Определение параметров уравнения регрессии с помощью косвенного метода наименьших квадратов и двухшагового метода наименьших квадратов

В настоящее время существует достаточно большое число тестов для обнаружения  гетероскедастичности, в которых  делаются различные предположения  о зависимости между дисперсией случайного члена уравнения регрессии  и величиной объясняющей переменной.

При выполнении теста ранговой корреляции Спирмена предполагается, что дисперсия  случайного члена уравнения регрессии  будет либо увеличиваться, либо уменьшаться  по мере увеличения X. И поэтому в регрессии, оцениваемой с помощью метода наименьших квадратов, абсолютные величины остатков и значения X будут коррелированны.

Данные по X и остатки (ε_i) упорядочиваются по возрастанию. Затем находится ранг для каждого значения X и ε_i.

Коэффициент ранговой корреляции определяют по формуле:

 

где:

n - количество наблюдений;

D - разность рангов X и модуля остатков D.

Если предположить, что коэффициент  корреляции для генеральной совокупности равен нулю, то коэффициент ранговой корреляции имеет нормальное распределение  с математическим ожиданием равным нулю:

и дисперсией:

                                                 

в больших выборках.

Следовательно, соответствующая тестовая статистика равна:

И при использовании двухстороннего критерия нулевая гипотеза об отсутствии гетероскедастичности будет отклонена  для генеральной совокупности при  уровне значимости в 5%, если она превысит значение 1,96.

При проверке наличия или отсутствия гетероскедастичности в исследуемой модели, с помощью теста ранговой корреляции Спирмена, получаем:

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:                 ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

      0,04, t_pacч = 0,18, t_кр = 1,96.                             0,10, t_pacч = 0,48, t_кр = 1,96.

 

Следовательно, нулевая гипотеза принимается в обоих случаях, таким образом гетероскедастичностью можно пренебречь.

2.1.4. Определение значения параметров  уравнений регрессий методом  подстановок

 

Возьмём полученные значения величин  h₁₀, h₁₁, h₂₀, h_21, и, применяя метод подстановок, из системы уравнений (8) определим значения c₀', c₁', i₀', i₁'.

 

    (9)

 

После некоторых преобразований найдём значения c₀', c₁', i₀', i₁'.

               

                                        

               

    

                                

 

 

 

В рассматриваемой задаче:

C0'	184,32
C1'	0,47
I0'	19,89
i1'	0,13

 

 

 

 

 

Полученные значения c₀', c₁', i₀', i₁' использовать для определения методом подстановок значений c₀, c₁, i₀, i₁ из следующей системы уравнений:

 

                                          

                                                           (10)

 

После некоторых преобразований найдём значения c₀, c₁, i₀, i_1.

 

              

 

 

В рассматриваемой задаче:

c0	125,29
c1	0,32
i0	17,54
i1	0,12

 

 

Подставив значения с₀, с₁, i₀, i₁ в систему уравнений (2), получим:

 

                                        

                               (11)

Таким образом, решается поставленная задача определения параметров исходных уравнений регрессии.

2.1.5. Определение параметров уравнения регрессии с помощью

обычного МНК

 

Используя исходные данные (таблица №1)  и систему уравнений (2), определяем с помощью обычного МНК значения величин с₀, с₁, i₀, i₁. Для расчетов применим табличный редактор Excel.

Произведем построение уравнения регрессии. Определяем сначала  значения величин с₀, с_1.  Для построения статистической модели, характеризующей значимость и точность найденного уравнения регрессии, используем табличный процессор «Excel», применив команды «Сервис» - «Анализ данных» - «Регрессия».

В диалоговом окне «Регрессия» в поле «Входной интервал Y» вводим данные по С(t), включая название реквизита. В поле «Входной интервал Х» вводим данные по Y(t). Затем устанавливаем флажки в окнах «Метки» и «Уровень надежности». Установим переключатель «Новый рабочий лист» и поставим флажок в окошке «Остатки». После всех вышеперечисленных действий нажимаем кнопку «ОК» в диалоговом окне «Регрессия». Получаем следующие таблицы:

 

 

 

 

 

 

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:

 

Таблица №12

Регрессионная статистика
Множественный R	0,95
R-квадрат	0,90
Нормированный R-квадрат	0,89
Стандартная ошибка	8,25
Наблюдения	24

 

Таблица №13

 

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	13355,93	13355,93	196,19	1,9E-12
Остаток	22	1497,65	68,08
Итого	23	14853,59

 

Таблица №14

 

	Коэф-ты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	125,66	13,67	9,19	5,5E-09	97,30	154,02
Y(t)	0,32	0,02	14,01	1,9E-12	0,27	0,37

   

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица №15

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное C(t)	Остатки
1	272,80	6,20
2	291,96	1,04
3	279,95	-8,15
4	297,00	10,60
5	294,13	-7,53
6	297,77	-5,37
7	293,49	13,11
8	301,21	-7,21
9	308,11	11,09
10	309,64	5,16
11	305,55	-12,35
12	308,87	-4,87
13	315,38	5,42
14	316,53	7,47
15	315,83	-3,23
16	316,66	-9,86
17	326,43	-1,43
18	331,98	6,82
19	337,28	1,72
20	339,52	-13,52
21	343,60	-6,00
22	351,96	7,04
23	361,79	9,81
24	359,94	-5,94

 

Получаем уравнение регрессии:  С(t)=125,66 + 0,32 * Y(t) + ε₁ (t)

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

Используя исходные данные (таблица  №1) I(t) и по Y(t), систему уравнений (7), определяем с помощью МНК значения величин h₂₀, h₂₁. Для расчетов снова применим табличный редактор Excel (программа «Регрессия»).

Таблица №16

Регрессионная статистика
Множественный R	0,87
R-квадрат	0,76
Нормированный R-квадрат	0,75
Стандартная ошибка	4,98
Наблюдения	24

 

Таблица №17

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1716,48	1716,47	69,12	3,1E-08
Остаток	22	546,32	24,83
Итого	23	2262,8

 

Таблица №18

 

	Коэф-ты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%
Y-пересечение	20,77	8,26	2,52	0,02	3,64	37,90
Y(t)	0,11	0,01	8,31	3,1-08	0,09	0,14

   

Таблица №19

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное I(t)	Остатки
1	73,52	-6,52
2	80,39	2,61
3	76,08	2,52
4	82,20	-9,00
5	81,17	-0,97
6	82,47	0,33
7	80,94	7,26
8	83,71	2,29
9	86,18	-5,78
10	86,73	-3,13
11	85,26	3,14
12	86,45	3,55
13	88,79	6,81
14	89,20	-5,20
15	88,95	3,25
16	89,24	4,36
17	92,75	-3,75
18	94,74	-5,14
19	96,64	2,36
20	97,44	6,56
21	98,90	0,30
22	101,90	-6,90
23	105,42	-4,22
24	104,76	5,24

 

Получаем уравнение регрессии: I(t) = 20,77 + 0,11 * Y(t) + ε₂(t)

Вывод:

Получаем следующую систему  уравнений:

                                   

При сравнении результатов, полученных традиционным МНК и с помощью  КМНК, следует иметь в виду, что  традиционный МНК, применяемый к  каждому уравнению структурной формы модели, взятому в отдельности, дает смещенные оценки структурных коэффициентов.

 

3. ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Другим подходом к определению  значений параметров с₀, с₁, i₀, i₁, может служить использование двухшагового метода наименьших квадратов (ДМНК). Для применения данного метода необходимо в систему уравнений (7) подставить найденные значения h₁₀, h₁₁, h₂₀, h₂₁   и вычислить теоретические значения   переменных .

Затем найденные значения и имеющиеся в исходных данных значения G(t) подставляются в 3-е уравнение системы (2) и находятся теоретические значения . Эти теоретические значения не имеют корреляционной связи со случайными составляющими u₁(t) и u₂(t). Следовательно, подставив в 1-е и 2-е уравнения системы (2) значения , можно найти параметры с₀,  c₁,  i₀, i₁ с помощью обычного МНК. Оценки при этом будут несмещенными, состоятельными и эффективными.

Основная идея ДМНК – на основе приведенной формы модели получить для сверхидентифицируемого уравнения теоретические значения эндогенных переменных, содержащихся в правой части уравнения. Далее, подставив их вместо фактических значений, можно применить обычный МНК к структурной форме сверхидентифицируемого уравнения.

Таблица №20

t	G(t)				C(t)	I(t)
1	115	272,26	71,69	458,95	279	67
2	145	289,36	77,99	512,35	293	83
3	133	282,52	75,47	490,99	271,8	78,6
4	156	295,63	80,3	531,93	307,6	73,2
5	161	298,48	81,35	540,83	286,6	80,2
6	164	300,19	81,98	546,17	292,4	82,8
7	171	304,18	83,45	558,63	306,6	88,2
8	170	303,61	83,24	556,85	294	86
9	172	304,75	83,66	560,41	319,2	80,4
10	178	308,17	84,92	571,09	314,8	83,6
11	182	310,45	85,76	578,21	293,2	88,4
12	180	309,31	85,34	574,65	304	90
13	188	313,87	87,02	588,89	320,8	95,6
14	190	315,01	87,44	592,45	324	84
15	191	315,58	87,65	594,23	312,6	92,2
16	198	319,57	89,12	606,69	306,8	93,6
17	215	329,26	92,69	636,95	325	89
18	218	330,97	93,32	642,29	338,8	89,6
19	225	334,96	94,79	654,75	339	99
20	240	343,51	97,94	681,45	326	104
21	246	346,93	99,2	692,13	337,6	99,2
22	255	352,06	101,09	708,15	359	95
23	266	358,33	103,4	727,73	371,6	101,2
24	270	360,61	104,24	734,85	354	110