-  динамические, характеризующие изменения процессов во времени.

     5. По форме математических  зависимостей:

     -  линейные. Наиболее удобны для анализа и вычислений, вследствие чего получили большое распространение;

     -  нелинейные.

     6. По степени детализации  (степени огрубления  структуры):

     -  агрегированные ("макромодели");

     -  детализированные ("микромодели").

     Для понимания структуры нашего курса  важное значение имеет схема, представленная на рисунке 1.3. В правой части рисунка  показаны основные классы экономико-математических методов (классификация по используемому  математическому аппарату), а в  левой части - важнейшие направления  применения методов.

     Следует помнить также, что каждый из методов  может быть применен для решения  различных по специфике задач. И  наоборот, одна и та же задача может  решаться различными методами. 

     

     Рисунок 1. - Важнейшие области применения основных классов ЭММ 

     На  схеме экономико-математические методы представлены в виде некоторых укрупненных  группировок. В двух словах опишем их.

     1. Линейное программирование - линейное преобразование переменных в системах линейных уравнений. Сюда можно отнести: симплекс-метод, распределительный метод, статический матричный метод решения материальных баллансов.

     2. Дискретное программирование представленно двумя классами методов: локализационные и комбинаторные методы. К локализационным относятся методы линейного целочисленного программирования. К комбинаторным, например, метод ветвей и границ.

     3. Математическая статистика используется для корреляционного, регресионного и дисперсионного анализа экономических процессов и явлений. Корреляционный анализ применяется для установления тесноты связи между двумя или более стохастически независимыми процессами или явлениями. Регрессионный анализ устанавливает зависимость случайной величины от неслучайного аргумента. Дисперсионный анализ - установление зависимости результатов наблюдений от одного или нескольких факторов в целях выявления важнейших.

     4. Динамическое программирование используется для планирования и анализа экономических процессов во времени. Динамическое программирование представляется в виде многошагового вычислительного процесса с последовательной оптимизацией целевой функции. Некоторые авторы относят сюда же имитационное моделирование.

     5. Теория игр представляется совокупностью методов, используемых для определения стратегии поведения конфликтующих сторон.

     6. Теория массового  обслуживания - большой класс методов, где на основе теории вероятностей оцениваются различные параметры систем, характеризуемых как системы массового обслуживания.

     7. Теория управления  запасами объединяет в себе методы решения задач, в общей формулировке сводящихся к определению рационального размера запаса какой-либо продукции при неопределенном спросе на нее.

     8. Стохастическое программирование. Здесь исследуемые параметры являются случайными величинами.

     9. Нелинейное программирование относится к наименее изученному, применительно к экономическим явлениям и процессам, математическому направлению.

     10. Теория графов - направление математики, где на основе определенной символики представляется формальное описание взаимосвязанности и взаимообусловленности множества элементов (работ, ресурсов, затрат и т.п.). До настоящего времени наибольшее практическое применение получили так называемые сетевые графики.  

Принципы  построения экономико-математических моделей 

     1. Принцип достаточности  исходной информации. В каждой модели должна использоваться только та информация, которая известна с точностью, требуемой для получения результатов моделирования.

     2. Принцип инвариантности (однозначности)  информации требует, чтобы входная информация, используемая в модели, была независима от тех параметров моделируемой системы, которые еще неизвестны на данной стадии исследования.

     3. Принцип преемственности. Сводится к тому, что каждая последующая модель не должна нарушать свойств объекта, установленных или отраженных в предыдущих моделях.

     4. Принцип эффективной  реализуемости. Необходимо, чтобы модель могла быть реализована при помощи современных вычислительных средств.

     1.2. Этапы экономико-математического  моделирования

     Необходимость использования метода моделирования  определяется тем, что многие объекты (или проблемы, относящиеся к этим объектам) непосредственно исследовать  или вовсе невозможно, или же это  исследование требует слишком высоких  затрат времени и средств.

     Сущность  процесса моделирования иллюстрирует схема, представленная на рисунке 1.2

     

     Рисунок 2 - Сущность процесса моделирования 

     Пусть имеется или необходимо создать  некоторый объект А. Мы конструируем (материально или мысленно) или  находим в реальном мире другой объект (B) - модель объекта А. Этап построения модели предполагает наличие некоторых  первоначальных знаний об объекте-оригинале. Модель отображает какие-либо существенные черты объекта-оригинала. Важнейшим  является вопрос о необходимой и  достаточной степени сходства оригинала  и модели. Этот вопрос требует детального анализа и решения в зависимости  от конкретной ситуации. Очевидно, что  модель утрачивает свой смысл как  в случае тождества с оригиналом (тогда она перестает быть моделью), так и в случае чрезмерного  во всех существенных отношениях отличия  от оригинала.

     На  втором этапе процесса моделирования  модель выступает уже как самостоятельный  объект изучения. Конечным результатом  этого этапа является совокупность знаний о модели. Однако знания о  модели - это еще не есть знания о  самом объекте-оригинале.

     На  третьем этапе происходит интерпретация  полученных знаний, т.е. перенос знаний с модели на оригинал. Происходит формирование множества знаний об объекте А.

     Четвертый этап - практическая проверка полученных знаний, их использование для выработки  суждений об объекте, для его преобразования или управления им.

     Основные  этапы процесса моделирования были рассмотрены нами выше (рисунок 1.2). В различных отраслях знаний они  приобретают свои специфические  черты. Проанализируем последовательность и содержание этапов одного цикла  экономико-математического моделирования (рисунок 1.4). 

       

     Рисунок 3 - Этапы экономико-математического моделирования 

     1. Постановка проблемы  и её качественный  анализ. Главное на этом этапе - чётко сформулировать сущность проблемы, определить принимаемые допущения, а также определить те вопросы, на которые требуется получить ответ.

     Этап  включает выделение важнейших черт и свойств моделируемого объекта, основных зависимостей, связывающих  его элементы. Здесь же происходит формулирование гипотез, хотя бы предварительно объясняющих поведение объекта.

     2. Построение математической  модели. Это этап формализации задачи, т.е. выражения ее в виде математических зависимостей и отношений (функций, уравнений, неравенств, схем). Как правило, сначала определяется тип математической модели, а затем уточняются детали.

     Неправильно полагать, что, чем больше факторов учитывает модель, тем лучше она  работает и дает лучшие результаты. Излишняя сложность модели затрудняет процесс исследования. При этом нужно  учитывать не только реальные возможности  информационного и математического  обеспечения, но и сопоставлять затраты  на моделирование с получаемым эффектом (при возрастании сложности модели прирост затрат может превысить  прирост эффекта).

     3. Математический анализ  модели. Цель - выявление общих свойств и характеристик модели. Применяются чисто математические приёмы исследования. Наиболее важный момент - доказательство существования решений в сформулированной модели. Если удастся доказать, что задача не имеет решения, то необходимость в последующей работе по данному варианту модели отпадает; следует скорректировать либо постановку задачи, либо способы ее математической формализации.

     Однако  модели сложных экономических объектов с большим трудом поддаются аналитическому исследованию. В тех случаях, когда  не удается выяснить общих свойств модели аналитическими методами, а упрощение модели приводит к недопустимым результатам, прибегают к численным методам исследования.

     4. Подготовка исходной  информации. Численное моделирование предъявляет жесткие требования к исходной информации. В то же время реальные возможности получения информации существенно ограничивают выбор используемых моделей. При этом принимается во внимание не только возможность подготовки информации (за определенный срок), но и затраты на подготовку соответствующих информационных массивов. Эти затраты не должны превышать эффекта от использования данной информации.

     5. Численное решение. Это cоставление алгоритмов, разработка программ и непосредственное проведение расчётов на ЭВМ.

     6. Анализ результатов  и их применение. На заключительной стадии проверяются правильность, полнота и степень практической применимости полученных результатов.

     Естественно, что после каждой из перечисленных  стадий возможен возврат к одной  из предыдущих в случае необходимости  уточнения информации, пересмотра результатов  выполнения отдельных этапов. Например, если на этапе 2 формализовать задачу не удается, то необходимо вернуться  к постановке проблемы (этап 1). Соответствующие  связи на рисунке 1.4 не показаны, чтобы  не загромождать схему.

     Наконец, выясним, как соотносятся между  собой общая схема процесса моделирования (рисунок 1.2) и этапы экономико-математического  моделирования (рисунок 1.4).

     Первые  пять стадий более дифференцированно  характеризуют процесс экономико-математического  исследования, чем общая схема: стадии 1 и 2 соответствуют этапу I общей  схемы, стадии 3, 4 и 5 - этапу II. Напротив, стадия 6 включает этапы III и IV общей  схемы.

     2.Современные  экономические модели.

  2.1 Моделирование экономических систем с использованием Марковских случайных процессов

 

     Функция Х(t) называется случайной, если ее значение при любом аргументе t является случайной.

     Случайная функция Х(t) , аргументом которой является время, называется случайным процессом.

     Марковские  процессы являются частным видом  случайных процессов . Особое место  Марковских процессов среди других классов случайных процессов  обусловлено следующими обстоятельствами: для Марковских процессов хорошо разработан математический аппарат, позволяющий  решать многие практические задачи; с  помощью Марковских процессов можно  описать поведение достаточно сложных  систем.

Определение. Случайный процесс, протекающий в какой либо системе S, называется Марковским, если он обладает следующим свойством: для любого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем (при ) и не зависит от того, когда и каким образом система S пришла в это состояние.

     Классификация Марковских процессов. Классификация  Марковских случайных процессов  производится в зависимости от непрерывности  и дискретности множества значений функций  Х(t) и параметра t. Различают следующие основные виды Марковских случайных процессов: