Методы оптимальных решений

 

Решение.

Для определения средней (ожидаемой) длительности работ на основе экспертного опроса даются три временные характеристики (оценки времени выполнения работ):

1. Оптимистическая (минимальная) оценка toij;

2. Пессимистическая (максимальная) оценка tnij;

3. Наиболее вероятная оценка tнвij.

Тогда среднее (ожидаемое) время выполнения работы определяется выражением:

Рассчитаем ожидаемую продолжительность работ.

Таблица 10

Код работ	to	tнв	tп	tож
1-2	2	3	4	3
1-4	3	4	5	4
1-6	4	5	7	5,2
2-3	1	3	4	2,8
2-6	1	2	4	2,2
3-5	1	5	9	5
4-6	0	0	0	0
5-6	0	0	0	0
6-7	2	3	4	3
6-8	4	5	6	5
7-8	0	0	0	0
8-9	5	6	7	6
8-10	6	7	8	7
8-11	6	7	10	7,3
8-12	6	8	10	8
9-12	0	0	0	0
10-13	2	3	4	3
11-12	2	4	5	3,8
12-13	2	3	5	3,2

 

Построим сетевой график из 13 событий.

Определим временные параметры событий непосредственно на сетевом графике.

Расчет ранних сроков свершения событий начинается слева направо, от первого события до тринадцатого. К раннему сроку свершения предшествующего события (левый сектор) прибавляется продолжительность последующей работы, получаем ранний срок свершения последующего события. Если в событие входят несколько работ, то ранний срок его свершения определяется по максимуму, то есть событие не произойдет, пока не завершатся все эти работы.

 

 

Рисунок 3. Сетевой график 

 

Расчет поздних сроков свершения событий начинается справа налево, от тринадцатого события к первому. Из позднего срока свершения последующего события (правый сектор) вычитается продолжительность предшествующей работы, получаем поздний срок свершения предшествующего события. Если из предшествующего события входят несколько работ, то поздний срок его свершения определяется по минимуму, то есть из всех возможных значений позднего срока свершения выбирается минимальное.

Критический путь пройдет через события 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 13.

Результаты расчета временных параметров событий представлены в таблице.

Таблица 11

Временные параметры событий

№ события	Сроки свершения события		Резерв события (Ri)
	tpi	tni
1	0	0	0
2	3	3	0
3	5,8	5,8	0
4	4	10,8	6,8
5	10,8	10,8	0
6	10,8	10,8	0
7	13,8	15,8	2
8	15,8	15,8	0
9	21,8	26,9	5,1
10	22,8	27,1	4,3
11	23,1	23,1	0
12	26,9	26,9	0
13	30,1	30,1	0

 

Ранний срок начала работы tPНij совпадает с ранним сроком свершения предшествующего работе события tPi:

tPНij = tPi.

Поздний срок окрнчания работы tПОij совпадает с поздним сроком свершения последующего за работой события tПj:

tПОij = tПj.

Ранний срок окончания работы tРОij:

tРОij = tРi + tij.

Поздний срок начала работы tПНij:

tПНij = tПj – tij.

Полный резерв времени работы RПij показывает, насколько можно увеличить время выполнения данной работы или насколько можно передвинуть на более поздний срок начало работы, не изменяя окончательного срока выполнения комплекса работ:

RПij = tПj  – tРi – tij.

Частный резерв времени работы (RЧij) – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в допустимо поздний срок ее окончания:

RЧij = tnj  – tni – tij , RЧij = RПij  – Ri .

Свободный резерв времени работы RСij – это часть полного резерва, на которую можно увеличить время завершения работы, уложившись в ранний срок свершения ее последующего события:

RСij = tРj  – tРi – tij , RСij = RПij  – Rj.

Независимый резерв времени работы RНij – это часть полного резерва, которая используется на увеличение продолжительности только данной работы, при этом все предшествующие работы могут заканчиваться в свои поздние сроки, а все последующие – в ранние:

RНij = tРj  – tПi – tij, RНij = RПij – Ri – Rj.

Использование независимого резерва не влияет на величину резерва времени других работ.

Коэффициент загруженности работы КЗ.

КЗ =

.

Результаты расчета временных параметров работ представлены в таблице 7.

Таблица 12

Временные параметры работ

Код работы i - j	Длительность работы, tij	Сроки работы				Резервы времени				Коэф. загруженности, КЗ
		tрн	tро	tпн	tпo	RП	RЧ	RС	RН
1-2	3	0	3	0	3	0	0	0	0	1,00
1-4	4	0	4	6,8	10,8	6,8	6,8	0	0	0,37
1-6	5,2	0	5,2	5,6	10,8	5,6	5,6	5,6	5,6	0,48
2-3	2,8	3	5,8	3	5,8	0	0	0	0	1,00
2-6	2,2	3	5,2	8,6	10,8	5,6	5,6	5,6	5,6	0,28
3-5	5	5,8	10,8	5,8	10,8	0	0	0	0	1,00
4-6	0	4	4	10,8	10,8	6,8	0	6,8	0	0,00
5-6	0	10,8	10,8	10,8	10,8	0	0	0	0	0,00
6-7	3	10,8	13,8	12,8	15,8	2	2	0	0	0,60
6-8	5	10,8	15,8	10,8	15,8	0	0	0	0	1,00
7-8	0	13,8	13,8	15,8	15,8	2	0	2	0	0,00
8-9	6	15,8	21,8	20,9	26,9	5,1	5,1	0	0	0,54
8-10	7	15,8	22,8	20,1	27,1	4,3	4,3	0	0	0,62
8-11	7,3	15,8	23,1	15,8	23,1	0	0	0	0	1,00
8-12	8	15,8	23,8	18,9	26,9	3,1	3,1	3,1	3,1	0,72
9-12	0	21,8	21,8	26,9	26,9	5,1	0	5,1	0	0,00
10-13	3	22,8	25,8	27,1	30,1	4,3	0	4,3	0	0,41
11-12	3,8	23,1	26,9	23,1	26,9	0	0	0	0	1,00
12-13	3,2	26,9	30,1	26,9	30,1	0	0	0	0	1,00

 

График Ганта (масштабный календарный план-график) строится в прямоугольной системе координат. Каждая работа изображается параллельными оси времени отрезками, равными продолжительности работы. Номера предшествующего и последующего событий для каждой работы проставляются на концах отрезка. Отрезки располагаются один под другим, сверху вниз, сначала по возрастанию i, а при одинаковых i - по возрастанию j.

 

Задание 5

Провести расчеты показателей качества системы массового обслуживания и проанализировать полученные результаты сравнивая их с представленным примером. Пояснить какая система является более приемлемой для внедрения на производстве и почему.

Допустим, имеется возможность выбора способа реализации производственного процесса, используя различные технологии и различное оборудование: 1-й способ, рассмотренный в варианте, 2-й способ, для которого необходимо также рассчитать все приведенные показатели и сравнить с 1-м, определяется следующим образом: количество работников необходимо увеличить на 1 для всех вариантов. Интенсивность поступления заявок во всех случаях равна 1 (один из станков выходит из строя в среднем 1 раз в час), время обслуживания станка 6 мин.

Количество станков	15
Количество работников	2

 

Решение.

1-й способ

Оценим основные характеристики работы мастерской как СМО с ожиданием или без потерь.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 – все станки работают, очереди нет;

k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 – два станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

k = 15 – два станка обслуживаются, тринадцать в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р15.

Вероятность того, что все обслуживающие аппараты свободны:

Р0 = ( ×ak + × ak)-1.

Введем обозначения для краткой записи ( ) и ( ), тогда

Р0 = ( + )-1.

Определим значения для случая, когда очереди нет (0 £ k £ 2):

Определим значения для случая, когда очередь есть (3 £ k £ 15):

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Среднее число станков, стоящих в очереди:

Это означает, что в среднем из 15 станков 0,597 простаивают в очереди на обслуживание.

Коэффициент простоя станка в очереди:

Это означает, что в среднем каждый станок 4 % времени простаивает в очереди.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании):

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания:

Это означает, что 12,8 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 15.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих):

Это означает, что из двух человек в среднем один всегда занят, а другой свободен в течение 69,2 % времени.

Коэффициент простоя рабочего:

Это означает, что в среднем каждый рабочий 34,6 % рабочего времени простаивает без работы.

Результаты расчетов представлены в таблице ниже.

 

 

Таблица 13

Число требований, k	Число требований, ожидающих обслуживания, k - n	Число свободных рабочих, n - k	и	Рk=bk×Р0	(k-n) Рk	k×Рk	(n-k) Рk
0	-	2	1	0,19760259	-	-	0,39520517
1	-	1	1,5	0,29640388	-	0,29640388	0,29640388
2	-	-	1,05	0,20748272	-	0,41496543	-
3	1	-	0,6825	0,13486377	0,269727531	0,4045913	-
4	2	-	0,4095	0,08091826	0,161836519	0,32367304	-
5	3	-	0,225225	0,04450504	0,089010085	0,22252521	-
6	4	-	0,1126125	0,02225252	0,044505043	0,13351513	-
7	5	-	0,050675625	0,01001363	0,020027269	0,07009544	-
8	6	-	0,02027025	0,00400545	0,008010908	0,03204363	-
9	7	-	0,007094588	0,00140191	0,002803818	0,01261718	-
10	8	-	0,002128376	0,00042057	0,000841145	0,00420573	-
11	9	-	0,000532094	0,00010514	0,000210286	0,00115657	-
12	10	-	0,000106419	0,00002103	0,00004206	0,00025234	-
13	11	-	0,0000160	0,00000315	0,00000631	0,0000410	-
14	12	-	0,0000016	0,00000032	0,00000063	0,0000044	-
15	13	-	0,0000001	0,00000002	0,00000003	0,0000002	-
S	-	-	5,060662491	-	0,597021632	1,91609054	0,69160905