Современные методы прогнозирования

Рассчитаем  прогноз по формуле (2.1).

У₂₂ = 3481 ∙ 1,0841 =3773,72

У ₂₃ = 3481 ∙ 1,0841 ² = 4091,074.

У ₂₄ = 3481 ∙ 1,0841³ = 4435,106.

У ₂₅  = 3481 ∙ 1,0841⁴ = 4808,069.

У ₂₆ = 3481 ∙ 1,0841⁵ = 5212,396.

У ₂₇ = 3481 ∙ 1,0841⁶ = 5650,724

  1.2 Экстраполяция на основе скользящей средней

 

      Экстраполяция на основе скользящей средней основана на сглаживании ряда путем расчета  скользящих средних. Позволяет устранить  колебания и выявить закономерность развития при неустойчивой динамике показателя.

     Период  сглаживания выбирается путем подбора  с учетом динамики развития (таблица 2.3).

     Расчет  скользящих средних выполняется  по формуле (2.5) методических указаний.

      а) период сглаживания n = 3.

       .

       .

       .

б) период сглаживания n = 4.

       .

в) период сглаживания n = 5.

       .

       .

Далее аналогично.

     Результаты  сглаживания ряда представлены в  табл. 2.3 и на рисунке 2.4.

     В данном примере наиболее приемлемым является период сглаживания n = 5 года, так как замечается устойчивая динамика к росту. Поэтому за основу прогнозирования принимаем скользящий ряд, сглаженный по 5-ти точкам.

      Тогда У_баз. = 3204,6,   = 1,09107.

     Прогноз рассчитывается аналогично предыдущему  методу:

У₂₂ = 3204,6∙ 1,09107= 3496

У ₂₃ = 3204,6∙ 1,09107² = 3814.

У ₂₄ =3204,6∙ 1,09107³ =4162.

У ₂₅  = 3204,6∙ 1,09107= 4541.

У ₂₆₌3204,6∙ 1,09107⁵ =4954.

У ₂₇ =3204,6∙ 1,09107⁶ =5406

Таблица 2.3 – Расчет скользящих средних.

Сглаженные  ряды построим на графике (рисунок 2.4).

  1.3 Прогноз на основе экспоненциального сглаживания

     Прогноз на основе экспоненциального сглаживания осуществляется по формуле:

, 

      где    S_t – текущее сглаженное значение;

            Х_t – текущее значение исходного ряда;

            S_{t – 1} – предыдущее сглаженное значение;

       - сглаживающая const. 

       = 0…1 – необходимо выбрать  наиболее приемлемое значение  с тем, чтобы сглаженный ряд  в наибольшей степени отражал  закономерность и был приближен  к динамике исходного ряда. 

= 0,7

S₁ = 698,2.

S ₂ = 0,7 ∙ 715,6 + (1-0,7) ∙ 698,2 = 710,38.

S ₃ = 0,7 ∙ 776,8 + (1-0,7) ∙ 710,38 = 756,86.

S ₄ = 0,7 ∙ 839,6 + (1-0,7) ∙ 756,86 =814,78. 

= 0,3

S₁ = 698,2.

S ₂ = 0,3 ∙ 715,6 + (1-0,3) ∙ 698,2 = 703,42.

S ₃ = 0,3 ∙ 776,8 + (1-0,3) ∙ 703,42= 725,43.

S ₄ = 0,3 ∙ 839,6+ (1-0,3) ∙ 725,43= 759,68. 

= 0,5

S₁ = 698,2.

S ₂ = 0,5 ∙ 715,6 + (1-0,5) ∙ 698,2= 706,9.

S ₃ = 0,5 ∙ 776,8 + (1-0,5) ∙ 706,9= 741,8.

S ₄ = 0,5 ∙ 839,6 + (1-0,5) ∙ 741,8= 790,7.

Далее аналогично. Расчеты представлены в  таблице 2.4. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Таблица 2.4 – Расчет экспоненциального ряда.

 

Рисунок 2.5 – Экспоненциальное сглаживание.

      В данном расчете  принимаем равным 0,3, т.к. полученный ряд наилучшим образом отражает закономерность развития и позволяет усреднить базовый уровень.

, тогда 

У_баз. = 3364,534.

Рассчитаем  прогноз на 27- год.: 

 
 

2.3.4  Прогноз на основе метода наименьших квадратов

      На  основании графика можно предположить, что наиболее приемлемыми из всех математических функций будет функция параболы, либо прямой.

      Произведем  расчеты на основе функции параболы.

Система нормальных уравнений для функции  параболы имеет вид:

A∙n + B∙∑ t + C∙∑ t² = ∑ У; 

A∙∑ t + B∙∑ t² + C∙∑ t³ = ∑ У∙ t;

A∙∑ t² + B∙∑ t³ + C∙∑ t⁴ = ∑ У∙ t².

Для упрощения  расчетов присвоим t такие значения, чтобы ∑ t = 0. Тогда система уравнений примет вид:

A∙n + + C∙∑ t² = ∑ У; 

B∙∑ t² + = ∑ У∙ t;

A∙∑ t² + C∙∑ t⁴ = ∑ У∙ t².

     Для составления системы уравнений  для функции параболы выполним расчеты  по форме таблицы 2.5. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Таблица 2.5 – Сводная таблица для функции  параболы. 

Используя значения таблицы 2.5, составим систему уравнений:

A∙21 + C∙770 = 39500;

B∙770 116892,2;

A∙770+ C∙50666 = 1536803

Решив систему уравнений, получим значения параметров: 

Следовательно, уравнение параболы в нашем примере  имеет вид: 

                  У_расч = 1736,347 + 151,8081 ∙ t – 3,943 ∙ t² . 

Выполним  аналогичные расчеты на основе функции  прямой.

Уравнение прямой:

A∙n = ∑ У;

B∙∑(y*t)= ∑ У∙ t. 
 
 
 
 
 

Таблица 2.6 – Сводная таблица для функции прямой. 

 

A∙21 + = 39500; 

B∙770 = 116892,2.

Решив систему уравнений получим:

А = 1880,95.  В = 151,81.

Уравнение прямой имеет вид:

                        У _расч = 1880,95 + 151,81*t.

      Критерием правильности выбора функции является минимум суммы расчетных значений показателя от фактических.

  S = ∑ (Уф - Ур)²  min.

      Так как сумма квадратов отклонений расчетных значений показателя от фактических  у функции параболы меньше, чем у прямой, то для прогнозирования наиболее приемлема функция параболы. 

      На  графике (рисунок 2.6) видно, что парабола наиболее приближена к динамике исходного ряда и для прогнозирования приемлема функция параболы. 

          Рассчитаем прогноз на 27-ой год, исходя из полученного уравнения параболы:

У_расч = 1736,347 + 151,8081 ∙ t – 3,943 ∙ t². 

У₂₂ = 1736,347 + 151,8081 ∙ 11 – 3,943 ∙ 121 = 3883,4;

У ₂₃ = 1736,347 + 151,8081 ∙ 12 – 3,943 ∙ 144= 4125,9;

У ₂₄ = 1736,347 + 151,8081 ∙ 13 – 3,943 ∙ 169= 4376,5;

У ₂₅  =1736,347 + 151,8081 ∙ 14 – 3,943 ∙ 196= 4634,6;

У ₂₆ = 1736,347 + 151,8081 ∙ 15 – 3,943 ∙ 225= 4900,8;

У ₂₇ = 1736,347 + 151,8081 ∙ 16 – 3,943 ∙ 256= 5174,9;