Использование рисковой стоимости (VAR) для анализа рисков

 

Вычисление, представленное в табл. 2.1, повторяется еще 99 раз для каждого дня во временном ряду из 100 наблюдений, при этом используются значения рыночных факторов на день вычисления VAR и процентные изменения рыночных факторов на каждый день во временном ряду. В результате получают 100 гипотетических значений изменения рыночной стоимости форвардного контракта (табл. 2.2).

Таблица 2.2

 Историческое моделирование  100 гипотетических дневных прибылей/потерь на форвардном контракте

День по порядку	Гипотетическое значение рыночных факторов			Рыночная стоимость  контракта, $ тыс.	Изменения в стоимости  контракта, $ тыс.
	% ставка, $	% ставка, £	USD/GBP
1	5,469	6,121	1,539	362,713	34,942
2	5,379	6,063	1,531	278,216	–49,555
3	5,469	6,005	1,529	270,141	–57,630
4	5,469	6,063	1,542	392,140	64,8
96	5,438	6,063	1,536	332,140	4,369
97	5,438	6,063	1,534	310,766	–17,005
98	5,469	6,125	1,536	325,914	–1,875
99	5,469	6,001	1,536	338,368	10,597
100	5,469	6,063	1,557	539,821	212,05

 

Четвертый этап: сортирование гипотетических изменений в стоимости контракта

На данном этапе гипотетические изменения в стоимости контракта сортируются в порядке убывания: от самой большой прибыли за один день до самых крупных убытков за один день (табл. 2.3). Отсортированная в порядке убывания выборка является эмпирическим распределением однодневных изменений стоимости gфорвардного контракта. Поскольку вся выборка состоит из 100 наблюдений, то каждое значение имеет вероятность 1%. Как видно из табл. 2.3, самая крупная дневная прибыль на данном контракте составляет $212,05 тыс., а самые крупные дневные убытки составляют –$143,207 тыс.

 

 

 

 

 

Таблица 2.3

Эмпирическое распределение  гипотетических дневных прибылей / потерь на форвардном контракте

Номер в порядке убывания прибылей по контракту	Гипотетическая рыночная стоимость контракта, $ тыс.	Гипотетические изменения  в стоимости контракта, $ тыс.
1	539,821	212,05
2	480,897	153,126
3	434,228	106,457
4	425,982	98,211
.
96	230,541	–97,23 VAR95%
97	230,319	–97,452
98	203,798	–123,973
99	196,208	–131,563
100	184,564	–143,207

 

Пятый этап: выбор наблюдения, которое  соответствует VaR с заданным доверительным уровнем

На последнем этапе выбирается значение убытков, соответствующее VaR с заданным уровнем вероятности. Например, для 95%-ной VAR необходимо выбрать  уровень дневных убытков, который  был превышен не более чем в 5% случаев. Поскольку в данном случае мы использовали стодневную выборку, то VAR^95% равен пятому наблюдению с конца или $97,23 тыс.

Следует отметить, что у метода исторического моделирования есть два серьезных недостатка [24]. Во-первых, довольно трудно получить надежную оценку крайних (экстремальных) процентилей распределения при небольшом количестве наблюдений. Допустим, при вычислении VaR^99% с использованием данных за один год, состоящий из 250 торговых дней, используется третье с конца наблюдение. Поэтому дневные VaR, вычисленные методом исторического моделирования, часто подвержены резким колебаниям. Во-вторых, метод исторического моделирования предполагает, что прибыльности являются независимыми и идентично распределенными, и соответственно, не позволяет волатильности изменяться с течением времени. Решить первую проблему помогает использование длинных временных рядов. При применении метода исторического моделирования нередко используются временные ряды длиной до пяти лет. Однако использование длинных временных рядов лишь усугубляет проблему изменяющейся волатильности. В рамках исторического моделирования придать больший вес недавним наблюдениям можно только одним способом, а именно использовать “короткое окно наблюдений”. При длинных временных рядах уменьшается вес недавних наблюдений, а при коротких — снижается надежность оценки экстремальных процентилей.

Для устранения недостатков исторического  моделирования применяется так  называемый “гибридный” подход, при  котором недавним наблюдениям придается  больший вес, чем сделанным давно. В частности, был предложен метод [12], согласно которому величина веса для наблюдения периода t - j (где j = 1,…, t-1) во временном ряду, состоящем из к наблюдений, равна  , где λ = 0,98, и убывает по мере удаления периода t. На первом этапе все гипотетические прибыльности сортируются подобно тому, как это делается при использовании метода исторического моделирования. Однако если в рамках данного метода к каждому наблюдению временного ряда применяют одинаковые веса, то при использовании гибридного метода к эмпирическому ряду прибыльностей применяют экспоненцально убывающие веса. Вес, приданный наблюдению, приравнивается к вероятности наблюдения данного значения переменной. Для определения необходимого процентиля эмпирического распределения суммируются веса  (соответствующие отсортированным гипотетическим значениям прибыльностей), до тех пор пока не будет достигнут требуемый процентиль.

Существует и второй гибридный метод, объединяющий метод исторического симулирования и динамические моделирование изменений волатильности [11]. Когда при вычислении VaR применяется именно он, вместо использования исторической прибыльности прибегают к прибыльности, умноженной на соотношение дневной волатильности на момент вычисления VaR к волатильности на день наблюдения данной прибыльности. Например, 20 дней назад была зафиксирована прибыльность 1,6% и волатильность 1%. Если на день вычислений VaR волатильность составляет 1,5%, то модифицированная прибыльность равна 2,4%. Общая формула вычисления модифицированной прибыльности  , где Т — период вычисления VaR, t — период наблюдения прибыльности. Для вычисления σ_Tj и σ_tj , в свою очередь, могут использоваться либометод GARCH, либо метод экспоненциального сглаживания. Как показали эмпирические исследования на материалах рынка Forex, применение подобного гибридного метода с модифицированным значением прибыльностей дает более точные результаты, чем применение либо чистого метода исторического моделирования, либо чисто ковариационного метода с экспоненциальным сглаживанием волатильностей [25].

2.1.2 Вычисление VaR валютного форвардного контракта ковариацион-ным методом

Ковариационный метод основан  на предпосылке о том, что прибыльности рыночных факторов имеют многомерное  нормальное (гауссовское) распределение. Математические свойства нормального  распределения используются для  вычисления рисковой стоимости. Стандартное отклонение стоимости форвардного контракта в данном примере равно $52,5 тыс. Исходя из свойств нормального распределения можно утверждать — вероятность того, что убытки по контракту будут равны или превысят 1,65 стандартного отклонения, составляют 5%. Соответственно, VAR^95% вычисляется как: VAR^95% = 1,65 х стандартное отклонение изменений в стоимости контракта = 1,65 x 52500 = $86,625 тыс.

Вычисление VAR ковариационным методом  состоит из четырех этапов, которые  будут рассмотрены ниже.

Первый этап: определение основных рыночных факторов, влияющих на рыночную стоимость контракта и стандартизированных  позиций, связанных с данными  факторами

Стандартизированная позиция —  это позиция, рыночная стоимость  которой зависит только от одного рыночного фактора.

Форвардный контракт может быть представлен как портфель, состоящий  из трех стандартизированных позиций. Портфель из стандартизированных позиций  по определению имеет такую же дельта-чувствительность к рыночным факторам, как и сам форвардный контракт. Обозначим V ≡ X₁ + X₂+ X₃ стоимость портфеля из трех стандартизированных позиций X₁, X₂ и X₃:

,

где X₁ — стоимость позиции в трехмесячной долларовой облигации,

X₂ — долларовая стоимость фунтовой трехмесячной облигации при фиксированном спотовом обменном курсе — S = 1,5355 американский доллар / английский фунт,

X₃ — долларовая стоимость валютной позиции в британских фунтах, равная дисконтированной (приведенной) стоимости фунтовой облигации при фиксированной процентной ставке — r_GBP = 0,0603%.

При таком выборе стандартизированных  позиций чувствительность форвардного  контракта и портфеля стандартизированных  позиций к изменениям рыночных факторов равны:

.

 

Второй этап: вычисление волатильности рыночных факторов

На данном этапе вычисляются  коэффициенты корреляции между прибыльностью  рыночных факторов. Предполагается, что однодневные прибыльности рыночных факторов имеют многомерное нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием. В данном примере волатильность трехмесячной долларовой процентной ставки равна 0,61, волатильность трехмесячной фунтовой процентной ставки — 0,58, а волатильность спотового обменного курса между долларом и фунтом — 0,35. Корреляционная матрица прибыльности рыночных факторов показана в табл. 2.4.

Таблица 2.4.

Корреляционная матрица  прибыльности рыночных факторов

	r $	r£	S
r $	1,00
R £	0,11	1,00
S	0,19	0,10	1,00

 

Третий этап: вычисление волатильности  и корреляции стандартизированных  позиций X₁, X₂ и X₃ 

Для данного вычисления используются волатильности и корреляции рыночных факторов, найденные на предыдущем этапе, а также представленные ниже формулы.

.

Аналогично,   и  .

Отметим, что   по определению является модифицированной дюрацией долларовой облигации, а   представляет собой модифицированную дюрацию фунтовой облигации.

Корреляции между прибыльностью  стандартизированных позиций равны  корреляциям между прибыльностью  соответствующих рыночных факторов. В тех случаях когда стоимость стандартизированной позиции и значение рыночного фактора меняются в противоположных направлениях, берется коэффициент корреляции между стандартизированными позициями с негативным знаком. Например, корреляция между долларовой процентной ставкой и обменным курсом равна 0,19, но корреляция между изменениями в стоимости первой и третьей стандартизированныхx позиций равна –0,19, т. к. стоимость Х₁ уменьшается по мере увеличения r_USD.

 

Четвертый этап: вычисление волатильности портфеля стандартизированных позиций и VaR 

В данном примере σ_{портфель} = $52,5 тыс. и, соответственно,

VAR^95% = 1,65 (σ_{портфель}) = $86,625 тыс.

Как видно из вышеприведенных вычислений, при использовании ковариационного метода ключевую роль играет прогнозирование волатильности. Краткосрочные прибыльности большинства финансовых инструментов характеризуются, с одной стороны, нулевой автокорреляцией. Однако, с другой стороны, они не являются независимыми, поскольку существует значительная автокорреляция между квадратом прибыльностей. Как правило, за малыми изменениями прибыльностей следуют малые изменения прибыльностей, а вслед за значительными изменениями прибыльностей следуют их значительные изменения. Это указывает на то, что волатильность меняется с течением времени. Данное поведение прибыльности финансовых инструментов называется “кластеризацией волатильности”. Кластеризация волатильности влияет на величину VaR, и для ее моделирования были разработаны и широко применяются модели типа GARCH (Generalized autorgressive conditional heteroscedasticity — обобщенная модель авторегрессивной условной гетероскедастичности) [26, 27]. Волатильность на большинстве финансовых и товарных рынков также характеризуется асимметричной реакцией на положительные и негативные шоки. Негативные неожиданные изменения (шоки) в прибыльности акций ведут к гораздо более сильному повышению волатильности, чем положительные шоки. Для прогнозирования волатильности в подобных ситуациях обычно используется асимметричный вариант GARCH, так называемый TGARCH (Threshold GARCH — пороговый GARCH). Для одновременного моделирования VaR как длинных, так и коротких позиций используются модели типа APARCH (Asymmetric Power ARCH — асимметричный “в степени” ARCH) [28], также способные улавливать асимметричность в поведении волатильности. Существует еще множество других разновидностей модели GARCH, которые применяются в зависимости от ситуации. Для оценки всех упомянутых и многих других моделей класса GARCH применяются различные эконометрические и статистические пакеты: SAS, GAUSS, Limdep, RATS, TSP, EViews, S+, Matlab.