Сопротивление материалов

½FΔFF=åik=1∫Li(MF2(x)/2EIZ)dx.

3) Работа силы Р на перемещение ΔKF:  AKF = РΔKF – нет ½, т.к. сила Р уже имела коночное значение.

4) Суммарная работа внешних сил: А=АP+АF+АKF; U= åik=1∫Li([MP(x)+MF(x)]2/2EIZ)dx; A=U→PΔKF= åik=1∫Li((MP(x)+MF(x))/EIZ)dx.

ΔKF=åi∫Li((MP(x)/P)MF(x)dx)/EIZ.

MP(x)/P=M1(x) – закон изменения на i-ом участке изгибающего момента, вызванного действием единичной (безразмерной) силы (момента), приложенной в той точке, перемещение (угол поворота) для которой определяется:

ΔKF=åi∫Li((MF(x)M1(x)dx)/EIZ) – интеграл Мора.

ΔKF – обобщенное перемещение точки К от заданной системы сил.

MF(x) – закон изменения на i–ом участке изгибающего момента, вызванного действием внешних сил, приложенных к балке.

Если определяется прогиб балки, то в точке К прикладывается единичная сила по направлению искомого перемещения. Если определяется угол поворота, то единичный момент.

Порядок решения задач методом Мора.

1) Для заданной балки на каждом  участке записываем законы изменения MF(x).

2) Освобождаем балку от внешней  нагрузки.

3) В т. К по направлению искомого перемещения прикладываем единичную силу (момент) и для каждого участка записываем законы М1(х).

4) Подставляем MF(x), M1(x) в интеграл Мора и вычисляем его. Если полученное ΔKF имеет знак «–», то действительное перемещение точки имеет направление противоположное единичной силе.

28)Энергия  деформации при изгибе. Теорема  Кастильяна.

Пусть балка нагружена системой сил Т и силой F. Требуется определить перемещение точки под силой F в ее направлении.

Определим потенциальную энергию деформации балки силами Т и F, которая равна работе, совершаемой этими силами на перемещениях точек, в которых силы приложены.

Запишем выражение для U (потенц. энергия) с учетом последовательности нагружения балки внешними силами.

1) К балке прикладываем силу F, тогда потенциальная энергия деформации системы силой F: UF=½FΔFF.

2) Прикладываем систему сил Т, под действием которой точка под силой F получит дополнительное перемещение ΔFT. Сила F на перемещение ΔFT совершает работу : АFT= FΔFT

(Нет 1\2, т.к. сила F уже имела конечное значение; есть 1/2, если сила статически приложена, т.е. во время совершения работы она увеличивается от 0 до конечного значения без рывков и ударов медленно).

Потенциальная энергия деформации равна работе всех сил на их перемещение: U=АF+AFT+UTT

Где UTT –потенциальная энергия, накапливаемая балкой в результате ее деформации силами системы Т.

U =½FΔFT +FΔFT+UTT

Введем новый параметр: удельное перемещение [δ] – перемещение точки под единичной силой F¯=1Н в направлении ее действия, если вместо силы F приложить единичную силу в ее направлении, то получим перемещение ΔFF.

ΔFF=FδFF – связь истинного и удельного перемещения.

U=½F2ΔFF+FΔFT+UTT

Возьмем частную производную по F от U:

∂U/∂F=FδFF+ΔFT=ΔF – полное перемещение точки под силой F в ее направлении от действия всех сил приложенных к балке (F+Т).

Теорема Кастильяна:  Перемещение точки под силой в ее направлении, равно  частной производной от потенциальной энергии деформации системы по этой силе.

U=åin=1∫LiM2(x)dx/2EIZ; ΔF=∂U/∂F= =åi∫Li((M(x)/EIZ)(∂M/∂F)dx).

Метод Кастильяна используют для определения перемещений в оболочках, пластинах, массивах.

Если необходимо найти перемещение точки, в которой не приложена внешняя сила, то

1) В т.К прикладываем фиктивную силу по направлению искомого перемещения (если нужно определить угол поворота θ, то прикладываем фиктивный момент).

2) Записывают выражение М(х) с  учетом FФ (реакции опор находят с учетом  FФ).

3) Записывают интеграл метода  Кастильяна в который уже включили производную от М(х) по FФ, т.е. ∂М(х)/∂FФ. В этом интеграле вместо FФ пишем нуль.

4) Интегрируем и получаем результат.

29)Потенциальная  энергия деформации. Гипотезы прочности.

U=å∫(M2(x)dV/(2EIz)); U равно половине произведения внешней силы на перемещение точки под этой силой (сумме произведений), что есть работа внешних сил на перемещениях точки под ними.

Для одноосного напряженного состояния:

U= ½FΔl; U=½FΔl/(Al)=σε/2= σ2/2E;

При трехосном (пространственном напряженном состоянии):

U=σ1ε1/2+σ2ε2/2+σ3ε3/3=(1/2E)(σ12+σ22+σ32-2υ(σ1σ2+σ2σ3+σ3σ1))

При деформации тела (пространственное) не только происходит изменение его объема, но и изменение формы (кубик → параллелепипед). U=UV+UФ, где UV – удельная потенциальная энергия изменения объема,

UФ – удельная потенциальная энергия формообразования (формоизменения).

UV=(1-2υ/6E)(σ1+σ2+σ3)2;

UФ=(1+υ/6E)((σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2);

Гипотезы прочности:

Цель теории прочности – сравнить напряженное состояние пространственное, плоское с допускаемыми напряжениями, которые получены экспериментальным путем для одноосного напряженного состояния. Два напряженных состояния (например: трехосное и одноосное) равноопасны, если при увеличении главных напряжений в одно и тоже число раз эти напряженные состояния одновременно становятся предельными. Предельное состояние – состояние потери работоспособности. Для хрупких σв → разрушение, для пластичных материалов σт → потеря упругих свойств.

Напряжение при напряженном состоянии равно опасное данному трехосному напряженному состоянию называют эквивалентным (σэкв). При формулировании теории прочности выбирают один или несколько факторов, приводящих к потере работоспособности элемента конструкции (величина напряжений σ, τ, величина деформаций ε, удельная потенциальная энергия, накопленная в теле) разрабатывается теорией, в которых учитывается скорость нагружения, температура, напряженное состояние, давление и т.д.

1-я теория прочности – теория нормальных наибольших напряжений, в соответствии с которой предельное состояние в точке тела наступает, если максимальные σ равны допускаемым. σэкв1=σ1. Условие прочности: σ1≤[σ]. Для 2-х и 3-хосных н.с. дает погрешности, т.к. не учитывается σ2 и σ3, но хорошо работает для хрупких материалов.

2-я теория прочности – максимальная относительная деформация ε: предельное состояние наступает, если εmax превышает допускаемую величину. Условие прочности: εmax≤[ε]. Не применяется в настоящее время т.к. дает неудовлетворительные результаты.

3-я теория прочности – теория наибольших касательных напряжений: предельное состояние наступает, если, τmax превышает допускаемую величину τ. При 3-осном состоянии:

τmax=(σ1-σ3)/2;

При 2-осном состоянии:

τmax=(σ1-σ2)/2;

При 1-осном н.с.: [τ]=[σ]/2.

Условие прочности: τmax≤[τ].

((σ1-σ3)/2)≤([σ]/2); σэкв3≤[σ], где σэкв3=σ1-σ3.

Дает хорошие результаты для пластичных деформаций, но е учитывает σ2.

4-я теория прочности – энергетическая: предельное состояние наступает, если удельная потенциальная энергия формоизменения превышает допускаемую величину.

UФ≤[UФ]; UФ=(1+υ/6E)((σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2);

[UФ]=((1+υ)2[σ]2)/6E; σэкв4≤ [σ];

σэкв4=√(½[(σ1-σ2)2+(σ2-σ3)2+(σ3-σ1)2]);

В настоящее время продолжается разработка теории прочности с целью учета мех. числа факторов, влияющих на работоспособность элементов конструкции и на свойство материалов, т.к. один и тот же материал в зависимости от температуры, скорости нагружения, напряженного состояния и др. ведет себя как хрупкий или пластичный. Чем больше факторов учитывает, тем достовернее результаты, тем меньше коэффициент запаса прочности.

30)Метод  сил для расчета статически  неопределимых систем.

В статически неопределенных задачах число неизвестных реакций опор больше числа уравнений равновесия, которые можно составить для определения реакций опор.

Мы дополняем уравнения равновесия условиями совместности перемещений.

После решения уравнения равновесия статическая неопределимость раскрыта.

Канонические уравнения метода сил.

В методе сил уравнения совместности перемещений, которые представляют собой условие равенства нулю перемещений точки под искомой реакцией опор, записывается в каноническом виде.

Те реакции, под которыми на перемещение накладывается ограничение в условие совместности перемещения, обозначаются Х.

Угол поворота в т.А равен 0. Из этого условия находим реактивный момент МА=Х1. Остальные реакции опор находим из уравнения равновесия.

Условие совместности перемещения для т.В ∆1=0 – полное перемещение (от заданных внешних сил и от искомых реакций опор, обозначаемых буквой Х) под силой Х1 в направлении ее действия. Δ1=Δ1F+Δ11=0. Δ1F – перемещение точки под силой Х1 в ее направлении от действия Х1. Δ11=Х1δ11, δ11 – удельное перемещение , т.е. это перемещение точки под силой Х1 в ее направлении от действия единичной (безразмерной) силы: х1ˉ=1. Δ1F+Х1δ11=0.

Подставляем в условие совместности:

Для системы n

-раз статически неопределимой  необходимо n-условий совместности перемещений, т.е. приравниваем к 0 перемещение под n-реакциями опор. Тогда имеем систему n-уравнений для определения n-неизвестных.

 где δij – удельное перемещение, т.е. перемещение точки под силой Хi в ее направлении от действия единичной силы Хjˉ=1. ΔiF – перемещение точки под силой Хi в ее направлении от действия всех заданных внешних сил.

 

 

Вопросы на экзамен по курсу «Сопротивление материалов»

Составители: Молчанов О.А., Степанько Д. Л.; Грабовец А.

1)Изгиб. Определения. Основные типы  балок и опор. Правило знаков.

2)Формула Журавского. Условие прочности по касательным напряжениям.

3)Осевое растяжение (сжатие). Внутренние силы, напряжения, деформацию. Закон Гука. Условие прочности и жесткости.

4)Дифференциальные зависимости  при изгибе. Правило контроля  правильности построения эпюр.

5)Статически неопределимые задачи. Основные понятия и определения. Особенности статически неопределимых конструкций.

6)Нормальные напряжения при  чистом изгибе. Условие прочности  балок по нормальным напряжениям. Три типа задач при расчетах балок на прочность.

7)Дифференциальное уравнение прогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом начальных параметров.

8)Геометрические характеристики  сечений. Определение координат центров тяжести и моментов инерции сечения сложной формы.

9)Задачи курса «Сопротивления  материалов». Объекты, изучаемые в курсе. Классификация внешних сил. Допущения относ. свойств материала. Допущения относительно характера деформации.

10)Внутренние силы. Метод сечений. Общие и частные случаи нагружения.

11)Дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Определение деформаций балки методом непосредственного интегрирования.

12)Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного и двутаврового профиля.

13)Экспериментальное изучение свойств  материалов. Диаграмма растяжения. Коэффициенты запаса прочности. Определение допускаемых напряжений.

14)Геометрические характеристики  сечений. Моменты инерции относительно параллельных осей.

15)Вычисление моментов инерции  при повороте осей. Главные оси  инерции и главные моменты  инерции.

16)Формула Эйлера для определения критической нагрузки сжатого стержня.

17)Предел применимости формулы  Эйлера. Расчеты на устойчивость.

18)Сложное сопротивление. Изгиб  с кручением брусьев. Условие прочности.

19)Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Эпюра напряжений. Условие прочности.

20)Косой изгиб. Эпюра нормальных напряжений. Вычисление прогиба. Условие жесткости и прочности.

21)Кручение бруса круглого поперечного сечения. Определение напряжений и углов закручивания. Расчет на прочность и жесткость.

22)Практические расчеты на срез  и смятие.

23)Внецентренное растяжение (сжатие) брусьев. Ядро сечения.

24)Основы напряженного состояния  в точки. Главные площадки и  главные напряжения. Прямая и обратные задачи. Линейное напряженное состояние.

25)Плоское напряженное состояние. Анализ формул.

26)Деформации при плоском напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука.

27)Энергия деформации при изгибе. Интеграл Мора. Порядок решения задач методом Мора.

28)Энергия деформации при изгибе. Теорема Кастильяна. Порядок решения  задач методом Кастильяна.

29)Потенциальная энергия деформации. Гипотезы прочности.

30)Метод сил для расчета статически  неопределимых систем.