Формирование портфеля ценных бумаг коммерческого банка

Модель Блека аналогична модели Марковица, но в отличии от последней в ней отсутствует  условие неотрицательности на доли активов портфеля. Это означает, что инвестор может совершать короткие продажи, т.е. продавать активы, предоставленные ему в виде займа. В этом случае инвестор рассчитывает на снижение курса ценной бумаги и планирует вернуть заем теми же ценными бумагами, но приобретенными по более низкому курсу.

В следствии отсутствия ограничений  на доли активов в портфеле потенциальная прибыль инвестора не ограничена максимальной доходностью одного из активов, входящих в портфель.

3. Индексная модель Шарпа

Как следует из модели Марковица, задавать распределение  доходов отдельных ценных бумаг не требуется. Достаточно определить только величины, характеризующие это распределение: математическое ожидание, среднеквадратическое отклонение и ковариацию между доходностями отдельных ценных бумаг. На практике для сравнительно небольшого числа ценных бумаг произвести такие расчеты по определению ожидаемого дохода и дисперсии возможно. При определении же коэффициента корреляции трудоемкость весьма велика.

В 1960-х годах Уильям Шарп первым провел регрессионный анализ рынка  акций США. Для избежания высокой  трудоемкости Шарп предложил индексную  модель. Причем он не разработал нового метода составления портфеля, а упростил проблему таким образом, что приближенное решение может быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел b-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля.

, (17) 

где s_iM – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги и темпами роста рынка;

s²_M – дисперсия доходности рынка.

Показатель «бета» характеризует  степень риска бумаги и показывает, во сколько раз изменение цены бумаги превышает изменение рынка в целом. Если бета больше единицы, то данную бумагу можно отнести к инструментам с повышенной степенью риска, т.к. ее цена движется в среднем быстрее рынка. Если бета меньше единицы, то степень риска этой бумаги относительно низкая, поскольку в течение периода глубины расчета ее цена изменялась медленнее, чем рынок. Если бета меньше нуля, то в среднем движение этой бумаги было противоположно движению рынка в течение периода глубины расчета.

В индексной модели Шарпа  используется тесная корреляция между изменением курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые входные данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило за такой фактор берется значение какого-либо индекса. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается следующей формулой:

, (18) 

где r_i – доходность ценной бумаги i за данный период;

r_I – доходность на рыночный индекс I за этот же период;

a_iI – коэффициент смещения;

b _iI – коэффициент наклона;

e _iI – случайная погрешность.

Как следует из уравнения, «бету» ценной бумаги можно интерпретировать как наклон линии. Если этот коэффициент  был постоянным от периода к периоду, то «историческую бету» бумаги можно оценить путем сопоставления прошлых данных о соотношении доходности рассматриваемой бумаги и доходности рынка (индекса). Статистическая процедура для получения таких апостериорных значений коэффициента «бета» представляет собой простую линейную регрессию, или метод наименьших квадратов.

Уравнение (18), записанное без случайной погрешности, является уравнением линейной регрессии. Параметр «бета» поэтому является коэффициентом регрессии и может быть определен по формуле:

, (19) 

где x_i – доходность рынка в i-й период времени;

y_i – доходность рынка в i-й период времени;

n – количество периодов.

По Шарпу показатель «альфа» (его  также называют сдвигом) определяет составляющую доходности бумаги, которая  не зависит от движения рынка.

. (20) 

В соответствие с одной из точек  зрения, «альфа» является своего рода мерой недо- или переоценки рынком данной бумаги. Положительная «альфа» свидетельствует о переоценке рынком данной бумаги. Отрицательная «альфа» свидетельствует о недооценке рынком данной бумаги.

Случайная погрешность e показывает, что индексная модель Шарпа не очень точно объясняет доходности ценной бумаги. Разность между действительным и ожидаемым значениями при известной доходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности.

Случайную погрешность можно рассматривать  как случайную переменную, которая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, вычисляемым по формуле:

. (21) 

Истинное значение коэффициента «бета» ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение. Так что даже если бы истинное значение «беты» оставалось постоянным всегда, его оценка, полученная по методу наименьших квадратов, все равно бы менялась бы во времени из-за ошибок при оценке – ошибок выборки. Стандартная ошибка «беты» есть попытка оценить величину таких ошибок:

. (22) 

Аналогично стандартная  ошибка для «альфы» дает оценку величины отклонения прогнозируемого значения от «истинного»:

. (23) 

Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. R-squared (R²), или коэффициент детерминации, равен квадрату коэффициента корреляции цены бумаги и рынка. R-squared меняется от нуля до единицы и определяет степень согласованности движения рынка и бумаги.

. (24) 

Коэффициент детерминации представляет собой пропорцию, в  которой изменение доходности ценной бумаги связано с изменением доходности рыночного индекса. Другими словами, он показывает, в какой степени колебания доходности ценной бумаги можно отнести за счет колебаний доходности рыночного индекса.

Если этот коэффициент  равен единице, то бумага полностью  коррелирует с рынком, если равен нулю, то движение рынка и бумаги абсолютно независимы.

Ошибки показателей «бета» и  «альфа» определяются непосредственно  ошибкой регрессионной модели. Естественно, в первую очередь они зависят  от глубины расчета.

При различных стадиях рынка (растущий, падающий) для достижения лучшего эффекта можно пользоваться следующими комбинациями коэффициентов:

Таблица 2.1 – Комбинации коэффициентов регрессионного анализа

	На покупку	На продажу
Падающий рынок
Растущий рынок

На западных рынках значения a, b, R² регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать a-, b-, R²-анализ.

4. Модель Тобина с безрисковым активом

В отличии от моделей Марковица  и Блека, которые связаны с  выбором класса допустимых портфелей, модель Тобина в большей степени относится к структуре рынка, нежели к структуре допустимых портфелей. В этой модели предполагается существование безрискового актива, доходность которого не зависит от состояния рынка и всегда имеет одно и то же значение. Поскольку неопределенность конечной стоимости безрискового актива отсутствует, то стандартное отклонение для этого актива равно нулю. Это означает, что корреляция между ставкой доходности по безрисковому активу и ставкой доходности по любому рисковому активу равна нулю.

Дж. Тобин показал, что если Q = (p_i, …, p_n) – некоторый портфель (p_i – доля i-го актива в портфеле), а f – безрисковый актив, то все портфели вида

(25) 

лежат на прямой, проходящей через  точки (0, r_f) и (s_p, r_p), где r_f и r_p – безрисковая и рисковая доходности соответственно. Среди всех таких прямых нужно выбрать самую крутую (более крутая дает большую доходность при заданном риске), т.е. ту, которая проходит через точку (0, r_p) и точку касания T к эффективной границе (рисунок 2.5).

Рисунок 2.5 – Достижимое и эффективное множества при возможности безрискового кредитования.

Множество достижимости существенно изменяется в результате рассмотрения безрискового кредитования. Две границы являются прямыми линиями, выходящими из точки, соответствующей безрисковому активу Нижняя линия соединяет две точки, соответствующие безрисковому активу и портфелю с набольшим риском и доходностью. Поэтому она представляет портфели, являющееся комбинациями этого портфеля и безрискового актива.

Другая прямая линия, выходящая из точки, соответствующей безрисковому активу, представляет комбинации безрискового актива и определенного рискованного портфеля из эффективного множества модели Марковица. Эта линия является касательной к данному эффективному множеству (в точке, обозначенной T).

Хотя и другие рискованные  эффективные портфели из модели Марковица  могут быть скомбинированы с безрисковым  активом, портфель T заслуживает особого внимания. Потому что не существует портфеля, состоящего из рискованных ценных бумаг, который, будучи соединен прямой линией с точкой, соответствующей безрисковому активу, лежал бы левее и выше его. Другими словами, из всех линий, которые могут быть проведены из точки, соответствующей безрисковому активу, и соединяют эту точку с рискованным активом или рискованным портфелем, ни одна не имеет больший наклон, чем линия, идущая в точку Т.

Это важно потому, что часть эффективного множества модели Марковица отсекается этой линией. В частности, портфели, которые принадлежали эффективному множеству в модели Марковица и располагались между минимально рискованным портфелем, обозначенным через V, и портфелем Т, с введением возможности инвестирования в безрисковые активы не являются эффективными. Теперь эффективное множество состоит из прямого и искривленного отрезка. Прямой отрезок идет от безрискового актива в точку Т и поэтому представляет портфели, составленные из различных комбинаций безрискового актива и портфеля Т. Искривленный отрезок расположен выше и правее точки T представляет портфели из эффективного множества модели Марковица.

Анализ может быть расширен за счет введения возможности заимствования. Это означает, что теперь инвестор не ограничен своим начальным капиталом при принятии решения о том, сколько денег инвестировать в рискованные активы. Однако если инвестор занимает деньги, то он должен платить процент по займу. Если процентная ставка известна и неопределенность с выплатой займа отсутствует, то это часто называется безрисковым заимствованием.

Предполагается, что процентная ставка по займу равна ставке, которая  может быть заработана инвестированием в безрисковые активы.

Рисунок 2.6 изображает, как  изменяется допустимое множество, если введена возможность как предоставления, так и получения займа по одной и той же безрисковой процентной ставке. Множество достижимости представлено областью, расположенной между двумя лучами, выходящими из точки, соответствующей безрисковой ставке, и проходящими через точки, соответствующие наиболее доходному портфелю и портфелю, обозначенному через Т. Эти два луча уходят в бесконечность при условии, что нет ограничений на величину получаемого займа.

Рисунок 2.6 – Достижимое и эффективное множества в случае возможности безрискового заимствования и кредитования.

Луч, идущий через портфель Т, является особенно важным, поскольку он представляет эффективное множество. Как и прежде, линия, идущая через T, является касательной к эффективному множеству модели Марковица. Кроме портфеля T ни один из портфелей, которые находились в эффективном множестве модели Марковица, не является эффективным после введения возможности предоставления и получения безрисковых займов.

В модели оценки финансовых активов новую эффективную границу, полученную с учетом безрискового актив, называют рыночной линией (Capital Market Line, CML), а портфель Т – рыночным портфелем.

1. Алгоритм Элтона-Грубера-Падберга

При определении структуры  касательного портфеля Т в модели с безрисковым активом можно также воспользоваться методом критических линий, как и в модели Марковица. Но имеется и другой метод определения структуры этого портфеля, который не требует определения «угловых» портфелей и, следовательно, является более простым.

Предполагается, что доходности ценной бумаги могут быть описаны  рыночной моделью (индексной моделью Шарпа), а также, что существует возможность безрискового заимствования и кредитования по ставке r_f. Метод разработан Элтоном, Грубером и Падбергом.

Алгоритм начинается с замечания, что наклон линии, выходящей  из точки r_f и проходящей через любой конкретный портфель равен: