Методы оптимальных решений

 

 

2-й способ

Увеличим количество работников на 1.

Оценим основные характеристики работы мастерской как СМО с ожиданием или без потерь.

В любой момент времени система находится в одном из своих возможных состояний:

k = 0 – все станки работают, очереди нет;

k = 1 – один станок обслуживается, очереди нет;

k = 2 – два станка обслуживаются, очереди нет;

k = 3 – три станка обслуживаются, очереди нет;

k = 4 – три станка обслуживаются, один в очереди, остальные работают;

k = 15 – три станка обслуживаются, двенадцать в очереди на обслуживание, т.е. ни один станок не работает.

Этим состояниям системы соответствуют вероятности:

Р0, Р1, Р2, Р3, …, Р15.

Определим значения для случая, когда очереди нет (0 £ k £ 3):

Определим значения для случая, когда очередь есть (4 £ k £ 15):

Вероятность того, что в системе не будет ни одного требования:

Среднее число станков, стоящих в очереди:

Это означает, что в среднем из 15 станков 0,196 простаивают в очереди на обслуживание, что на 0,401 меньше, чем при обслуживании двумя работниками.

Коэффициент простоя станка в очереди:

Это означает, что в среднем каждый станок 1,3 % времени простаивает в очереди, что на 2,7 % меньше, чем при обслуживании двумя работниками.

Среднее число простаивающих станков (в очереди и обслуживании):

Коэффициент простоя станка в системе обслуживания:

Это означает, что 9,7 % времени в среднем будет простаивает каждый станок из 15, что на 3,1 % меньше, чем при обслуживании двумя работниками.

Среднее число свободных обслуживающих аппаратов (рабочих):

Это означает, что из трех человек в среднем один всегда свободен, а другой свободен в течение 64,5 % времени.

Коэффициент простоя рабочего:

Это означает, что в среднем каждый рабочий 54,8 % рабочего времени простаивает без работы, что на 20,2 % больше, чем при обслуживании двумя работниками.

Результаты расчетов представлены в таблице ниже.

Как видим увеличение количества работников приводит к более быстрому обслуживанию станков, количество станков, находящихся в очереди – сокращается, однако вместе с этим увеличивается время простоя одного рабочего.

 

 

Таблица 14

Число требований, k	Число требований, ожидающих обслуживания, k - n	Число свободных рабочих, n - k	и	Рk=bk×Р0	(k-n) Рk	k×Рk	(n-k) Рk
0	-	3	1	0,233375234	-	-	0,7001257
1	-	2	1,5	0,35006285	-	0,35006285	0,7001257
2	-	1	1,05	0,245043995	-	0,490087991	0,245044
3	-	-	0,455	0,106185731	-	0,318557194	-
4	1	-	0,182	0,042474293	0,127422878	0,16989717	-
5	2	-	0,066733333	0,015573907	0,046721722	0,077869536	-
6	3	-	0,022244444	0,005191302	0,015573907	0,031147815	-
7	4	-	0,006673333	0,001557391	0,004672172	0,010901735	-
8	5	-	0,001779556	0,000415304	0,001245913	0,003322434	-
9	6	-	0,00041523	0,0000969043	0,000290713	0,000872139	-
10	7	-	0,000083046	0,0000193809	0,0000581426	0,000193809	-
11	8	-	0,000013841	0,0000032301	0,0000096904	0,0000355316	-
12	9	-	0,000001845	0,0000004307	0,0000012921	0,0000051682	-
13	10	-	0,000000185	0,0000000431	0,0000001292	0,0000005599	-
14	11	-	0,000000012	0,0000000029	0,0000000086	0,0000000402	-
15	12	-	0,0000000004	0,0000000001	0,0000000003	0,0000000014	-
S	-	-	4,284944826	-	0,195996567	1,452953973	1,6452954

 

 

Задание 6

По заданным коэффициентам прямых затрат (матрица А) и заданным значениям конечного продукта для 4-х отраслей (вектор Y), найти добавленную стоимость для каждой из четырех отраслей. Представить все промежуточные расчеты.

Решение.

Первое балансовое соотношение выражает связь между первым и вторым разделами балансовой модели:

т.е. валовой выпуск отрасли равен сумме промежуточного и конечного продукта.

Второе балансовое соотношение выражает связь между первым и третьим разделами балансовой модели:

т.е. общие расходы отрасли равны сумме материальных затрат и добавленной стоимости.

Третье балансовое соотношение выражает связь между вторым и третьим разделами балансовой модели:

т.е. сумма конечной продукции отраслей равна сумме добавленной стоимости этих отраслей.

Запишем модель Леонтьева в матричном виде:

АХ + Y = Х, откуда: Х – АХ =Y или (Е – А) × Х = Y,

где  Е – единичная матрица той же размеренности, что и матрица А;

(Е – А) – матрица  Леонтьева.

Отсюда решение задачи находится из следующего выражения:

Х = (Е – А)-1 × Y,

где  (Е – А)-1 – обратная к матрице Леонтьева матрица.

Составим единичную матрицу:

Матрица Леонтьева будет иметь вид:

Найдем обратную матрицу В:

Определим вектор Х – вектор валового выпуска продукции:

Вектор Xj – вектор общих расходов, получаем транспонированием вектора Xi:

Сумма материальных затрат определяется из выражения:

Xij = aij × Xj.

Зная величину материальных затрат Xij и вектор общих расходов, определим добавленную стоимость из второго балансового соотношения:

Так для первой отрасли добавленная стоимость равна 42,91 у.е., для второй 57,06 у.е., для третьей и четвертой – 85,19 и 83,84 у.е. соответственно.

 

Задание 7

Найти решение игровых ситуаций графически, аналитически и представить игру в виде задачи линейного программирования.

Допустим в матричной игре два игрока имеют возможность выбора из нескольких вариантов решений. Аi (i=1-m) – стратегии игрока А, Вj (j=1-n) – стратегии игрока В. Значения выигрышей представлены в матрицах по вариантам.

Решение.

Решим задачу графически.

	В1	В2	α
А1	12	9	9
А2	3	18	3
А3	9	13	9
А4	14	4	4
β	14	18

 

Нижняя цена игры составляет a = 9, верхняя равна b = 14. Игра не имеет седловой точки (a ¹ b), имеем игру в смешанных стратегиях.

Для игрока B:

 

Отсюда:

Для игрока А:

получаем игру 2 х 2, используя стратегии А1 и А3 игрока А:

Отсюда:

Прямая и двойственная задачи линейного программирования имеют вид:

  

  

     

Из решения можно найти цену игры:

Найдем оптимальное решение задачи для второго игрока симплексным методом.

Таблица 15

Номер итерации	БП	Сб	b	У1	У2	У3	У4	У5	У6
				1	1	0	0	0	0
0	У3	0	1	12	9	1	0	0	0	0,08
	У4	0	1	3	18	0	1	0	0	0,33
	У5	0	1	9	13	0	0	1	0	0,11
	У6	0	1	14	4	0	0	0	1	0,07
			0	-1	-1	0	0	0	0
Номер итерации	БП	Сб	B	У1	У2	У3	У4	У5	У6
				1	1	0	0	0	0
1	У3	0	0,143	0	5,571	1	0	0	-0,857	0,027
	У4	0	0,786	0	17,143	0	1	0	-0,214	0,049
	У5	0	0,357	0	10,429	0	0	1	-0,643	0,034
	У1	1	0,071	1	0,286	0	0	0	0,071	0,25
			0,071	0	-0,714	0	0	0	0,071
Номер итерации	БП	Сб	b	У1	У2	У3	У4	У5	У6
				1	1	0	0	0	0
2	У2	1	0,026	0	1	0,179	0	0	-0,154
	У4	0	0,346	0	0	-3,077	1	0	2,423	0,143
	У5	0	0,09	0	0	-1,872	0	1	0,962	0,093
	У1	1	0,064	1	0	-0,051	0	0	0,115	0,556
			0,09	0	0	0,128	0	0	-0,038
Номер итерации	БП	Сб	А0	У1	У2	У3	У4	У5	У6
				1	1	0	0	0	0
3	У2	1	0,04	0	1	-0,12	0	0,16	0
	У4	0	0,12	0	0	1,64	1	-2,52	0
	У6	0	0,093	0	0	-1,947	0	1,04	1
	У1	1	0,0533	1	0	0,173	0	-0,12	0
			0,0933	0	0	0,053	0	0,04	0

 

Из таблицы следует, что

Цена игры:

Так как

Оптимальная стратегия второго игрока:

Стратегии первого игрока найдем из последней симплексной таблицы, используя метод соответствия переменных исходной и двойственной задач. Получим:

Таким образом, игрок должен придерживаться стратегии  
, при этом цена игры будет не менее 10,7.

 

Задание 8

Определить наилучшую стратегию поведения на рынке товаров и услуг с помощью критериев: Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и максимакса. Сi (i=1-m) – стратегии лица, принимающего решения, Пj (j=1-n) – вероятные состояния рыночной среды, qj – вероятности проявления каждой из n возможных ситуаций во внешней среде.

 

 

Таблица 16

	q1=0,15	q2=0,2	q3=0,35	q4=0,25	q5=0,05
	П1	П2	П3	П4	П5
С1	69	59	95	15	11
С2	46	33	44	64	03
С3	94	51	57	89	68
С4	04	12	09	13	43
С5	74	56	71	68	42

 

Коэффициент «пессимизма» равен 0,4.

Решение.

Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 17

	q1=0,15	q2=0,2	q3=0,35	q4=0,25	q5=0,05	Пмин	Пмакс
	П1	П2	П3	П4	П5
С1	69	59	95	15	11	11	95
С2	46	33	44	64	03	3	64
С3	94	51	57	89	68	51	94
С4	04	12	09	13	43	4	43
С5	74	56	71	68	42	42	74
Пмакс	94	59	95	89	68