Сопротивление материалов

Угол поворота сечения (θ) – это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

 Угол поворота по часовой - q<0. Угол поворота против часовой- q>0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJz

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d2y/dx2=M(x)/EJZ

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJz)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий;

     а) для консоли:

ус=у(0),  Qс=Q(0)=0

       в) для двухопорной балки

уа=у(0)=0,  ув=у(3а)=0

Пять правил метода начальных парамеров;

1)начало координат всегда помещаем в первую крайнюю левую точку точку оси бруса. Это начало оси Х для всех участков.

2)при составлении выражения  М(х) всегда учитывают внешние силовые факторы расположенные слева от поперечного сечения разреза.

3)в выражении М(х) внешний момент  МА умножают на скобку (х-а)0, где а –координата сечения в котором приложен момент МА

4)если распределенная нагрузка q обрывается до поперечного сечения разреза, то ее дополняют фиктивной q, а для восстановления действительных условий нагружения вводят в рассмотрение компенсирующую нагрузку q равную по величине но противоположную по направлению.

5)интегрируем не раскрывая скобки.

8)Геометрические  характеристики сечений. Определение координат центров тяжести и моментов инерции сечения сложной формы.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади).

Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади 

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

 Статический момент площади  А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; Sy=∫AZdA, аналогично Sz=∫AydA  [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Zцентра  тяжести• Α,  Sz=Уц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,yц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

Jz=∫Ay2dA-момент инерции относительно оси z         

 Jy=∫Az2dA-момент инерции относительно оси y    [M4],[CM4]

b)Центробежный момент инерции.

  Главные оси плоской фигуры  –Jzy=∫AzydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

Jρ=∫Aρ2dA={ρ2=z2+y2}=∫Az2dA+∫Ay2dA=Jy+Jz

Если плоская фигура имеет сложную форму, то ее разбивают на части для которых известны положения центра тяжести и формулы Sz, Sy, тогда Sz,Sy сложные фигуры вычисляются по формулам уЦ.Т. и ZЦ.Т. которые приведены ниже.

 

где А-площадь поперечного сечения, уЦ.Т. и ZЦ.Т.- это расстояние от осей центров тяжести данной части сложной фигуры, до соответствующего положения начальных осей.

Момент инерции для сложного поперечного сечения;

JZ=åJZi, JУ=åJУi 

где JZi=åJZ+(aZZ1)2A, JУi=åJУ+(aУУ1)2А, где JZ,JУ- моменты инерции простых фигур, аУУ1 и аZZ1-расстояния от осей центров тяжести простой фигуры до соответствующей оси центра тяжести поперечного сечения сложной формы.

9) Задачи курса «Сопротивления  материалов». Объекты, изучаемые в курсе. Классификация внешних сил. Допущения относ. свойств материала. Допущения относительно характера деформации.

Сопротивление материалов - наука  об инженерных методах расчета на прочность жесткость устойчивость. Прочность-способность элемента конструкции сопротивляться  разрушению под действием внешних сил

Жесткость-способность элемента конструкции сопротивляться  деформации под действием внешних сил

Устойчивость-способность элемента конструкции сохранять первоначальную форму упругого равновесия под действием внешних сил

Задачи курса сопр. мат.- расчеты на прочность, жесткость, устойчивость. В результате решения этих задач можно определить материал, форму, размеры элемента конструкции, обеспечивающий его работоспособность при рациональных затратах.

Брус - геометрическое тело один размер которого намного больше двух других

Ось бруса – геометрическое место точек центров тяжести поперечных сечений

Поперечное сечение - плоская фигура,  которую получают пересечением бруса пл-тью перпендик. оси

Пластина – геом. тело образованное двумя плоскими поверхностями расстояние между которыми мало, или геом. тело, один размер которого намного меньше двух других

Оболочка – геом. тело образованное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало

Массив – геометрическое тело, все размеры которого соизмеримы

Внешние силы – объемные, поверхностные (сосредоточенные, распределенные, погонная, давление)

Внешние силы можно разделить на статические, динамические в зависимости от изменения нагрузки во времени

Статическая сила-сила которая нарастает медленно от 0 до мах. значения и больше не изменяется при этом все части конструкции находятся в равновесии

Объемные – приложенные к каждой точке объема занимаемого тела [н/м3],[кг/см3]

Поверхностные – результат контактного взаимодействия с сопряженными элементами конструкции или результат воздействия внешней среды

Сосредоточенные - площадка, по которой передается нагрузка намного меньше по сравнению с размерами взаимодействующих тел [н], [кг]

Погонная - распределена по линии (у площадки контакта один другого. [н/м], [кг/см]

Давление - размеры площадки соизмеримы [н/м2].

   Гипотезы относительно свойств  материала-

1)Материал однородный, то есть  св-ва его сколь угодно малых  и больших частей одинаковы

2)материал изотропный –св-ва его одинаковы во всех направлениях

3)Материал сплошной без раковинных  пустот

4)Материал идеально упругий  в определенных пределах нагружения, после снятия внешней нагрузки полностью восстанавливает форму и объем.

  Гипотезы относительно характера деф-ции;

1)Перемещение точек тела, обусловленые его упругой деформацией, малы по сравнению с его размерами. Такие тела наз. линейно деформируемыми.

Принцип начальных размеров;

-изменение в расположении сил  не следует учитывать при определении  R(реакций опор) и внутренних усилий из ур-я равновесия

2)в определенных пределах нагружения  перемещение точек тела пропорциональны приложенным внешним силам

  Принцип Суперпозиции или  Независимости действия сил;

-результат действия системы  сил не зависит от последовательности нагружения ими конструкции и равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности.

10)Внутренние  силы. Метод сечений. Общие и частные  случаи нагружения.

  Метод сечения предназначен для определения внутренних сил по известным внешним.

Внутренние силы (Внутренние силовые факторы)-те силы, которые появляются в теле при его деформации внешними силами.

    N  (Продольная сила). Величина N = сумме проекций на ось X всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

    Q y  и  Q z  –перерезывающие (поперечные)силы. Величина Qy   и  Qz  =сумме на ось Y,Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса

    М x  (крутящий момент). Величина М x  =сумме моментов относительно оси Х всех внешних сил приложенных к рассматриваемой части бруса.

    Мy  и Мz (изгибающие моменты).Величины Мy  и Мz =сумме моментов относительно осей Y и Z всех внешних сил приложенных к рассматриваемой  части бруса.

  

Пространственная система сил- ∑Fx =0,  ∑Fy=0, ∑Fz =0, ∑MOMx=0,∑MOMy=0, ∑MOMz=0

  Плоская система сил -      ∑F x=0,∑ Fy=0, ∑ MOMz=0

Результирующие внутренних сил-N,Qy,Qz,Mx,My,Mz.

Нагрузки, действующие на конструкцию, являются по отношению к ней внешними силами. Эти силы приложены к

 тому или иному элементу  конструкции по некоторым участкам его поверхности или распределены по его объему.

Нагрузку, приложенную к небольшим участкам поверхности бруса, все размеры которого малы по сравнению с его длиной, заменяют сосредоточенной силой, т.е. силой, приложенной к точке поверхности, и переносят к оси бруса. Точки приложения сил на оси бруса сосредоточенных моментов, возникающих при переносе сил, располагают в тех же поперечных сечениях, в которых приложены нагрузки.

Нагрузки, приложенные к участкам больших размеров (например, к поверхности бруса на участке, составляющем существенную часть его длины), при составлении расчетной схемы нельзя заменять сосредоточенными силами. Такие нагрузки на расчетной схеме остаются распределенными по поверхности или приводятся к распределенным по линии. При неравномерном распределении сплошной нагрузки или при перемен- ной ширине загруженного участка соответствующая нагрузка на расчетной схеме является неравномерно распределенной. Нагрузки, распределенные по объему тела, наз. объемными силами [кГ/см3 и др.]. К внешним силам, действующим на элементы конструкции, кроме нагрузок – активных сил, относятся так же реакции связей – реактивные силы. При составлении расчетной схемы в ряде случаев реальные нагрузки нельзя заменить одним лишь сосредоточенным и распре- ленными силовыми нагрузками. В этом случае, кроме силовых, появляются и моментные нагрузки в виде сосредоточенных моментов и моментов, распределенных по линии или по поверхности. Нагрузки различают не только по способу их приложения, но так же по длительности действия и характеру воздействия на конструкцию (статические, динамические). Постоянные нагрузки действуют на протяжении всего периода эксплуатации конструкции. Временные нагрузки действуют на протяжении ограниченного промежутка времени. Величина статической  нагрузки нарастает медленно от 0 до мах. значения и больше не изменяется при этом все части конструкции находятся в равновесии. Динамическая нагрузка вызывает в конструкции или в отдельных ее элементах большие ускорения, которыми при расчете пренебречь нельзя. Временная нагрузка может сохранять более или менее постоянную величину в течение всего периода ее действия, а может непрерывно изменятся по некоторому закону переменная нагрузка. Если переменная нагрузка изменяется по циклическому закону, то она наз. циклической.

11)Дифференциальные  уравнения изогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом непосредственного интегрирования.

Угол поворота сечения (θ) - это угол между плоскостями поперечных сечений до и после деформации

Угол θ также можно задать угол между недеформированной осью и касательной проведенной к изогнутой оси в рассматриваемой точке.

Θ=dy/dx.

Прогиб (у)- перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном недеформированной оси бруса.

Изогнутая ось балки искривляется в силовой плоскости, тоесть сечения получают поступательные перемещение и поворачивается.

Перемещение вверх-у>0

Перемещение вниз-y<0

 Угол поворота по часовой - q<0. Угол поворота против часовой- q>0.

Кривизна изогнутой оси балки;

1/ρ=M(x)/EJz

Точное уравнение изогнутой оси бруса;

1/ρ=(d2y/dx2)/[1+(dy/dx)2]3/2

Основное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки;d2y/dx2=M(x)/EJZ

Закон изменения прогиба по длине балки;

y(x)=∫dx∫(M(x)/EJz)dx+cx+D

Производные постоянные С и D находятся из граничных условий. Уравнение изогнутой оси бруса, или уравнение упругой линии балки, или уравнение описывающую кривизну прямой, то есть геометрического места точек, центров тяжести деформированной оси бруса –у=у(х).

Коротко говоря, при определении перемещений методом непосредственного интегрирования необходимо для каждого участка балки составлять выражения изгибающих моментов и производить интегрирования основного диф. уравнения изогнутой оси балки. Но при двух или большем числе участков балки применение этого метода становится затруднительным. Поэтому лучше применять  для  определения прогиба и угла поворота  такие методы; Мор, Верещагин, Кастильян, метод начальных параметров.

12)Распространение  касательных напряжений в балках прямоугольного и двутаврового профиля.

Формула для определения касательного напряжения в сечении с координатой Х (формула Журавского) - t=Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ

Определим напряжения в точках на прямоугольном поперечном сечении (точки-1,2,3)

Точка 1; у=0, s=М(х)·у/JZ

σ=0

Точка 2;у=h/2→ σ=(M(x)·(h/2)/JZ)≤σmax

S*Z=y*Ц.Т.·А*=уЦ.Т.·0=0

t=Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ

τ=0

Точка С;

S*Z=у*Ц.Т.·А*={уЦ.Т.=1/2·    ·((h/2)-у)+у,А*=в(у)((h/2)- -у))}=((h/4)-((у/2)+у)в(у)· ·((h/2)-у)=в(у)1/2((h/2)+у) ·((h/2)-у=(1/2)·в(у)[(h/2)2- -у2]=S*Z

в(у)=в

JZ=вh3/12

t=(Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ=Q(x)·  ·1/2·в·[(h/2)2-у2])/в·(вh3/    /12)=6Q(x)/(вh3/12)[(h/2)2 –y2]- закон предраспределения касательного напряжения  по высоте прямоугольного сечения

Для точки 1 касательное напряжение можно определять по этой формуле.

Точка 3; у=h/2;τ=0

σ=(M(x)·(h/2)/JZ)

Точка 1;

У=0, τ=(6Q(x)/h3в)·h2/4= =3/2·(Q/hв)=3Q/2A

τmax- в точках принадлежащих нейтральной линии

τ=0-в точках максимально удаленных от нейтральной линии

Двутавровый профиль.

Точка 1; у=h/2, S*Z=у*Ц.Т.·А*, А*=0→τ=0

Точка 2; у=(h/2)-t

S*Z=y*Ц.Т.·A*={A*=вt, у*Ц.Т.=(h/2)-(t/2)}=1tв/2·    ·(h-t)

Точка 2'; в(у)=в

t=(Q(Х)·S*Z/в(у)·JZ

Точка 2'';в(у)=d

Точка 3; у=0, S*Z=SZ max

13) Экспериментальное изучение свойств материалов. Диаграмма растяжения. Коэффициенты запаса прочности.  Определение допускаемых напряжений.

Экспериментальные изучения свойств материалов