Внедрение посменног опроизводства

Рассмотрим расчет современной  стоимости постоянной обычной (постнумерандо)  годовой ренты. Ежегодно сумма R  вносится один раз в год на банковский счет в течение n лет. Тогда имеем поток из n платежей величиной   каждый в моменты 1,2,…,n. Пусть i - годовая эффективная процентная ставка начисления сложных процентов на поступающие платежи. Согласно определению современной стоимости потока платежей, получаем

Вычисляя сумму n членов геометрической прогрессии, знаменатель которой, получим:

Назовем множитель, на который умножается R, коэффициентом приведения ренты, обозначим его как a_n;i. Этот коэффициент характеризует современную стоимость ренты с членом, равным 1. Чем выше значение i, тем меньше величина коэффициента. При увеличении срока ренты величина a_n;i стремится к некоторому пределу. При n = предельное значение коэффициента составит

 

Полученное выражение применяется  при расчете современной стоимости  вечной ренты. График зависимости a_n;i от n показан на рис.4.2. Значения a_n;i табулированы.

 

14. Определение параметров  постоянной годовой ренты постнумерандо.

Определение. Поток платежей, все члены которого положительны, а временные интервалы между платежами одинаковы, называется финансовой рентой.

Основные параметры ренты:

• R - член ренты - сумма отдельного платежа;
• t - период ренты - временной интервал между двумя соседними платежами;
• n - срок ренты - время от начала первого периода ренты до конца последнего;
• i - процентная ставка ренты - сложная процентная ставка, используемая для наращения и дисконтирования членов ренты;
• m  - число начислений процентов в году на члены ренты;
• p - число платежей в году.

Если члены ренты выплачиваются  раз в год, то рента называется годовой. Если члены ренты выплачиваются  p  раз в году  (p > 1), то рента называется  p - срочной. Если платежи поступают столь часто, что можно считать , то ренту называют непрерывной. Рента называется постоянной, если члены ренты одинаковы и не изменяются во времени. Рента называется переменной, если члены ренты изменяются во времени в соответствии с некоторым временным законом. Если платежи производятся в конце каждого периода ренты, то рента называется обычной или постнумерандо. Рента с платежами в начале каждого периода называется рентой пренумерандо.

Параметры ренты R, n, i рассматриваются как основные,  p  и m – как вспомогательные. При разработке контрактов возможны случаи, когда задается современная стоимость A или наращенная сумма ренты S и два основных параметра. Требуется найти третий.

Определение члена ренты. Исходные условия: задается S или A и набор параметров, кроме R. Например, за обусловленное число лет необходимо создать фонд в сумме S путем систематических постоянных взносов. Если принято, что рента должна быть годовой, постнумерандо, с ежегодным начислением процентов, то:

R = S/s_n;i.

Пусть теперь известна (задана условиями  договора) современная стоимость  ренты. Если рента годовая, постнумерандо, m = 1, то:

R = A/a_n;i.

Расчет срока ренты. Иногда при разработке контракта возникает необходимость в определении срока ренты и соответственно числа членов ренты. Решая полученные выше выражения, определяющие S или A, относительно n, получим искомые величины.

Заданы A, R, i. Найти n.

Так как  , то , если  n - конечно и при (вечная рента). Отсюда получаем условие разрешимости задачи о сроке ренты:

.

Так, для годовой ренты с ежегодным  начислением процентов находим:

Таблица 1 Формулы для расчета срока постоянных рент постнумерандо

Количество платежей в году	Количество начислений в году	Сроки платежей
		S	A
p = 1	m = l
	m > 1
p >1	m = l
	m =p
	m ≠ p

Аналогичным образом получим формулы  для расчета срока и для  других видов рент. Формулы, полученные для дискретных процентов, приведены в табл. 1.

Для рент с непрерывным начислением  процентов:

для годовой ренты

 

для p-срочной ренты

 

Все приведенные выше формулы для  определения n, естественно, пригодны и в случаях, когда заданными являются коэффициенты приведения или наращения рент, поскольку a_n;i = A/R, s_n;i = S/R и т. д.

При расчете срока ренты необходимо принять во внимание следующие моменты:

1. Расчетные значения срока будут,  как правило, дробные. Необходимо  округление результата.

2. Если округление производится до меньшего целого числа, то наращенная сумма или современная стоимость ренты с таким сроком оказывается меньше заданной.

Определение размера  процентной ставки. Необходимость в определении величины процентной ставки возникает всякий раз, когда речь идет о выяснении эффективности (доходности) финансово-банковской операции. Заметим, что расчет процентной ставки по остальным параметрам ренты не так прост, как это может показаться на первый взгляд. В простейшем случае задача ставится следующим образом: решить уравнения относительно i:

Нетрудно убедиться в том, что  алгебраического решения нет. Для  получения искомой величины без применения компьютера с соответствующим пакетом программ прибегают к линейной интерполяции или какому-либо итерационному методу, например методу Ньютона — Рафсона, методу секущей и т. д.. При небольших значениях i можно применить разложение бинома Ньютона и использовать два-три первых члена разложения.

Линейная интерполяция. По заданным R, S или A находят значения коэффициентов наращения или приведения ренты:

   

s_n;i = S/R; a_n;i = A/R.

Для оценки i применяется следующая интерполяционная формула:

(4.40)

где a_в и a_н - значения коэффициентов наращения или приведения рент для верхнего и нижнего значения ставок (ставки i_в, i_н);

a — значение коэффициента наращения или приведения, для которого определяется размер ставки.

На рис. 4.3 и 4.4 изображены зависимости  соответствующих коэффициентов  от размера процентной ставки, а  также интерполяционные оценки и  точные их значения. Первые обозначены как i, вторые — как i".

Как видно из рисунков, оценки размера  процентной ставки несколько отличаются от точных значений этой величины, причем если за основу взят коэффициент приведения, то оценка оказывается завышенной₎ в свою очередь оценка i по коэффициенту наращения меньше точного значения. Чем меньше диапазон i_н — i_в тем точнее оценка процентной ставки.

 

15.

1)Сравнение эффективности финансовых операций

Степень  финансовой  эффективности  (доходности)  операций,  имеющих  несколько источников дохода, обычно измеряется в виде годовой ставки сложных процентов.

Расчётная  ставка  процентов,  измеряющая  степень  доходности,  получила разные названия. Эту ставку называют эффективной, полной доходностью (в русскоязычной литературе), внутренней нормой доходности (в англоязычной  литературе).  Эту  ставку  будем  называть  внутренней  нормой  доходности и обозначать IRR (internal rate of return).

Под  внутренней  нормой  доходности  будем  понимать  ту  расчетную  ставку сложных процентов IRR, при  которой начисление процентов на инвестиции обеспечит выплату всех предусмотренных платежей.

Чем выше внутренняя норма доходности, тем эффективнее для инвестора финансовая операция. При неблагоприятных условиях IRR может быть нулевой или даже отрицательной величиной.

Для  того  чтобы  сформулировать  расчетные  процедуры  вычисления IRR, нам понадобится понятие чистой приведенной величины дохода, которое будет сформулировано ниже.

Финансовая  операция  может  предусматривать  неоднократные  и  разновременные переходы денежных сумм от одного владельца к другому. Рассматривая  поток  платежей  с  позиции  одного из  них,  будем считать все поступления R_j в момент времени t_j, j = 1,2,...,m, положительными величинами, а все его выплаты I_s в момент времени τ_s, s = 1,2,...,k, — отрицательными.

Тогда величина

называется чистой приведенной  величиной дохода (net present value) по ставке  сравнения i,  т.е.  формула (1)  определяет  современную величину  потока платежей с учетом их знака.

  Требование положительности NPV является обязательным при принятии решения о реализации финансовой операции кредитором. Если NPV финансовой  операции  положительна,  то  такая  операция в целом  эффективна.  Однако NPV  не  определяет  степень  эффективности  финансовой  операции.  Эту  роль  выполняет IRR,  определяемая  как  значение сложной  ставки  процентов,  при  которой  значение NPV  равно  нулю.  Таким образом, IRR — это корень уравнения:

NPV (IRR) = 0.           (2)

  Уравнение (2) называется уравнением баланса финансовой операции.

2) Сравнение современных стоимостей всех платежей контрактов

Рассмотрим поток платежей R₁, R₂,…, R_n, члены которого - платежи, поступающие соответственно в моменты t₁, t₂,…, t_n,  где 0 ≤ t₁ < t₂ <…< t_n ≤ T. Пусть известна стоимость потока P в момент t = 0. P может, например, означать сумму инвестиций в проект, по которому ожидаются доходы R₁, R₂,…,R_n  в моменты t₁, t₂,…, t_n. При этом проект не является заведомо убыточным, если  .

Доходность потока платежей за единицу времени - это ставка сложных процентов r , по которой современная стоимость потока платежей равна P:

.  (4.7)

Если сроки поступления платежей t₁, t₂,…, t_n измеряются в годах, то r - годовая доходность. Доходность потока платежей - это не процентная ставка потока. r зависит только от величины и моментов самих платежей. Поэтому её называют внутренней доходностью потока платежей. Уравнение (4.7), вообще говоря, может не иметь корней.

Корень уравнения F(r) = 0 является доходностью денежного потока  R₁, R₂,…, R_n, стоимость которого в момент t = 0 равна P. Для нахождения корня уравнения F(r) = 0 применяют приближенные методы. Рассмотрим метод линейной интерполяции.

Рис. 1.4.1

Пусть отрезок  таков, что . Тогда . На отрезке график функции F(r) заменим линейным участком - проведём хорду AB, . (r_л1,0) - точка пересечения хорды AB с осью Or.  r_л1 и является приближенным значением r*. Величина r_л1 рассчитывается по формуле

r_л1 .  (4.8)

Процедуру можно повторить до достижения требуемой точности.

Если имеется серия поступающих  платежей  a₁,  a₂ ,…, a_n  в моменты t₁ , t₂,…, t_n  и  серия расходов b₁, b₂ ,…, b_n  в те же моменты времени, то член потока R_k можно представить в виде разности     R_k = a_k – b_k , k  = 1,2,…, n, так как положительный платеж соответствует поступлению денег, отрицательный - их расходу (в большинстве случаев только одна из сумм a_k  и b_k будет ненулевой). Тогда R₁, R₂,…,R_n - это чистый денежный поток. Этот поток охватывает два встречных потока - расходов и поступлений. Доходность за единицу времени такого потока определяется как ставка сложных процентов r, по которой современная стоимость потока расходов равна современной стоимости потока доходов:

.

Это уравнение можно переписать в виде:

. (4.11)

Выражение (4.11) называется уравнением доходности денежного потока. Решение этого уравнения, если оно существует, является доходностью за единицу времени такого потока.

3) Определение предельных параметров контрактов, обеспечивающих конкурентоспособность

Для сравнения конкурентоспособности  двух альтернативных контрактов может также использоваться метод определения предельных значений их параметров, при котором сопоставляются цены или процентные ставки.

Предельным значением контракта  является величина, обеспечивающая его  конкурентоспособность относительно другого, базового, т.е. сравнимого с ним контракта, при неизменности остальных условий. Подобный анализ покупатель может использовать при определении допустимых значений цены или ставки процентов при согласии продавца изменить первоначальные условия.