Определение параметров уравнения регрессии с помощью косвенного метода наименьших квадратов и двухшагового метода наименьших квадратов

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОБЛАСТНОЙ  ИНСТИТУТ

ЭКОНОМИКИ И  ФИНАНСОВ

 

Экономический факультет

 

Кафедра информационных технологий

 

 

ОТЧЁТ

 о лабораторной  работе № 4

по дисциплине: «Эконометрика»

 

на тему: «Определение параметров уравнения регрессии с помощью косвенного метода наименьших квадратов и двухшагового метода наименьших квадратов»

(Вариант № 1)

 

 

 

Выполнил

студент дневного отделения

3 курса 162 группы

Баранов Е.А.

 

Проверил:

Пучков В.Ф.

 

 

Гатчина

2008

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Сегодня вопрос о построении эконометрической модели и об определении  возможностей ее использования для  описания, анализа и прогнозирования реальных экономических процессов достаточно актуален.

Цель работы: определение параметров уравнения регрессии косвенным методом наименьших квадратов (КМНК), двухшаговым методом наименьших квадратов (ДМНК), а также сравнение  полученных результатов.

Центральной проблемой эконометрики является построение эконометрической модели и определение возможностей её использования для описания, анализа  и прогнозирования реальных экономических  процессов.

Данная работа посвящена  определению параметров уравнения функции потребления в простой кейнсианской модели формирования доходов

Вся работа состоит из трёх глав. В  первой главе идёт постановка самой  задачи. Во второй главе  рассматриваются  алгоритмы вычисления показателей.

В третьей главе идет определение параметров уравнения регрессии,  с использованием косвенного метода наименьших квадратов, оценка адекватности и точности модели, проверка отсутствия или наличия гетероскедастичности исследуемой модели, а также определение параметров уравнения регрессии, с использованием обычного МНК.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

1.1. Общая постановка задачи

 

Модель Клейна является ярким представителем эконометрических моделей, т.к. в уравнениях модели присутствует случайная составляющая, а сами уравнения фактически являются системой линейных одновременных совместных регрессионных уравнений. Для определения параметров этих уравнений необходимо использовать разработанные в эконометрике специальные методы определения параметров данных уравнений.

В общем виде модель Клейна представляется следующей системой уравнений:

 

(1)

 

где t = l,2,3...n;

C(t) - объем потребления;

I(t) - объем чистых инвестиций;

W^P(t) - заработная плата в частном секторе;

W^G(t) - заработная плата в государственном секторе;

Y(t) - валовой внутренний продукт (без чистого экспорта и прироста запасов);

P(t) - общая прибыль;

K(t) - основной капитал;

G(t) - государственные расходы;

T(t) - общий сбор налогов;

ε₁(t), ε₂(t), ε₃(t) - случайные составляющие;

а₀, а₁ а₂, а₃,  b₀, b₁, b₂, b₃, d₀, d₁, d₂, d₃ - определяемые параметры системы линейных одновременных уравнений (1).

В модели используются годовые значения переменных величин, которые с изменением значения времени t, соответственно, меняют свою величину.

При этом объем  потребления в момент времени t линейно зависит от общей прибыли на данный момент времени, предыдущей прибыли и суммы заработных плат в частном и государственном сектоpax, а также от некоторой случайной составляющей, учитывающей влияние других факторов. Объем чистых инвестиций определяется линейной зависимостью от общей прибыли на данный момент времени, предыдущей прибыли и предыдущим значением основного капитала (учет амортизационных отчислений). Остальные факторы учтены в виде случайной составляющей. Величина заработной платы в частном секторе представлена как линейная функция от валового внутреннего продукта в данный момент времени и предшествующий момент времени, а также меняется с течением времени (учет инфляции). Влияние неучтенных факторов отражено в виде аддитивной случайной составляющей.

В представленной модели девять переменных, из которых шесть являются эндогенными переменными: C(t), I(t), W^P(t), Y(t), P(t), K(t). Данные переменные определяются внутри модели. Из этих эндогенных переменных три переменных присутствуют в модели также и в виде лаговых переменных, т.е. в виде прошлых значений этих переменных: Y(t-l), P(t-1), K(t-l).

Экзогенными переменными, т.е. переменными, заданными вне модели, являются: W^G(t), G(t), T(t), t. Данные переменные вместе с лаговыми переменными образуют систему предопределенных переменных. Набор этих переменных во многом обусловливает возможность идентификации модели.

Первые три  уравнения показывают фактическую  взаимосвязь между переменными  модели с учетом случайной составляющей и содержат двенадцать неизвестных параметров. Данные параметры подлежат определению по имеющейся информации об эндогенных и экзогенных переменных.

Последние три  уравнения не содержат неизвестных  параметров и являются балансовыми  уравнениями, Рассмотрим порядок определения параметров модели (1) на примере упрощенной модели.

 

1.2 Упрощенная модель  Клейна

 

В качестве упрощенной модели Клейна возьмем систему линейных одновременных уравнений, в которой исключены три уравнения:    

-   определения величины капитала в момент времени t;

-   нахождения величины заработной платы в частном секторе;

-   определение общей прибыли.

Кроме того, объем потребления и  чистые инвестиции считаются зависимыми только от значений валового внутреннего  продукта на данный момент времени t и не зависят от его значений в предыдущий момент времени. Из уравнений выведены также переменные, определяемые в исключенных уравнениях. Таким образом получаем следующую систему уравнений:

                                                       (2)

где t=1,2,3…n;

C(t) – объем потребления;

I(t) - объем чистых инвестиций;

Y(t) – валовый внутренний продукт (без чистого экспорта и прироста запасов);

G(t) – государственные расходы;

с₁ – склонность к потреблению;

i₁ – склонность к инвестированию;

с_0, i₀ – свободные члены уравнения.

u₁(t), u₂(t) – случайные составляющие, имеющие математическое ожидание равное нулю, постоянную дисперсию и отсутствие взаимосвязи между собой.

В модели первые два уравнения отражают взаимосвязь между переменными модели с учетом случайной составляющей и содержат четыре неизвестных параметра. Последнее уравнение является балансовым уравнением. Все переменные [C(t), I(t), Y(t)], кроме G(t) являются  эндогенными переменными.  Переменная G(t) – это экзогенная переменная. В связи с тем, что в модели отсутствуют лаговые переменные, то в качестве предопределенной переменной выступает только переменная G(t). Определению, по имеющейся выборке, подлежат параметры: с_0, с_1, i_0, i_1.

 

2. КОСВЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Для определения неизвестных параметров непосредственно из системы уравнений (1) нельзя использовать обычный метод наименьших квадратов. Это вызвано тем, что переменная Y(t) имеет корреляционную связь со случайными составляющими u₁(t) и u₂(t), а значит получаемые оценки параметров будут смещёнными.

С целью устранения этого препятствия  используем косвенный метод наименьших квадратов (КМНК). Для реализации данного  метода подставим из третьего уравнения  системы значение Y(t) в первое и второе уравнения системы. В результате преобразований получаем следующие уравнения:

 

                                                       (3)

 

Систему уравнений (3) можно записать в следующем виде:

 

                                                       (4)

 

где:

                                                            (5)

                   .                          (5а)

 

Для того чтобы получить из (4) систему приведённых уравнений, достаточно из второго уравнения значение переменной I(t) подставить в первое уравнение, а значение переменной C(t) из первого уравнения подставить во второе уравнение. В результате несложных преобразований имеем:

           (6)

Данную систему  уравнений представим в следующем  виде:

 

                                            (7)

где:

                    (8)

 

    .              (8а)

 

Система уравнений (7) является системой приведённых уравнений. В ней эндогенные переменные C(t) и I(t) выражены только через экзогенную переменную G(t) и случайные составляющие ₁(t), ₂(t). Экзогенная переменная не коррелирует со случайными составляющими и, следовательно, применив к каждому уравнению системы (7) МНК, можно определить несмещённые оценки параметров h₁₀, h₁₁, h₂₀, h₂₁.

Для этого используем имеющийся  в табличном редакторе Excel пакет прикладных программ, реализующий определение параметров уравнения регрессии методом наименьших квадратов. Активация этого метода осуществляется командами: «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

 

 

 

 

 

 

Таблица №1

Исходные данные

t	G(t)	C(t)	I(y)	Y(t)
1	115	279	67	461
2	145	293	83	521
3	133	271,8	78,6	483,4
4	156	307,6	73,2	536,8
5	161	286,6	80,2	527,8
6	164	292,4	82,8	539,2
7	171	306,6	88,2	525,8
8	170	294	86	550
9	172	319,2	80,4	571,6
10	178	314,8	83,6	576,4
11	182	293,2	88,4	563,6
12	180	304	90	574
13	188	320,8	95,6	594,4
14	190	324	84	598
15	191	312,6	92,2	595,8
16	198	306,8	93,6	598,4
17	215	325	89	629
18	218	338,8	89,6	646,4
19	225	339	99	663
20	240	326	104	670
21	246	337,6	99,2	682,8
22	255	359	95	709
23	266	371,6	101,2	739,8
24	270	354	110	734

2.1. Определение параметров уравнения регрессии приведенной формы

Используя исходную информацию  и систему уравнений (7), определяем с помощью МНК значения величин h₁₀, h₁₁, h₂₀, h₂₁. Для расчетов применим табличный редактор Excel.

2.1.1. Построение уравнения регрессии для функции потребления

 

Произведем построение уравнения регрессии. Определяем сначала  значения величин h₁₀, h_11.  Для построения статистической модели, характеризующей значимость и точность найденного уравнения регрессии, используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал Y» вводим данные по С(t), включая название реквизита. В поле «Входной интервал Х» вводим данные по G(t). Затем устанавливаем флажки в окнах «Метки» и «Уровень надежности». Установим переключатель «Новый рабочий лист» и поставим флажок в окошке «Остатки». После всех вышеперечисленных действий нажимаем кнопку «ОК» в диалоговом окне «Регрессия». Получаем следующие таблицы:

 

 

 

Таблица №2

Регрессионная статистика
Множественный R	0,92
R-квадрат	0,85
Нормированный R-квадрат	0,84
Стандартная ошибка	10,07
Наблюдения	24

 

 

 

 

 

Таблица №3

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	12621,37	12621,37	124,39	1,6E-10
Остаток	22	2232,21	101,46
Итого	23	14853,59

 

 

 

 

 

Таблица №4

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	206,71	9,99	20,69	6,5E-16	185,99	227,42
G(t)	0,57	0,05	11,15	1,61E-10	0,46	0,67