Формирование портфеля ценных бумаг коммерческого банка

. (26) 

«Касательный» портфель Т определяется как имеющий максимальную тхэту (Q). Для поиска портфеля, имеющего максимальную Q, применяется следующий пятишаговый алгоритм:

1. Упорядочить ценные бумаги в порядке убывания отношений доходности к систематическому риску (reward-to-volatility ratio):

, (27) 

где r_i – ожидаемая доходность i-й ценной бумаги;

r_f – безрисковая ставка;

b_iI – коэффициент «бета».

Числитель этого выражения  представляет собой ожидаемое «вознаграждение» за приобретение ценной бумаги, а знаменателем является соответствующий ей b-коэффициент. Это отношение иногда называют отношением Трейнора.

2. Начиная с ценной бумаги, имеющей  наибольшее RVOL_i, добавлять ценные бумаги одну за другой и вычислять F_i:

, (28) 

где s²_I – систематический риск – дисперсия рыночного индекса;

s²_eI – несистематический риск – дисперсия случайной ошибки.

3. Сравнивать величины F_i с соответствующими RVOL_i до тех пор, пока F_i меньше RVOL_i. С некоторого момента это соотношение изменится на противоположное. Пусть k – максимальный номер, для которого это соотношение еще не выполнено. Тогда ценные бумаги с 1 по k будут иметь не нулевые веса в портфеле Т, а остальные – нулевые. Таким образом, F_k является «ставкой отсечения» для RVOL.

4. Вычислить величины Z_i, чтобы определить, с какими весами будут входить в портфель первые k ценных бумаг:

. (29) 

Значения Z_i для i = k + 1, ..., N полагаются равными нулю.

5. Разделить каждую Z_i на сумму Z_i для получения весов для ценной бумаги:

(30) 

Это сделать необходимо, так как  сумма Z_i обычно не равна единиц.

Полученные значения X_i и являются долями ценных бумаг в портфеле Т.

5. Модель оценки финансовых активов

Некоторые из предположений, на которых  основывается модель оценки финансовых активов (Capital Asset Prising Model, CAPM), совпадают  с предположениями нормативного подхода к инвестированию, описанного в предыдущих разделах. Эти предположения дополняются следующими:

1. Для всех инвесторов период вложения одинаков.
2. Безрисковая процентная ставка одинакова для всех инвесторов.
3. Информация свободно и незамедлительно доступна для всех инвесторов.
4. Инвесторы имеют однородные ожидания, т.е. они одинаково оценивают ожидаемые доходности, среднеквадратичные отклонения и ковариации доходностей ценных бумаг.

Как вытекает из этих предположений, в модели оценки финансовых активов рассматривается предельный случай. Все инвесторы обладают одной и той же информацией и по-одинаковому оценивают перспективы ценных бумаг. Неявно это означает, что они одинаковым образом анализируют получаемую информацию. Рынки ценных бумаг являются совершенными рынками в том смысле, что в них нет факторов, которые бы препятствовали инвестициям. Это позволяет сместить фокус рассмотрения с того, как следует инвестору размещать свои средства, на то, что произойдет с курсами ценных бумаг, если все инвесторы будут поступать одинаково. Исследуя коллективное поведение всех инвесторов на рынке, можно выявить характер конечной равновесной зависимости между риском и доходностью каждой ценной бумаги.

Сначала инвесторы анализируют  ценные бумаги и определяют структуру  «касательного» портфеля. В итоге, в  равновесном случае все инвесторы  выбирают один и тот же «касательный» портфель, т.к. оценки инвесторов относительно ожидаемых доходностей бумаг, их дисперсий и ковариаций, а также величины безрисковой процентной ставки полностью совпадают. К тому же линейное эффективное множество является одним и тем же для всех инвесторов, так как оно состоит из комбинаций согласованного «касательного» портфеля и безрискового заимствования или кредитования.

В связи с тем что  все инвесторы имеют одно и  то же эффективное множество, единственной причиной, по которой они предпочтут различные портфели, является то, что они характеризуются различными кривыми безразличия. Хотя выбранные портфели будут различными, каждый инвестор выберет одну и ту же комбинацию рискованных бумаг, обозначенных на рисунке 2.5 через Т. Это означает, что каждый инвестор распределит свои средства среди рискованных бумаг в одной и той же относительной пропорции, увеличивая безрисковое заимствование или кредитование с целью достижения предпочтительной для него комбинации риска и дохода. Это свойство модели оценки финансовых активов часто называют теоремой разделения: «Оптимальная для инвестора комбинация активов не зависит от его предпочтения относительно риска и дохода».

Другими словами, оптимальная  комбинация рискованных активов  может быть определена без построения кривых безразличия каждого инвестора.

Объяснением теоремы разделения служит то, что все портфели, расположенные на линейном эффективном множестве, включают в себя инвестирование в «касательный» портфель в сочетании с различным уровнем безрискового заимствования или кредитования. В модели оценки финансовых активов каждый инвестор сталкивается с одним и тем же линейным эффективным множеством. Это означает, что все будут инвестировать в один и тот же «касательный» портфель (в сочетании с определенным объемом безрискового заимствования и кредитования, который определяется кривой безразличия каждого инвестора). Из этого следует, что доля рискованных ценных бумаг в портфеле каждого инвестора будет одной и той же.

Другим важным свойством  модели оценки финансовых активов является то, что в состоянии равновесия каждый вид ценных бумаг имеет ненулевую долю в «касательном» портфеле. Основанием этого свойства является теорема разделения, которая утверждает, что доля рискованных активов в портфеле каждого инвестора не зависит от предпочтения инвестора относительно риска и доходности. Эта теорема основывается на том, что рискованная доля портфеля каждого инвестора представляет собой просто инвестирование в Т. Если каждый инвестор приобретает Т и при этом Т не включает в себя инвестиций в каждый вид бумаг, то получается, что никто не инвестировал в те бумаги, которые имели нулевую долю в Т. Это должно привести к тому, что курсы ценных бумаг с нулевой долей в Т упадут, вызвав рост их ожидаемой доходности до тех пор, пока в «касательном» портфеле их доля станет отличной от нуля.

В результате соотношение  долей каждой бумаги в «касательном»  портфеле в состоянии равновесия будет соответствовать соотношению  долей бумаг в так называемом рыночном портфеле. Рыночный портфель – это портфель, состоящий из всех ценных бумаг, в котором доля каждой соответствует ее относительной рыночной стоимости. Относительная рыночная стоимость ценной бумаги равна ее совокупной рыночной стоимости, деленной на сумму совокупных рыночных стоимостей всех ценных бумаг.

Причина, по которой рыночный портфель занимает центральное место  с модели оценки финансовых активов, заключается в том, что эффективное  множество состоит из инвестиций в рыночный портфель в совокупности с желаемым количеством безрискового заимствования или кредитования. Таким образом, вполне правомерно можно определить «касательный» портфель как рыночный и обозначить его через М вместо Т. Теоретически, М состоит не только из обыкновенных акций, но и других видов инвестиций, таких, как облигации, привилегированные акции и недвижимость. Однако на практике под М понимают портфель, содержащий только обыкновенные акции.

В модели оценки финансовых активов простым образом определяется связь между риском и доходностью  эффективных портфелей. Это наглядно представлено на рисунке 2.7. Точка М обозначает рыночный портфель, а r_f представляет собой безрисковую ставку доходности. Эффективные портфели находятся вдоль прямой, пересекающей ось ординат в точке с координатами (0, r_f) и проходящей через М, и образуются альтернативными комбинациями риска и доходности, получаемыми в результате сочетания рыночного портфеля с безрисковым заимствованием или кредитованием. Это линейное эффективное множество в данной модели известно под названием рыночная линия (Capital Market Line, CML). Все остальные портфели, не использующие рыночный портфель в комбинации с безрисковым заимствованием или кредитованием, будут лежать ниже рыночной прямой, хотя некоторые могут располагаться в непосредственной близости от нее.

Рисунок 2.7 – Рыночная линия

Наклон CML равен разнице между ожидаемой доходностью рыночного портфеля и безрисковой бумаги (r_M – r_f), деленной на разницу их рисков (s_M – 0), или (r_M – r_f)/s_M . Так как CML пересекает вертикальную ось в точке с координатами (0, r_f), то уравнение CML имеет вид:

, (31) 

где r_p – ожидаемая доходность эффективного портфеля;

s_p – среднеквадратичное отклонение эффективного портфеля.

Рыночная линия представляет собой  равновесное соотношение ожидаемой  доходности и среднеквадратичного  отклонения для эффективных портфелей. Отдельные рискованные бумаги всегда будут находиться ниже этой прямой, так как единичная рискованная бумага сама по себе является неэффективным портфелем. В модели формирования курсов на фондовом рынке не подразумевается определенной связи между ожидаемой доходностью и среднеквадратичным отклонением (т.е. общим риском) для каждой отдельной ценной бумаги. Для того чтобы сказать больше об ожидаемой доходности, необходим более глубокий анализ.

В модели оценки финансовых активов каждый инвестор обладает рыночным портфелем и его интересует среднеквадратичное отклонение своего портфеля, так как от него будет зависеть наклон CML, а следовательно, и размер инвестиций инвестора в рыночный портфель. Вклад каждой бумаги в среднеквадратичное отклонение рыночного портфеля зависит от величины ковариаций бумаги с рыночным портфелем. В соответствии с этим для каждого инвестора становится понятным, что величина допустимого риска каждой бумаги определяется ковариацией этой бумаги с рыночным портфелем, s_iM. Это означает, что инвесторы будут рассматривать бумаги с большим значением s_iM как вносящие большой риск в рыночный портфель. Кроме того, отсюда также следует, что бумаги, среднеквадратичное отклонение которых велико, не обязательно вносят больше риска в рыночный портфель, чем бумаги с меньшей величиной среднеквадратичного отклонения.

Из этого следует, что ценные бумаги с большими значениями s_iM должны обеспечивать пропорционально большую ожидаемую доходность, что должно заинтересовать инвестора в их приобретении.

Точная форма равновесной  взаимосвязи между риском и доходом  может быть записана в следующем виде:

, (32) 

где r_i – ожидаемая доходность i-й ценной бумаги;

s_iM – ковариация i-й ценной бумаги с рыночным портфелем.

На рисунке 2.8 (а) уравнение (32) описывает прямую, пересекающую вертикальную ось в точке с ординатой r_f и имеющую наклон (r_M – r_f)/s²_M. Так как величина наклона положительна, то уравнение указывает на то, что курсы ценных бумаг с большим значением ковариаций с рыночным портфелем s_iM будут обеспечивать большую ожидаемую доходность (r_i). Эта зависимость ковариации и ожидаемой доходности известна под названием рыночная линия ценной бумаги (Security Market Line, SML).

Рисунок 2.8 – Рыночная линия ценной бумаги

Уравнение SML может быть записано также и в следующей форме:

, (33) 

где b_iM – бета-фактор из индексной модели Шарпа.

Уравнение (33) представляет собой иную форму записи уравнения SML, что видно из рисунка 2.8 (б). Хотя обе прямые пересекают ось ординат в одной и той же точке, они имеют различный наклон. Наклон прямой, описанной уравнением (33), равен (r_M – r_f), а описанной уравнением (32) – (r_M – r_f)/s²_M

Одно из свойств коэффициента «бета» портфеля заключается в том, что он представляет собой взвешенное среднее коэффициентов «бета» входящих в него ценных бумаг, где в качестве весов выступают доли инвестиции в эти бумаги. Выражение для вычисления коэффициента «бета» портфеля выглядит следующим образом:

. (34) 

Ожидаемая доходность портфеля представляет собой взвешенную среднюю  ожидаемых доходностей входящих в его состав ценных бумаг, где в качестве весов представлены доли инвестирования в эти бумаги. Это означает, что так как каждая бумага лежит на SML, то на этой же прямой будет лежать и каждый портфель. Не только каждая бумага, но и каждый портфель должны находиться на прямой, имеющей положительный наклон, где в качестве оси ординат выбрана ожидаемая доходность, а в качестве оси абсцисс – коэффициент «бета». Следовательно, получается, что эффективные портфели лежат как на CML, так и на SML, а неэффективные лежат на SML, но ниже CML.

Индексная модель Шарпа  была описана в разделе 2.3. В ней  предполагалось, что доход по обыкновенной акции связан с доходом по рыночному индексу.

Естественно задаться вопросом о взаимосвязи индексной модели рынка и модели оценки финансовых активов. Прежде всего следует заметить, что в обеих моделях величина наклона именуется как «бета» и обе каким-то образом связаны с рынком. Однако между ними существует два значительных различия.

Первое заключается  в том, что индексная модель рынка  является факторной моделью. И в отличие от модели оценки финансовых активов она не является равновесной моделью, описывающей процесс формирования курсов ценных бумаг.

Второе состоит в  том, что рыночная модель использует рыночный индекс, в то время как САРМ-модели – рыночный портфель. Рыночный портфель сочетает в себе все обращающиеся на рынке бумаги, а рыночный индекс – только ограниченное их число. Поэтому концептуально коэффициент b_iI из рыночной модели отличается от коэффициента b_iM из модели оценки финансовых активов. Это связано с тем, что «бета» в рыночной модели измеряется относительно рыночного индекса, а «бета» в САРМ-модели – относительно рыночного портфеля. На практике, однако, в связи с тем, что точно определить структуру рыночного портфеля не удается, используют рыночный индекс. Поэтому «бету», определенную с помощью рыночного индекса, несмотря на концептуальное различие, принимают в качестве оценки «беты» в модели оценки финансовых активов.