Сопротивление материалов

 В результате эксперимента  определяются параметры характеризующие физ. (υ,Е) и мех.(σупр,σпропор,σтекуч, σвремен) свойства материалов. Физ. свойства не зависят от напряженного состояния образца (растяжение, изгиб, кручение), а механические зависят. Всех эти величины мы определяем по диаграмме. Для начала чертим диаграмму в координатах «сила- удлинение». Но для изучения свойств материала значительно удобнее иметь диаграммы, построенные в координатах «напряжение – относительная деформация» (рис- ниже).

Пока растягивающие напряжения не достигают некоторой величины σПЦ.,  диаграмма представляет собой прямую линию, т.е. относительные удлинения Е прямопропорциональны удлинением σ; то есть, до этого предела справедлив закон Гука. Напряжение σПЦ. называется пределом пропорциональности.

σПЦ.=FПЦ./А0

А0-первоначальная (до деформации) площадь поперечного сечения образца.  FПЦ .– максимальная сила, до которой F пропорционально ΔF.

После достижения условия пропорциональности следует участок- криволинейный, на котором присутствует предел упругости.

σУПР.=FУпр./А0

FУПР.- максимальная сила до которой сохраняются упругие силы образца.

Предел упругости- напряжение до которого сохраняются упругие свойства материала, тесть остаточная деформация при разгрузке не обнаруживается.

 Начиная с  момента,  когда  напряжения достигнуть некоторой  величины σТ., деформации растут без увеличения напряжений, тоесть без значительного увеличения силы, и на диаграмме получается участок,  параллельный оси абсцисс. Это явление наз. текучестью материала, а напряжение σТ.- пределом текучести. Участок диаграммы, параллельный оси абсцисс, наз. площадкой текучести.

σТ.=FT./A0

FT.- минимальная сила при которой начинает течь материал.

При дальнейшем растяжении образца напряжения, выдерживаемое образцом, наз. пределом прочности, или временным сопротивлением, и обозначается σТ.. Это напряжение соответствует точке 3 диаграммы. Последующее растяжение образца сопровождается уменьшением растягивающей силы. То есть, предел прочности представляет собой отношение наибольшей силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади его поперечного сечения.

σВ.=FMAX./A0

FMAX.-максимальная сила, которую выдерживает материал обраца до разрушения.

После достижения максимальной силы, при дальнейшем растяжении образца деформация происходит, главным образом, на небольшой длине образца. Это ведет к обрзованию местного сужения в виде шейки и к падению силы. Обозначим через FK.  Величину растягивающей силы в момент разрыва, получим

σК.=FK./A0

Допускаемое напряжение может быть определено по формуле;

σ МАХ.≤[σ ]

[σ]=σ0/ n

где σ0-опасное напряжение (σТ. – для деталей из пластичного материала, σВР.- для деталей из хрупкого материала)

n- коэффициент запаса прочности, показывающий, во сколько раз допускаемое напряжение меньше опасного.

Выбор величины коэффициента запаса прочности зависит от состояния материала (хруп- кое или пластичное), характера приложения нагрузки (статическая, динамическая, повторно- переменная) и некоторых общих факторов. К этим факторам относятся;

1)неоднородность материала, а, следовательно, различие его механических характеристик в малых образцах и деталях.

2) неточность задания величин  внешних нагрузок.

3)приближенность расчетных схем  и некоторая приближенность расчетных схем.

Для пластичных материалов в случае статической нагрузки опасным напряжением, следует считать предел текучести, т. е. σ0=σТ., а n=nТ.. Тогда

[σ ]=σ0/n=σТ./nT.

Для хрупких материалов при статической нагрузке опасным  напряжением является временное сопротивление и тогда

[σ ]=σ0/n=σВ../nВ.

Принимают, что запас прочности nВ.=2,5 до 3,0

Основная задача сопротивления материалов – обеспечить надежные размеры деталей, подверженных тому или иному силовому, температурному или другому воздействию. Такие размеры можно определить из расчета на прочность и жесткость. Отметим прежде всего, что опасность наступления разрушения характеризуется не столько величинами внутренних усилий и моментов в сечении, сколько величинами нормальных наибольших и касательных напряжений, которые действуют в опасных точках сечения. поэтому величины наибольших напряжений из условия надежности работы детали необходимо ограничивать некоторыми допустимыми напряжениями. Допускаемые напряжения можно обозначать [σ+] – при растяжении, [σ-]-при сжатии

Так допускаемые напряжения можно находить из формул запаса прочности.

14)Геометрические  характеристики сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Способность бруса сопротивляться деформации изгиб, кручение и др. зависит не только от свойств материала и его размеров, но и от формы поперечного сечения (при деформации растяжение, сжатие еще и от площади). Геометрические параметры, учитывающие параметры геометрических сечений:

-Sy,Sz-статические моменты площади 

-Jy,Jz,Jyz,Jp-моменты инерции поперечного сечения

-WyWz,Wp-моменты сопротивления поперечных сечений

 Статический момент площади  А относительно оси у. Это геометрическая хар-ка определяемая интегралом вида; Sy=∫AZdA, аналогично Sz=∫AydA  [СМ³],[М³]. Если известны координаты центра тяжести плоских фигур: Sy=Zцентра  тяжести• Α,  Sz=Уц.т.•А, и наоборот Zцִт=Sy/A,yц.т..=Sz/A

Статический момент площади относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры равен 0

Центральные оси -это оси проходящие через центр тяжести фигуры

Моменты инерции:

a)Осевые

Jz=∫Ay2dA-момент инерции относительно оси z         

 Jy=∫Az2dA-момент инерции относительно оси y    [M4],[CM4]

b)Центробежный момент инерции.

  Главные оси плоской фигуры –Jzy=∫AzydA-это оси относительно которых центробежный момент инерции =0,>0,<0

c)Полярный

Jρ=∫Aρ2dA={ρ2=z2+y2}=∫Az2dA+∫Ay2dA=Jy+Jz

 

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

Jz=∫Fy2dF-момент инерции относительно оси z         

 Jy=∫Fz2dF-момент инерции относительно оси y

Jyz=∫FzydF

Определим моменты инерции относительно осей, параллельных центральным;

Jy1z1=∫Fz1y1dF

Jy1=∫Fz21dF

Jz1=∫Fy21dF

Координаты любой точки в новой системе z1O1y1  можно выразить через координаты в старых осях так;

z1=z+b, y1=y+a

Подставляем эти значения в формулы (те которые выше) и интегрируем почленно;

Jz1=∫Fy21dF=∫F(y+a)2dF=    =∫Fy2dF+a2∫FdF+2a∫FydF

Jy1=∫Fz21dF=∫F(z+b)2dF=    =∫Fz2dF+b2∫FdF+2b∫FzdF

Jy1z1=∫Fz1y1dF=∫F(z+b)(y+  +a)dF+ab∫FdF+a∫FzdF+b·   ·∫FydF

Так как интегралы ∫FdF= =SZ,∫FzdF=Sy равны нулю как статические моменты относительно центральных осей, то формулы принимают вид;

JZ1=JZ+a2F

Jy1=Jy+b2F

Jz1y1=Jzy+abF

Cследовательно; 1) моменты инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллель- ной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат рас- стояния между этими осями. 2)центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс, произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

Р.S.Координаты а,b, входящие в формулу следует подставлять с учетом их знака.

15)Вычисление  момента инерции при повороте осей. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

Пусть известны моменты инерции бесконечно малой фигуры dF относительно центральных осей Z,y;

Jz=∫Fy2dF-момент инерции относительно оси z         

 Jy=∫Fz2dF-момент инерции относительно оси y

Jyz=∫FzydF

Повернем оси у,z на угол α против часовой стрел- ки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным. Определим моменты инерции сечения относительно повернутых осей z1,y1;

Jy1z1=∫Fz1y1dF

Jy1=∫Fz21dF

Jz1=∫Fy21dF

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях z1,y1 выражаются через координаты z,y прежней системы осей следующим образом;

Z1=OC+AD=zcosα+ysinα

y1=CB=BD-EA=ycosα-zsinα

Подставим эти значения в формулы моментов инерции (выше) и проинтегрируем почленно;

Jz1=∫F(ycosα-zsinα)2dF= =c    =cos2α∫Fy2dF+sin2α∫FZ2dF-         -sin2α∫FyzdF

 Jy1=∫F(zcosα+ysinα)2dF=    =sin2α∫Fy2dF+cos2α∫FZ2dF+sin2α∫FzydF

Jy1z1=∫F(zcosα+ysinα)(ycosα-zsinα)dF=(cos2α-sin2α)  ∫FzydF+(1/2)sin2α(∫Fz2dF-∫Fz2dF)

Окончательно находим;

Jz1=Jzcos2α+Jysin2α-Jzysin2α

Jy1=Jycos2α+Jzsin2α-Jzysin2α

Jz1y1=Jzycos2α-(1/2)(Jy-Jz)·  ·sin2α

Опр. гл. осей и гл. моментов инерции.

Наибольшее значение имеют главные центральные оси, центробежный момент инерции относительно которых равен нулю.

JUV=0

Чтобы определить положение главных центральных осей повернем произвольную начальную систему центральных осей z,y на некоторый угол α0, при котором центробежный момент инерции становится равным нулю;

Jz1y1=JVU=0

 Тогда из формулы 

Jz1y1=Jzycos2α-(1/2)(Jy-Jz)·sin2α

получим

Jz1y1=Jzycos2α0-(Jy -Jz)2(sin2α0)

Откуда

tg2α0=2Jzy/Jy-Jz

Откуда найдем два угла (острый и тупой) отличающиеся на 90 градусов. Откладываем от оси z и получаем положение оси U (ось V перпендикулярна U)Значения главных моментов инерции из формул;

Jz1=Jzcos2α+Jysin2α- Jzysin2α      

Jy1=Jycos2α+Jzsin2α-Jzysin2α, прехода к повернутым осям, приняв α=α0

Jz1=Jzcos2α0+Jysin2α0 -Jzysin2α0

Jy1=Jycos2α0+Jzsin2α0-Jzysin2α0

Если исключить α0 из трех уравнений (Jz1,Jy1, Jz1y1), то получим формулу для вычисления моментов инерции относительно главных центральных осей.

JU=1/2[(Jz+Jy)±√(Jz-Jy)2+4J2zy]

JV=1/2[(Jz+Jy)±√(Jz -Jy)2+4J2zy]

Свойства главных центральных осей;

1)относительно этих осей центробежный  момент инерции равен 0

2)относительно V,U моменты инерции имеют экстремальные величины

3)если плоская фигура имеет  ось симметрии, то эта ось одна из главных центральны, вторая проходит через центр тяжести фигуры и перпендикулярна первой.

16) Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня.

Определим величину силы F, при которой форма равновесия становится неустойчивой (минимальную величину силы, при которой становится неустойчивой). Вывод основуется на допущениях:

1) Напряжение в сечениях бруса не превышает предела пропорциональности (напряжение, до которого сохраняется закон Гука), т.е. материал работает в пределах упругости.

2) Деформации бруса равны по  сравнению с его размерами, тогда можно применять диф-е ур-е изогнутой оси бруса.

d2W/dx2=M(x)/EImin; M(x)= –Fx;

d2W/dx2= –FW/EImin; W″+ +(F/EImin)W=0; k2=F/EImin; W(x)= Asinkx + Bcoskx;

1) при x=0:

W(0)=0; A∙0+B∙0=0; B=0.

2) при x=ℓ:

W(ℓ)=0: W(ℓ)=Asinkℓ=0; A≠0; sinkℓ=0; kℓ=πn; k=πn/ℓ. Приравнивая k к k2 получаем: n2π2/ℓ2 = F/EImin; F= n2π2 EImin /ℓ2; при n=1→Fmin=Fкр

Fкр=π2EImin/ℓ2 – формула Эйлера.

W(x)=Asinkx; Wmax при х-?:

W′x(x)=Akcoskx=0; coskx=0; kx= π/2; x=π/2k; Wmax=A∙1=f→A=f.

W(x)=fsinkx – закон изменения деформации стержня по длине бруса. Определим геометрический смысл n.

х (координата)=π/2k – координата max. прогиба.

x=π/2k={k=nπ/ℓ}=πℓ/2nπ=ℓ/2n;

xmax=ℓ/2n.

Для n=1: Fкр=x2EImin/ℓ2;

Для n=2: Fкр=4π2EImin/ℓ2;

Для n=3: Fкр=9π2EImin/ℓ2;

n показывает сколько полуволн укладывается на длине бруса при потере устойчивости под действием Fкр.

Iz=bh3/12; Iy=bh3/12; Iz >> Iy;

Iz – ось наибольшей жесткости. EIz – жесткость поперечного сечения бруса на изгиб. Iy – ось наименьшей жесткости. Плоскость xOz перпендикулярна оси наименьшей жесткости. При продольном изгибе бруса (потере его устойчивости) изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости. Ось y – нейтральная ось. Если для бруса Iz ≠ Iy, то всегда при потере устойчивости изогнутая ось лежит в плоскости перпендикулярной оси наименьшей жесткости, и в формулу Эйлера подставляем наименьший из моментов инерции. Рациональной формой поперечного сечения для сжатого длинного и тонкого бруса будет та, у которой моменты инерции Iz = Iy (обладающие центральной симметрией и имеющие момент инерции при наименьшей площади).

 

А1=А2; I1>>I2; 1 рациональней 2.

17) Предел применимости формулы  Эйлера. Расчеты на устойчивость.

Критическое напряжение σкр – это напряжение, которое возникает в сжатом брусе при нагрузке F=Fкр.

σкр=Fкр/A=π2EImin/Aℓ2={Imin/A= i2min}=π2E/(ℓ/i)2 – для шарнирно опертого бруса.

λ пред ={предельная гибкость}= √(π2E/σпропорц) – зависит только от свойств материала.

λ ≥√(π2E/σпропорц); λ пред ≥ λ; При решении задачи на устойчивость надо делать проверку:

– посчитать λ для рассматриваемого бруса.

– сравнить с λпред, взятым из таблиц.

Если λ< λпред, то расчет ведут по формулам Ясинского, или только на сжатие в зависимости от величины λ.

Формула Ясинского: σкр=a-bλ. Формула Ясинского для конструкционных материалов; a и b получены экспериментальным путем, их берут из таблиц. σкр=π2E/λ2; При расчетах брусьев на сжатие, необходимо определить геометрическую характеристику λ из таблиц для рассматриваемого материала, выбрать величины из таблиц λ0 и λпред, и после этого определиться по каким формулам следует вести расчет на сжатие.

18) Сложное сопротивление. Изгиб с кручением брусьев. Условие прочности.

Деформацию изгиба с кручением вызывают внешние силы перпендикулярные продольной оси, но не проходящие через нее (внешние силы и моменты лежат в плоскости, которая не проходит через продольную ось).

Рама – жесткое соединение не скольких брусьев (получают сваркой). (Каждый брус работает на растяжение сжатие, изгиб кручение).

Ферма - соединение брусьев с помощью шарниров.

Расчет на прочность ведут по эквивалентным напряжениям, которые вычисляются по одной из теории прочности. Валы изготавливают из пластических материалов, для которых хорошо зарекомендовали себя 3 и 4 теории прочности.

19) Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Эпюра напряжений. Условие прочности.

Деформацию и внецентренное растяжение (сжатие) вызывают внешние силы, результирующие которых параллельны продольной оси, но не совпадают с ней.

Внутренние силовые факторы определяем из уравнений равновесия отсеченной части:

1. åFx=0: N(x)-F=0; N(x)=F;

2. åFy=0: Qy(x)+0=0; Qy(x)=0;

3. åFz=0: Qz(x)+0=0; Qz(x)=0

4. åmomx=0: Mx(x)+0=0; Mx(x)=0

5. åmomy=0: My(x)-F∙zF=0; My(x)=F∙zF;

6. åmomz=0: Mz(x)-FyF=0; Mz(x)=Fyz;

Следовательно, брус испытывает пространственный изгиб с растяжением. По принципу суперпозиции:

σ =σ(1)+σ(2)+σ(3)=(F/A)∙[1±yFy/i2z± zFz/i2y] – формула для вычисления напряжен. в точке с координ. z, y. Для проведения расчета на прочность необходимо знать величины max напряжений σmax растягивающих и сжимающих. Для этого необходимо знать координаты точек max удаленных от нейтральной линии. Получим уравнение нейтральной линии. При внецентренном растяжении пользуются формулами:

σ =(F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. При сжатии:

σ =(–F/A)∙[1+yFy/i2z+zFz/i2y]. Знак перед слагаемыми изгиба ставится в зависимости от того, каким волокнам, растянутым или сжатым, принадлежит рассматриваемая точка.