Определение параметров уравнения регрессии с помощью косвенного метода наименьших квадратов и двухшагового метода наименьших квадратов

   

 

 

 

 

 

Таблица №5

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное C(t)	Остатки
1	271,71	7,29
2	288,67	4,33
3	281,88	-10,08
4	294,88	12,72
5	297,71	-11,11
6	299,40	-7,00
7	303,36	3,24
8	302,80	-8,80
9	303,93	15,27
10	307,32	7,48
11	309,58	-16,38
12	308,45	-4,45
13	312,97	7,83
14	314,10	9,90
15	314,67	-2,07
16	318,62	-11,82
17	328,23	-3,23
18	329,93	8,87
19	333,88	5,12
20	342,36	-16,36
21	345,75	-8,15
22	350,84	8,16
23	357,06	14,54
24	359,32	-5,32

 

Получаем уравнение регрессии:

С(t)=206,71 + 0,57 * G(t) + ε₁ (t)

h₁₀= 206,71 ; h₁₁=0,57.

2.1.2. Построение уравнения регрессии для функции инвестиций

        Используя  исходную информацию по I(t) и по G(t), систему уравнений (7), определяем с помощью МНК значения величин h20, h21. Для расчетов снова применим табличный редактор Excel (программа «Регрессия»).

Таблица №6

Регрессионная статистика
Множественный R	0,90
R-квадрат	0,80
Нормированный R-квадрат	0,79
Стандартная ошибка	4,50
Наблюдения	24

Таблица №7

Дисперсионный анализ

	df	SS	MS	F	Значимость F
Регрессия	1	1817,78	1817,78	89,86	3,2E-09
Остаток	22	445,02	20,23
Итого	23	2262,80

 

Таблица №8

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика	P-Значение	Нижние 95%	Верхние 95%	Нижние 95,0%	Верхние 95,0%
Y-пересечение	47,54	4,46	10,66	3,73599E-10	38,29	56,79	93,27	110,50
G(t)	0,21	0,02	9,48	3,16311E-09	0,17	0,26	0,17	0,26

 

Таблица №9

Вывод остатка

Наблюдение	Предсказанное I(t)	Остатки
1	72,20	-5,20
2	78,64	4,36
3	76,06	2,54
4	81,00	-7,80
5	82,07	-1,87
6	82,71	0,09
7	84,22	3,98
8	84,00	2,00
9	84,43	-4,03
10	85,72	-2,12
11	86,58	1,82
12	86,15	3,85
13	87,86	7,74
14	88,29	-4,29
15	88,51	3,69
16	90,01	3,59
17	93,65	-4,65
18	94,30	-4,70
19	95,80	3,20
20	99,02	4,98
21	100,30	-1,10
22	102,23	-7,23
23	104,59	-3,39
24	105,45	4,55

\

 

Получаем уравнение регрессии: 

I(t) = 47,54 + 0,21 * G(t) + ε₂(t)

 

h₂₀ = 47,54;

h₂₁ = 0,21.

 

Вывод:

Исходя из полученных значений

h10	206,71
h11	0,57
h20	47,54
h21	0,21

 

 получаем следующую систему приведенных уравнений:

                                 

2.1.3.  Проверка статистической значимости уравнений регрессии     функции потребления и функции инвестиций

 

Независимо от вида и способа  построения экономико-математической модели на основе статистических данных, вопрос о возможности ее применения в целях анализа и прогнозирования экономических явлений может быть решен только после установления адекватности, т.е. соответствия модели исследуемому процессу или объекту. Так как полного соответствия модели реальности не может быть, то адекватность - это в какой-то мере условное понятие. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели, которые считаются существенными для исследуемого явления.

Модель  ряда считается адекватной, если правильно отражает систематические компоненты этого ряда. Это требование эквивалентно требованию, чтобы остаточная компонента:

 ,

где   i = 1 ÷ n, удовлетворяло свойствам случайной компоненты ряда, а именно:

• случайность колебаний уровней остаточной последовательности;
• дисперсия остаточной компоненты постоянна для всех i-ых ;
• равенство нулю математического ожидания случайной компоненты;
• независимость значений уровней случайной компоненты.

 

Проверка случайности  колебаний уровней статочной  последовательности

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ПОТРЕБЛЕНИЯ:

Проверка случайности колебаний  уровней остаточной последовательности означает проверку гипотезы о правильности выбора уравнения регрессии.

Используя линейное уравнение регрессии, полученное путем замены переменной, находим отклонение теоретически вычисленных значений ставки % рефинансирования Центробанка от фактических значений.

Для  исследования  случайности  отклонений  от уравнения  регрессии  находятся разности:

,

где   i = 1 ÷ n, (n = 24)

ε_i - случайная переменная;

y_i - фактическое значение ряда;

ỹ_i - теоретически вычисленные значения ставки % рефинансирования Центробанка.

 

Характер этих отклонений изучается  с помощью ряда непараметрических критериев. Одним из таких критериев является критерий серий, основанный на медиане выборки. Ряд из величин ε_i располагают в порядке возрастания их значений и находят медиану ε_m, полученную из вариационного ряда, то есть срединное значение при n нечетном или среднюю арифметическую из 2-х соседних срединных значений при четном n. Возвращаясь к исходной последовательности ε_i и сравнивая значение этой последовательности с ε_m ставят знак «+», если ε_i > ε_m ; «-», если ε_i < ε_m, соответственно значение ε_i опускается, если ε_i = ε_m. Таким образом, получается последовательность, состоящая из «+» и «-», общее число которых не превосходит n.

Последовательность подряд идущих «+» или «-» называется серией. Для того, чтобы последовательность ε_i была случайной выборкой, протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее количество серий слишком малым. Обозначим протяженность самой длинной серии K_max, a общее число серий через v. Выборка признается случайной, если выполняются следующее неравенства для 5%-го уровня значимости:

 

K_max<[3,3*lg(n+l)],

 

,

 

где квадратные скобки означают целую  часть числа.

Если хотя бы одно из этих неравенств нарушается, то гипотеза о случайном  характере отклонений уровней ряда от теоретических уровней отвергается и модель признается неадекватной.

В рассматриваемой задаче: медиана ε_m = 0,59

 

Протяженность самой длиной серии 

Kmax=	3
n=	14
Kmd=	4
nd=	7

 

 

Мы получили :

К_mах =3 < 4, V =14  > 7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица серий                                       Таблица №10

 

Наблюдение	Остатки	Еi по возр.	Знак
1	7,29	-16,38	+
2	4,33	-16,36	+
3	-10,08	-11,82	-
4	12,72	-11,11	+
5	-11,11	-10,08	-
6	-7,00	-8,80	-
7	3,24	-8,15	+
8	-8,80	-7,00	-
9	15,27	-5,32	+
10	7,48	-4,45	+
11	-16,38	-3,23	-
12	-4,45	-2,07	-
13	7,83	3,24	+
14	9,90	4,33	+
15	-2,07	5,12	-
16	-11,82	7,29	-
17	-3,23	7,48	-
18	8,87	7,83	+
19	5,12	8,16	+
20	-16,36	8,87	-
21	-8,15	9,90	-
22	8,16	12,72	+
23	14,54	14,54	+
24	-5,32	15,27	-

 

Поскольку оба неравенства выполняются, то гипотеза о случайном характере отклонений уровней остаточной компоненты принимается и, следовательно, модель признается адекватной.

 

ДЛЯ ФУНКЦИИ ИНВЕСТИЦИЙ:

 

K_max<[3,3*lg(n+l)],

,

 

 

где квадратные скобки означают целую часть числа.

 

В рассматриваемой задаче: медиана ε_m = 0,95.

 

 

Протяженность самой длиной серии 

 

 

Kmax=	3
n=	12
Kmd=	4
nd=	7

 

 

 

Мы получили :

К_mах =3 < 4, V =12  > 7

 

 

 

 

                                                          Таблица серий                                        Таблица №11

Наблюдение	Остатки	Еi по возр.	Знак
1	-5,20	-7,80	-
2	4,36	-7,23	+
3	2,54	-5,20	+
4	-7,80	-4,70	-
5	-1,87	-4,65	-
6	0,09	-4,29	+
7	3,98	-4,03	+
8	2,00	-3,39	+
9	-4,03	-2,12	-
10	-2,12	-1,87	-
11	1,82	-1,10	+
12	3,85	0,09	+
13	7,74	1,82	+
14	-4,29	2,00	-
15	3,69	2,54	+
16	3,59	3,20	+
17	-4,65	3,59	-
18	-4,70	3,69	-
19	3,20	3,85	+
20	4,98	3,98	+
21	-1,10	4,36	-
22	-7,23	4,98	-
23	-3,39	7,74	-
24	4,55	4,55	+