Определение параметров уравнения регрессии с помощью косвенного метода наименьших квадратов и двухшагового метода наименьших квадратов

 

Поскольку оба неравенства выполняются, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней остаточной компоненты принимается и, следовательно, модель признается адекватной.

Проверка соответствия распределения случайной компоненты нормальному закону распределения

 

Данная проверка производится обычно приближенно с помощью нахождения показателей ассиметрии γ₁ и эксцесса γ₂. Это производится на основании сравнения найденных показателей с теоретическими. При нормальном распределении некоторой генеральной совокупности показатели ассиметрии и эксцесса должны быть равны нулю (γ₁=0, γ₂ =0). При конечной выборке из генеральной совокупности показатели ассиметрии и эксцесса имеют отклонения от нуля.

Для оценки соответствия выбранной  совокупности данных нормальному закону распределения используется так называемая оценка показателей эксцесса и ассиметрии.

В качестве оценки асимметрии используется формула:

 

   

 

 

Оценка эксцесса:

   

где:

ε_i — остаточная компонента.

 — выборочная характеристика  асимметрии

 — выборочная характеристика эксцесса

σ — среднеквадратичное (стандартное) отклонение асимметрии и эксцесса.

 

 

Если одновременно выполняются неравенства:

    

то  гипотеза о  нормальном  характере  распределения  случайной  компоненты принимается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств:

      

то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается, линейная модель уравнения регрессии признается неадекватной.

Другие случаи требуют дополнительной проверки при помощи более сложных  критериев.

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ  ПОТРЕБЛЕНИЯ:

При проверке соответствия распределения  случайной компоненты нормальному закону распределения выполняются неравенства:

 

γ1	-0,12
γ2	-1,27
σγ1	0,44
σγ2	0,74

 

 

0,12	<	0,66		1,03	>	1,11

 

0,12	<	0,88		1,03	<	1,47

 

Проверка данных неравенств показала, что не все они выполняются, поэтому  нельзя утверждать, что модель является адекватной и мы должны провести дополнительные проверки.

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

При проверке соответствия распределения  случайной компоненты нормальному  закону распределения выполняются  неравенства:

 

γ1	-0,19
γ2	-1,20
σγ1	0,44
σγ2	0,74

 

 

 

 

0,19	<	0,66		0,96	<	1,10

 

 

Проверка данных неравенств показала, что они выполняются, следовательно, гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты принимается и модель признается адекватной.

Проверка равенства  математического ожидания случайной  компоненты нулю

 

Проверка равенства математического  ожидания случайной компоненты нулю осуществляется на основе t-критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия находится по формуле:

,   ,   ,

где:

ε – среднее арифметическое значение;

S_ε – стандартное среднеквадратическое отклонение для этой последовательности.

Если расчетное значение t меньше табличного значения по статистике Стьюдента с заданным уровнем значимости α и числом степеней свободы к = n – 1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается. В противном случае - отвергается, и модель считается неадекватной.

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:

В данной задаче:

= -2,3E-14- среднее арифметическое значение;

S_ε= 9,85- стандартное среднеквадратическое отклонение для этой последовательности.

Отсюда t_pacч = -1,13E-14, t_табл = 1,71.

Так как t_pacч < t_табл , то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается и модель признается адекватной.

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

В данной задаче:

= - 5,9E-16- среднее арифметическое значение;

S_ε= 4,39- стандартное среднеквадратическое отклонение для этой последовательности.

Отсюда t_pacч = -6,59E-16, t_табл = 1,71.

Так как t_pacч < t_табл , то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается и модель признается адекватной.

 

 

Проверка независимости  значений уровней случайной компоненты

 

Проверка независимости значений уровней случайной компоненты осуществляется для выявления существующей автокорреляции остаточной последовательности. Эта  проверка может производиться по ряду критериев.

Наиболее распространенным является d-критерий Дарбина - Уотсона. Расчетное значение этого критерия находится по формуле:

Расчетное значение d-критерия в интервале от 2 до 4 свидетельствует об отрицательной связи. В этом случае его надо преобразовать по формуле:

d' = 4 - d

и в дальнейшем использовать значение d'. Расчетное значение критерия d или d' сравнивается с верхним d₂ и нижним d₁ критическими значениями статистики Дарбина - Уотсона.

Для 5%-го уровня значимости эти значения для ряда количества определяемых параметров р приведены в таблице:

 

n	p=1		p=2		p=3
	d1	d2	d1	d2	d1	d2
15	1,08	1,36	0,95	1,54	0,82	1,75
20	1,20	1,41	1,10	1,54	1,00	1,68
24	1,27	1,45	1,19	1,55	1,10	1,66
30	1,35	1,49	1,28	1,57	1,21	1,65

 

Если расчетное значение критерия d больше верхнего табличного значения d₂, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, то есть об отсутствии в ней автокорреляции принимается.

Если расчетное значение d меньше нижнего табличного d₁, то эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной.

Если значение d находится между значениями d₁ и d₂, включая сами эти значения, то считается, что нет достаточных оснований делать тот или иной вывод и необходимы дальнейшие исследования, например по большему числу наблюдений.

Вывод об адекватности модели делается, если все 4 проверки свойств остаточной последовательности дают положительный  результат. Для адекватных моделей  имеет смысл ставить задачу оценки их точности.

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:

В данной задаче:

d =2,14 - критерий Дарбина –Уотсона

Расчетное значение d-критерия свидетельствует об отрицательной связи.

d' = 1,86 и d₁= 1,19 , d₂=1,55

Так как расчетное значение критерия d' больше верхнего табличного значения d₂, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, то есть об отсутствии в ней автокорреляции принимается.

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

В данной задаче:

d =1,86 - критерий Дарбина –Уотсона, d₁= 1,19 , d₂=1,55

Так как расчетное значение критерия d' больше верхнего табличного значения d₂, то гипотеза о независимости уровней остаточной последовательности, то есть об отсутствии в ней автокорреляции принимается.

Определение точности модели

Точность модели характеризуется  величиной отклонения выхода модели от реального значения моделированных переменных. Для показателя представленного рядом значений точность определяется как разность между значением фактического уровня ряда и его оценкой полученной расчётным путём с использованием моделей. При этом в качестве статистических показателей точности применяют следующие:

 

1. Среднеквадратичное  отклонение:

,

где i = 1 ÷ n

y_i - фактическое значение рядя  

- теоретическое значение ряда

n - количество наблюдений  

р - количество независимых параметров

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:          ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

s

10,07295

s

4,5

 

 

 

 

2.Средняя относительная  ошибка аппроксимации:

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:          ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

 

0,05

0,08

 

 

 

 

 

 

 

3. Коэффициент сходимости:

 

,

 

где - среднее значение ряда.

 

 

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:          ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

0,15

0,2

 

 

 

 

4. Коэффициент детерминации:

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:          ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

R2

0,85

R2

0,8

 

 

 

На основании указанных показателей  можно сделать выбор из нескольких адекватных моделей наиболее точную. Хотя может встретиться случай, когда по некоторому показателю более точна одна модель, а по другому – другая модель.

 

Тест ранговой корреляции Спирмена

 

Дисперсия случайного члена уравнения  регрессии в каждом наблюдении должна быть постоянной.

Под понятием дисперсия имеется ввиду возможное поведение случайного члена уравнения регрессии до того как сделана выборка.

В том случае, когда дисперсия  каждого отклонения ε_i неодинакова для всех значений X_i, имеет место гетероскедастичность.

Часто появление проблемы гетероскедастичности можно предвидеть заранее, основываясь на знании характера данных. В таких случаях можно предпринять соответствующие действия по устранению этого эффекта на этапе спецификации модели регрессии. Это позволит уменьшить или возможно устранить необходимость формальной проверки.