Методы оптимальных решений

Теоретическая часть

1. В каком случае задача имеет множество решений (привести графический пример)

Если – вершина многогранника решений, то векторы Рj, соответствующие положительным xj в разложении , линейно независимы.

Сформулированные теоремы позволяют сделать следующие выводы.

Непустое множество планов основной задачи линейного программирования образует выпуклый многогранник. Каждая вершина этого многогранника определяет опорный план. В одной из вершин многогранника решений (т. е. для одного из опорных планов) значение целевой функции является максимальным (при условии, что функция ограничена сверху на множестве планов). Если максимальное значение функция принимает более чем в одной вершине, то это же значение она принимает в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией данных вершин.

Вершину многогранника решений, в которой целевая функция принимает максимальное значение, найти сравнительно просто, если задача, записанная в форме стандартной, содержит не более двух переменных или задача, записанная в форме основной, содержит не более двух свободных переменных, т. е. , где n – число переменных, r – ранг матрицы, составленной из коэффициентов в системе ограничений задачи.

Найдем решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:

при условиях

Каждое из неравенств системы ограничений задачи геометрически определяет полуплоскость соответственно с граничными прямыми и . В том случае, если система неравенств совместна, область ее решений есть множество точек, принадлежащих всем указанным полуплоскостям. Так как множество точек пересечения данных полуплоскостей – выпуклое, то областью допустимых решений является выпуклое множество, которое называется многоугольником решений (введенный ранее термин “многогранник решений” обычно употребляется, если ). Стороны этого многоугольника лежат на прямых, уравнения которых получаются из исходной системы ограничений заменой знаков неравенств на знаки точных равенств.

Таким образом, исходная задача линейного программирования состоит в нахождении такой точки многоугольника решений, в которой целевая функция F принимает максимальное значение. Эта точка существует тогда, когда многоугольник решений не пуст и на нем целевая функция ограничена сверху. При указанных условиях в одной из вершин многоугольника решений целевая функция принимает максимальное значение. Для определения данной вершины построим линию уровня (где h – некоторая постоянная), проходящую через многоугольник решений, и будем передвигать ее в направлении вектора до тех пор, пока она не пройдет через ее последнюю общую точку с многоугольником решений. Координаты указанной точки и определяют оптимальный план данной задачи.

Заканчивая рассмотрение геометрической интерпретации задачи, отметим, что при нахождении ее решения могут встретиться случаи, изображенные на рис. 1 - 4. Рис. 1 характеризует такой случай, когда целевая функция принимает максимальное значение в единственной точке А. Из рис. 2 видно, что максимальное значение целевая функция принимает в любой точке отрезка АВ. На рис. 3 изображен случай, когда целевая функция не ограничена сверху на множестве допустимых решений, а на рис. 4 – случай, когда система ограничений задачи несовместна.

Отметим, что нахождение минимального значения линейной функции при данной системе ограничений отличается от нахождения ее максимального значения при тех же ограничениях лишь тем, что линия уровня передвигается не в направлении вектора а в противоположном направлении. Таким образом, отмеченные выше случаи, встречающиеся при нахождении максимального значения целевой функции, имеют место и при определении ее минимального значения.

Итак, нахождение решения задачи линейного программирования  на основе ее геометрической интерпретации включает следующие этапы:

1. Строят прямые, уравнения которых получаются в результате замены в ограничениях знаков неравенств на знаки точных равенств.

2. Находят полуплоскости, определяемые каждым из ограничений задачи.

3. Находят многоугольник решений.

4. Строят вектор .

5. Строят прямую , проходящую через многоугольник решений.

6. Передвигают прямую в направлении вектора , в результате чего-либо находят точку (точки), в которой целевая функция принимает максимальное значение, либо устанавливают неограниченность сверху функции на множестве планов.

7. Определяют координаты точки максимума функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.

 

2. Как определяются временные оценки работ и событий?

Расчет временных параметров событий

Введем обозначения:

i, j – номер события; I – исходное событие; J – завершающее событие;

tPi, tPj – ранний срок свершения события;

tПi, tПj – поздний срок свершения события;

Rj , Rj – резерв времени события;

t(LI, j) – продолжительность пути от события I до события j;

tКР – продолжительность критического пути;

tij – продолжительность работы.

Расчет ранних сроков свершения событий начинается с первого события к последнему (слева направо). Максимальная продолжительность среди путей, ведущих от исходного события  до j-го:

tPj =

t(LIj).

Максимальное время завершения всех k работ, входящих в j-е событие:

tPj =

( + ).

Для исходного события ранний срок свершения события tPI = 0, для завершающего события tPJ = tКР.

Расчет поздних сроков свершения событий начинается с последнего события до начального (справа налево). Разность между длительностью критического пути и максимальным из путей, ведущих от i-го события  до завершающего:

tПi = tКР –

t(LiJ).

Минимальная разница между поздними сроками свершения последующих событий для всех k работ, выходящих из i-го события и длительностью этих работ:

tПi =

( – ).

Поздний срок свершения завершающего события

tПJ = tPJ = tКР.

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление данного события, не увеличивая при этом срок выполнения всего комплекса работ:

Ri = tПi – tРi.

События критического пути имеют нулевой резерв времени.

Расчет ранних сроков свершения событий начинается слева направо, от первого события до десятого. К раннему сроку свершения предшествующего события (левый сектор) прибавляется продолжительность последующей работы, получаем ранний срок свершения последующего события. Если в событие входят несколько работ, то ранний срок его свершения определяется по максимуму, то есть событие не произойдет, пока не завершатся все эти работы.

Расчет поздних сроков свершения событий начинается справа налево, от десятого события к первому. Из позднего срока свершения последующего события (правый сектор) вычитается продолжительность предшествующей работы, получаем поздний срок свершения предшествующего события. Если из предшествующего события входят несколько работ, то поздний срок его свершения определяется по минимуму, то есть из всех возможных значений позднего срока свершения выбирается минимальное.

Расчет временных параметров работ.

Ранний срок начала работы tPНij совпадает с ранним сроком свершения предшествующего работе события tPi:

tPНij = tPi.

Поздний срок окрнчания работы tПОij совпадает с поздним сроком свершения последующего за работой события tПj:

tПОij = tПj.

Ранний срок окончания работы tРОij:

tРОij = tРi + tij.

Поздний срок начала работы tПНij:

tПНij = tПj – tij.

Полный резерв времени работы RПij показывает, насколько можно увеличить время выполнения данной работы или насколько можно передвинуть на более поздний срок начало работы, не изменяя окончательного срока выполнения комплекса работ:

RПij = tПj  – tРi – tij.

Частный резерв времени работы (RЧij) – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в допустимо поздний срок ее окончания:

RЧij = tnj  – tni – tij , RЧij = RПij  – Ri .

Свободный резерв времени работы RСij – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в ранний срок свершения ее последующего события:

RСij = tРj  – tРi – tij , RСij = RПij  – Rj.

Независимый резерв времени работы RНij – это часть полного резерва, которая используется на увеличение продолжительности только данной работы, при этом все предшествующие работы могут заканчиваться в свои поздние сроки, а все последующие – в ранние:

RНij = tРj  – tПi – tij, RНij = RПij – Ri – Rj.

Использование независимого резерва не влияет на величину резерва времени других работ.

Коэффициент загруженности работы КЗ.

КЗ =

.

 

3. Какое распределение обычно имеет время обслуживания?

Время обслуживания – это период, в течение которого удовлетворяется требование на обслуживание. Время нахождения требования в системе состоит из времени обслуживания и времени ожидания обслуживания. Время обслуживания одного требования – это случайная величина, характеризующаяся законом распределения, который определяется на основе статистических испытаний. На практике чаще всего исходят из гипотезы о показательном законе распределения времени обслуживания, в котором плотность распределения убывает с возрастанием времени.

При показательном законе распределения времени обслуживания функция распределения F(t)обсл, представляющая собой вероятность того, что время обслуживания будет меньше заданной величины t, описывается следующим образом:

F(t)обсл = 1 – е-nt,

где  n – параметр системы обслуживания, величина, обратная среднему времени обслуживания, представляет собой интенсивность обслуживания одного требования одним аппаратом:

n =

,

где   – среднее время обслуживания одного требования одним аппаратом.

Следует заметить, что если закон распределения времени обслуживания показательный, то при наличии нескольких обслуживающих устройств одинаковой мощности закон распределения времени обслуживания несколькими устройствами будет также показательным:

где  n – количество обслуживающих устройств.

 

4. Дайте характеристику методов формирования коэффициентов прямых затрат в балансовых моделях

Величина aij называется коэффициентом прямых материальных затрат. Она показывает, какое количество продукции i-й отрасли идет на производство единицы продукции j-й отрасли. Коэффициенты aij считаются в межотраслевой модели постоянными.

Подставляя выражение в формулу, получим:

 

Это соотношение можно записать в матричном виде:

X = AX + Y,

где  X = (X1, X2,..., Xn) – вектор валовых выпусков;

Y = (y1, y2,..., yn) – вектор конечного продукта;

A = – матрица коэффициентов прямых материальных затрат.

Коэффициенты прямых материальных затрат являются основными параметрами статической межотраслевой модели. Их значения могут быть получены двумя путями:

1) статистически. Коэффициенты определяются на основе анализа отчётных балансов за прошлые годы. Их неизменность во времени определяется подходящим выбором отраслей;

2) нормативно. Предполагается, что отрасль состоит из отдельных производств, для которых уже разработаны нормативы затрат; на их основе рассчитываются среднеотраслевые коэффициенты.

Выражение принято называть балансом распределения продукции. Его можно использовать для анализа и планирования структуры экономики. Если известны коэффициенты прямых материальных затрат, то, задав конечный продукт по каждой отрасли, можно определить необходимые валовые выпуски отраслей. В этом заложена основная идея использования матричных моделей для планирования производства.

Преобразуем выражение:

X - AX = Y,

X (E - A) = Y,

X = (E - A) - 1Y,

где  E – единичная матрица.

До начала планирования следует выяснить, существует ли матрица, обратная матрице (E-A), и не будут ли получены отрицательные значения выпуска по отраслям.

Установим некоторые свойства коэффициентов прямых материальных затрат.

1. Неотрицательность, т.е. aij ≥ 0, Это утверждение следует из неотрицательности величин xij и положительности валовых выпусков Xj.

2. Сумма элементов матрицы A по любому из столбцов меньше единицы, т.е.

 

 

5. Геометрические методы решения игр с матрицами 2хn и mх2 и их применение

Любая конечная игра mxn имеет решение, в котором число активных стратегий каждого игрока не превосходит , где . Следовательно, у игры 2xn или mx2 всегда имеется решение содержащее не более двух активных стратегий у каждого из игроков . Если эти активные стратегии игроков будут найдены, то игры 2xn и mx2 превращаются в игры 2x2, методы решения которых рассмотрены выше.