Внедрение посменног опроизводства

1. Принцип неравноценности денег во времени. Определение понятий: проценты, наращенная сумма ссуды, % ставка наращения. Доходность финансовой операции.

Важность учета фактора времени  обусловлена принципом неравноценности денег, относящихся к различным моментам времени: равные по абсолютной величине денежные суммы "сегодня" и "завтра" оцениваются по разному, – сегодняшние деньги ценнее будущих. Зависимость ценности денег от времени обусловлена влиянием фактора времени:

• Деньги можно продуктивно использовать во времени как приносящий доход финансовый актив.
• Инфляционные процессы ведут к обесцениванию денег во времени. Сегодня на рубль можно купить товара больше, чем завтра на этот же рубль, т.к. цены на товар повысятся;
• Неопределенность будущего и связанный с этим риск повышает ценность имеющихся денег.

Существуют 2 подхода и соответствующие  им два типа экономического мышления:

• статический подход не учитывает фактор времени, – здесь возможно оперирование денежными показателями, относящимися к различным периодам времени, и их суммирование;
• динамический подход используется в финансовом анализе и фин. менеджменте, где необходимо учитывать фактор времени, поэтому здесь неправомерно суммировать денежные величины, относящиеся к различным моментам времени.

Эти 2 подхода соответствуют "бухгалтерскому" и "экономическому" принципам анализа затрат. Динамический подход предполагает включение в расходы неявных затрат, определяемых на основе принципа альтернативной ценности.

Проценты в финансовых расчетах представляют собой абсолютную величину дохода (приращение денег) от предоставления денег в долг в любой его форме: выдача денежной ссуды; продажа в кредит;  сдача в аренду;  депозитный счет;  учет векселя и т.п.

Увеличение ∑ долга в связи с присоединением к ней % называется наращением, а увеличенная ∑ – наращенной суммой.

Относительный показатель, характеризующий интенсивность начисления процентов за единицу времени, – процентная ставка наращения. Методика расчета: отношение ∑ых процентов, выплачиваемых за определенный период времени, к величине ссуды. Этот показатель выражается либо в долях единицы, либо в %. Процентная ставка показывает, сколько денежных единиц должен заплатить заемщик за пользование в течение определенного периода времени 100 единицами первоначальной ∑ долга.

Полная доходность финансовых операций измеряется в виде годовой ставки, начисление % по которой обеспечит  выплату всех платежей. Финансовой называется операция,  начало и конец которой характеризуются денежными суммами P(0) и P(T ) соответственно, а цель которой - наращение суммы вложенных средств P(0). P(0) - реально вложенные средства в момент t = 0, P(T ) – реально вырученные денежные средства в результате операции,  срок которой T единиц времени. Эффект от вложения измеряют в виде % ставки наращения, которую в этом случае называют доходностью.

 

2. Простая % ставка наращения. Вычисление наращенной ∑. 3 метода начисления простой % ставки.

Простая % ставка применяется к одной и той же первоначальной ∑ долга на протяжении всего срока ссуды, т.е. исходная база всегда одна и та же.

Рассмотрим процесс наращения, т.е. определения денежной ∑ в  будущем, исходя из заданной ∑ сейчас. Величина FV показывает будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне интенсивности начисления процентов i.

При использовании простых ставок процентов проценты определяются исходя из первоначальной ∑ долга. Схема простых % предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление %.

% представляют собой абсолютные приросты: I = FV - PV, а т.к. база для их начисления постоянна, то за ряд лет общий абсолютный прирост составит их ∑ или произведение абсолютных приростов на количество лет ссуды: I = (FV - PV) n = i • PV • n,

где i = (FV - PV) / PV по определению % ставки.

Наращенную ∑ по схеме простых % можно будет определять следующим образом:

FV = PV + I = PV + i • PV • n = PV (1 + i • n) = PV • k_н,

где k_н – коэффициент (множитель) наращения простых %. Данная формула называется "формулой простых %". Если время выражено в днях (t), то величина n выражается в виде следующей дроби: n = t / T, где t – число дней ссуды, т.е. продолжительность срока, на который выдана ссуда; T – расчетное число дней в году (временная база).

1. Временную базу ( T ) можно представить по-разному: условно состоящую из 360 дней. В этом случае речь идет об обыкновенном, коммерческом проценте; взять действительное число дней в году (365 или 366). В этом случае получают точный %.
2. Число дней ссуды ( t ) можно по-разному определять: условно, исходя из того, что продолжительность любого целого месяца составляет 30 дней, а оставшиеся дни от месяца считают точно, – в результате получают так называемое приближенное число дней ссуды; используя прямой счет или специальные таблицы порядковых номеров дней года, рассчитывают фактическое число дней между датами, – в этом случае получают точное число дней ссуды.

Если время финансовой операции выражено в днях, то расчет простых % м.б. произведен 1 из 3 возможных способов:

1. Обыкновенные % с приближенным числом дней ссуды, когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а целого месяца – за 30 дней.
2. Обыкновенные % с точным числом дней ссуды, когда продолжительность года условно принимается за 360 дней, а продолжительность ссуды рассчитывается точно по календарю. Точное кол-во дней получается путем вычитания № 1 дня финансовой операции из № последнего дня финансовой операции.
3. Точные % с точным числом дней ссуды, когда продолжительность года и продолжительность ссуды берутся точно по календарю.

 

3. Сложная процентная ставка наращения. Вычисление наращенной суммы. Множитель наращения.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных % целесообразно тогда, когда:

• % не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной ∑ долга. Присоединение начисленных процентов к ∑ долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией %ов;
• срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются  сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной ∑ долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную ∑ процентов, и последующее начисление % происходит на увеличенную ∑ долга. За n периодов начисления формула примет вид: FV = PV • (1 + i)ⁿ = PV • k_н ,

где FV – наращенная ∑ долга; PV – первоначальная ∑ долга; i – ставка %ов в периоде начисления; n – количество периодов начисления; k_н – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Сложные % характеризуют процесс роста  первоначальной ∑ со стабильными  темпами роста, при наращении  ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных %ов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста. Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен: (1 + i). Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид: (1 + i)ⁿ . Базисные темпы роста =коэффициенты (множители) наращения. Коэффициент наращения или множитель наращения, – это отношение наращенной суммы к первоначальной сумме долга. Коэффициент наращения показывает, во сколько раз наращенная ∑ больше первоначальной ∑ долга, т.е. по существу является базисным темпом роста. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет = 1 ден. ед. ч/з n периодов при заданной % ставке i.

 

4. Номинальная % ставка наращения. Вычисление наращенной суммы при начислении процентов m раз за год.

Номинальная ставка (nominal rate) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка, во-первых, не отражает реальной эффективности сделки; во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если  начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

N = n • m

Отсюда формулу наращенной ∑  при начислении % m раз за год можно записать в следующем виде: FV = PV • (1 + j / m)^N = P • (1 + j /m)^mn , где j – номинальная годовая ставка процентов. Сумма начисленных процентов: I = FV - PV

 

5. Непрерывное начисление %. Сила роста. Вычисление наращенной  суммы при непрерывном начислении %. Связь дискретных ставок наращения с силой роста.

На практике нередко встречаются  случаи, когда проценты начисляются непрерывно, за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

k_н = (1 + j / m)^m = (1 + j / 365)³⁶⁵

Но поскольку проценты начисляются  непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e ^j:

где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

FV = PV • e ^{j • n} = P • e ^{δ • n}

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ, в отличие от ставки дискретных процентов ( j ).

Максимально возможное наращение процентов осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала. Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Сила роста называется постоянной, если она не изменяется во времени. При обратной ситуации – переменная сила роста.

Связь дискретных ставок i и j с силой роста δ находится из равенства множителей наращения дискретных и непрерывных ставок:

 

Решив эти уравнения, получим:

 

 

 

6. Математическое дисконтирование. Вычисление современной стоимости при использовании простых, сложных, номинальных % и силы роста. Дисконтные множители (коэффициент дисконтирования). Понятие дисконта.

В финансовой практике часто приходится решать задачи, обратные определению  наращенной суммы: по уже известной наращенной сумме (FV) следует определить неизвестную первоначальную сумму долга (PV).

Такие ситуации возникают при разработке условий финансовой сделки, или когда  проценты с наращенной суммы удерживаются непосредственно при выдаче ссуды. Процесс начисления и удержания процентов вперед, до наступления срока погашения долга, называют учетом, а сами проценты в виде разности наращенной и первоначальной сумм долга дисконтом (discount):

D = FV - PV

Термин дисконтирование в широком смысле означает определение значения стоимостной величины на некоторый момент времени при условии, что в будущем она составит заданную величину.

Рис. 6. Логика финансовой операции дисконтирования.

Не редко такой расчет называют приведением стоимостного показателя к заданному моменту времени, а величину PV называют приведенной (современной или текущей) величиной FV. Таким образом, дисконтирование – приведение будущих денег к текущему моменту времени, и при этом не имеет значения, имела ли место в действительности данная финансовая операция или нет, а также независимо от того, можно ли считать дисконтируемую сумму буквально наращенной.

Именно дисконтирование позволяет  учитывать в стоимостных расчетах фактор времени, поскольку дает сегодняшнюю оценку суммы, которая будет получена в будущем. Привести стоимость денег можно к любому моменту времени, а не обязательно к началу финансовой операции.

При математическом дисконтировании по процентной ставке в качестве базы берется первоначальная сумма долга:

i = (FV - PV) / PV

Проценты, начисленные по ставке процентов, называются антисипативными.

Математическое дисконтирование – определение первоначальной суммы долга, которая при начислении процентов по заданной величине процентной ставки ( i ) позволит к концу срока получить указанную наращенную сумму:

для простых процентов

PV = FV : (1 + n • i ) = FV • 1 / (1 + n • i ) =

= FV • (1 + n • i ) ^-1 = FV • k_д,

где k_д – дисконтный множитель (коэффициент приведения) для простых процентов.

Дисконтный множитель показывает, какую долю составляет первоначальная сумма долга в величине наращенной суммы. Поскольку дисконтный множитель (множитель приведения) зависит от двух аргументов (процентной ставки и срока ссуды), то его значения легко табулируются, что облегчает финансовые расчеты.

Для сложных процентов

PV = FV • (1 + i) ^-n = FV • k_д,

где k_д – дисконтный множитель для сложных процентов.

Если  начисление процентов производится m раз в год (номинальная), то формула примет вид:

PV = FV • (1 + j / m) ^{-m • n} .

Современная величина и процентная ставка, по которой проводится дисконтирование, находятся в обратной зависимости: чем выше процентная ставка, тем  при прочих равных условиях меньше современная величина.

В той же обратной зависимости находятся  современная величина и срок финансовой операции: чем выше срок финансовой операции, тем меньше при прочих равных условиях современная величина.