ε1'=σ1/E; σ2"=σ2/E;

27)Энергия  деформации при изгибе. Интеграл  Мора. Порядок решения задач методом Мора.

Теорема Клайперона.

Работа внешней силы (момента) равна половине произведения конечного значения этой силы (момента) на конечное значение соответствующего перемещения (угла поворота), имеющ. в виду статические силы, т.е. увеличивающийся от 0 до конечного значения, и больше не изменяя свое значение. При действии системы сил работа равна половине суммы произведений: А=1/2åni=1Fi∆i, где  ∆i - перемещение точки под силой Fi, величина которого зависит от всех приложенных к системе сил.

dU=M2(x)dx/(2EIZ) – элементарная потенциальная энергия деформации балки (точнее элемента dx) работающей в состоянии чистого изгиба.

Чтобы получить энергию деформации всей балки U  необходимо проинтегрировать выражение по длине балки.

U=åik=1∫0LiM2(x)dx/2EIZ – потенциальная энергия деформации балки при чистом изгибе, где Li – длина i-го участка балки, на котором законы М(х), Е, IZ постоянны (одинаковы); k – количество участков балки.

Интеграл Мора.

Дана линейно деформируемая балка. Требуется определить перемещение т.К. под действием силы F.

ΔFF – перемещение точки под силой F в направлении силы F (первый индекс) от действия силы F (второй индекс).

 ΔКF– перемещение т.К. (1ый индекс) от действия силы F (2ой индекс).

Рассмотрим вспомогательную систему: данную балку освобождаем от внешней нагрузки и в  т.К. прикладываем фиктивную силу P.

1) Работа силы Р на перемещении ΔКР равна потенциальной энергии деформации балки под действием силы P.

Ар=Up; Ap=½PΔКР; Up=åi=1k∫Li(Mp2(x)/2EIZ)dx.

Слагаемым от Qy при поперечном изгибе пренебрегаем, т.к. действие Qy на напряженное состояние незначительно (τ<<σ).

½PΔКР=åi=1k∫Li(Mp(x)/2EIZ)dx.

2) К балке, уже деформируемой  силой Р, статически прикладываем силу F. Работа силы F на перемещение ΔFF равна потенциальной энергии деформации балки от силы F.