- с дискретными состояниями и  дискретным временем (цепь Маркова);

     - с непрерывными состояниями и  дискретным временем (марковские  последовательности );

     - с дискретными состояниями и  непрерывным временем (непрерывная  цепь Маркова);

     - с непрерывным состоянием  и  непрерывным временем.

           В данной работе будут  рассматриваться  только марковские процессы с дискретными состояниями  S1,S2,….,Sn.

              Граф состояний. Марковские процессы  с дискретными состояниями удобно  иллюстрировать с помощью так  называемого графа состояний  , где кружками обозначены состояния   S1,S2,….,Sn системы S, а стрелками- возможные переходы из состояния в состояние. На графе отмечаются только непосредственные переходы, а не переходы через другие состояния . Возможные задержки в прежнем состоянии изображают «петлей», т.е. стрелкой , направленной из данного состояния в него же. Число состояний системы может быть как конечным, так и бесконечным (но счетным ).

Рисунок 4 - Граф состояния системы S.

 Марковские  цепи 

      Марковский  случайные процесс с дискретными  состояниями и дискретным временем  называют Марковской цепью. Для такого процесса моменты , когда система S может менять свое состояние, рассматривают как последовательные шаги процесса, а в качестве аргумента, от которого зависит процесс, выступает не время t, номер шага 1, 2, ….., k, … Случайный процесс в этом случае характеризуется последовательностью состояний S(0), S(1), S(2),…..,S(k),…, где S(0)- начальное состояние системы (перед первым шагом); S(1)- состояние системы после первого шага; S(k)- состояние системы после k-го шага…

      Событие {S(k)=Si}, состояние в том, что сразу после k-го шага система находится в состоянии Si(i=1,2,…), является случайным событием. Последовательность сосотояний S(0), S(1), S(2),…..,S(k),… можно рассматривать как последовательность случайных событий. Такая случайная последовательность событий называется Марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состояния Si в любом Sj не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. Начальное состояние S(0) может быть заданием заранее или случайным.

      Вероятностями  состояний цепи Маркова называются вероятности  того, что после k-го шага ( и до (k+1)-го ) система S будет находиться в состоянии Si(i=1,2,…,n) . Очевидно, для любого k

                                                            

Начальным распределением вероятностей Марковской цепи называется распределение вероятностей состояний в начале процесса:

                                         P1(0),P2(0),…..,Pi(0),…,Pn(0).

      В частном случае, если первоначальное состояние системы S в точности известно S(0)= Si, то начальная вероятность Pi(0)=1, а все остальные равны нулю.      Вероятность перехода на k-м шаге из состояния Si в состояние Sj при условии , что непосредственно перед этим она находится в состоянии Si.

      Поскольку система может пребывать в  одном из n состояний, то для каждого момента времени t необходимо задать вероятностей перехода Pij, которое удобно представить в виде следующей матрицы:

                              

где Pij- вероятность перехода за один шаг из состояния Si в состояние Sj ,

      Pii- вероятность задержки системы в состояние Si .

Матрица называется переходной или матрицей переходных вероятностей.

      Если  переходные вероятности не зависят  от номера шага, а зависят только от того, из какого состояния в какое  осуществляется переход, то соответствующая  цепь Маркова называется однородной.

      Переходные  вероятности однородной Марковской цепи Pij образуют квадратную матрицу размера n*n. Отметим некоторые ее особенности:

• Каждая строка характеризует выбранное состояние системы, а ее элементы представляют собой вероятности всех возможных переходов за один шаг из выбранного состояния, в том числе и переход в самое себя.
• Элементы столбцов показывают вероятности всех возможных переходов системы за один шаг в заданное состояние (иначе говоря, строка характеризует вероятность перехода системы из состояния, столбец -в состояние).
• Сумма вероятностей каждой строки равна единице, так как переходы образуют полную группу несовместных событий:
•                                                      
• По главной диагонали матрицы переходных вероятностей стоят вероятности Pii того, что система не выйдет из состояния Si, а останется в нем.

Если  для однородной Марковской цепи заданы начальное распределение вероятностей и матрица перехода вероятностей ||Pij|| , то вероятности состояний системы Pi(k) ( ).

                                      

     Очень часто аппарат марковских процессов  используется при моделировании  компьютерных игр, действий компьютерных героев.

 

   2.2. Межотраслевой  баланс Леонтьева

 

     История и практика баланса народного хозяйства в нашей стране послужила важной основой для составления межотраслевых балансов. Большой вклад в изучение организации межотраслевых связей внес выдающийся русский ученый В.В. Леонтьев, который разработал межотраслевой баланс, или метод «затраты — выпуск». Он дал математическое описание организации основных соотношений межотраслевого баланса, что позволило измерять фактические согласованные связи с целью планирования и прогнозирования процессов. В.В. Леонтьеву «за разработку метода «затраты- выпуск» и его приложения к решению важных экономических проблем» была присуждена в 1973 году Нобелевская премия по экономике. Разработка межотраслевого позднее стала органической частью СНС.

     Теория  «Межотраслевого баланса» была разработана в США В. В. Леонтьевым как действенный инструмент при анализе и прогнозировании структурных взаимосвязей в экономике. Она исходит из возможности достижения общего макроэкономического равновесия, для чего разработана модель этого состояния, включающая структурную взаимосвязь всех стадий производственного процесса — производства, распределения или обмена и конечного потребления.

     Он  представляет собой таблицу, характеризующую  связи между различными отраслями  экономики страны. Общая структура  межотраслевого баланса представлена на рисунок  2. 

     

     Рисунок  5.  Общая структура межотраслевого баланса 

     Производственная  сфера экономики представлена в  балансе в виде совокупности n отраслей.

     Баланс  состоит из четырех разделов (квадрантов).

     Первый  квадрант представляет собой матрицу, состоящую из (n+1) строки и (n+1) столбца. Этот раздел является важнейшей частью баланса, поскольку именно здесь  содержится информация о межотраслевых  связях. Величина xij, находящаяся на пересечении i-й строки и j-го столбца, показывает, сколько продукции i-й  отрасли было использовано в процессе материального производства j-й отрасли. Величины xij характеризуют межотраслевые  поставки сырья, материалов, топлива  и энергии, обусловленные производственной деятельностью.

     В i-й строке величины xi1, xi2, ..., xij, ..., xin описывают распределение продукции i-й отрасли как средства производства для других отраслей.

     Величины x1j, x2j, ..., xij, ..., xnj j-го столбца в этом случае будут описывать потребление j-й отраслью сырья, материалов, топлива  и энергии на производственные нужды.

     Таким образом, первый раздел баланса дает общую картину распределения  продукции на текущее производственное потребление всех n отраслей материального  производства.

     В зависимости от того, в каких единицах измеряются потоки продукции в балансе, существуют различные его варианты: в натуральном выражении, в денежном (стоимостном) выражении, в натурально-стоимостном, в трудовых измерителях. Мы рассмотрим баланс в стоимостном выражении, в котором потоки продукции измеряются на основе стоимости произведенной  продукции в некоторых фиксированных  ценах. Поскольку в этом случае величины xij отражают стоимость продукции, т.е. измеряются в одних и тех же единицах, их можно просуммировать.

     Величина   представляет собой сумму всех поставок i-й отрасли другим отраслям.

     Сумма по столбцу  характеризует производственные затраты j-й отрасли на приобретение продукции других отраслей.

     На  пересечении (n+1)-й строки и (n+1)-го столбца  находится величина  - так называемый промежуточный продукт экономики.

     Второй  раздел посвящен конечному продукту. Столбец конечного продукта - (n+2)-й  столбец. Величина yi - потребление продукции i-й отрасли, не идущее на текущие  производственные нужды. В конечную продукцию, как правило, включаются: накопление, возмещение выбытия основных средств, прирост запасов, личное потребление  населения, расходы на содержание государственного аппарата, здравоохранение, оборону  и т.д., а также сальдо экспорта и импорта.

     Ко  второму разделу относится также  столбец валовых выпусков (Xi). В  пределах первого и второго разделов справедливо соотношение:

               Третий квадрант межотраслевого  баланса отражает стоимостную  структуру валового продукта  отраслей. В (n+2)-й строке таблицы  отражена условно чистая продукция  (Vj), представляющая собой разницу  между величиной валовой продукции  отрасли и суммарными затратами  отрасли:

           Условно чистая продукция подразделяется на амортизационные отчисления и чистую продукцию отрасли. Важнейшими составляющими чистой продукции отрасли являются заработная плата, прибыль и налоги.

     Можно показать, что суммарный конечный продукт равен суммарной условно  чистой продукции:

      .

     Из  соотношений (3.1) и (3.2):

     

     

     Просуммируем  первое равенство по i, а второе - по j:

     

     

     Левые части выражений равны, значит равны  и правые:

     

     Разделим  обе части уравнения на , и получим

      ,

     что и требовалось доказать.

     Таким образом, в третьем разделе также  фигурирует конечный продукт, но если во втором разделе он разбивается  на величины yi, характеризующие структуру  потребления, то в третьем разделе  величины Vj показывают, в каких отраслях произведена стоимость конечного  продукта.

     Четвертый раздел располагается под вторым. Он характеризует перераспределительные  отношения в экономике, осуществляемые через финансово-кредитную систему. В плановых расчетах четвертый раздел, как правило, не используется, и поэтому в пределах этого курса рассматриваться не будет.

     Итак, межотраслевой баланс - это способ представления статистической информации об экономике страны. Он строится на основе агрегирования результатов  деятельности отдельных предприятий. Такой баланс называют отчетным.

3. Примеры использования ЭММ в экономическом прогнозировании.

  3.1 Модель прогноза тенденции финансирования штатного состава фирмы с использованием Марковских случайных процессов.

 

Качественная  модель

      Выделим в системе фирмы к- основных категорий (должностей). Рассмотрим ситуацию типичную для многих организаций, вступивших в определенную стадию  роста. Проблема заключается в том, что  численность  старших должностей растет относительно более низких. Трудность заключается  не в том, что персонал старших  рангов не желателен, а в том, что  он выше оплачивается.