Количественные показатели надежности и безопасности полетов

Определенный интерес представляют вероятности состояний, в которых окажется система при t→∞ при условии λ—const:

Таким образом, вероятности Р, Q конечных состояний при t→∞ определяются вероятностями парирования и непарирования последствий отказов систем и соотношением надежности гидросистем и переключателя. При r→∞ получим P22→0; Q22→0; P21→r; Q21→s Эти предельные значения характеризуют роль определенных факторов в обеспечении безопасности полетов или вклад отдельных факторов в общий уровень риска. Таким образом, рассмотренный пример позволяет получить ряд выводов, которые могут быть использованы в процессе создания системы управления самолета, удовлетворяющей требованиям безопасности полетов.

Возможные упрощения графа состояний.

При выполнении расчетов необходимо иметь в виду, что состояния второго уровня — события очень редкие. Вероятность их появления за 1 ч полета очень мала. Напомним, что для аварийных и катастрофических ситуаций соответственно QA=<10-7 и QK=<10-9. В силу этого нельзя пользоваться приближением e-λt≈1-λt, так как ошибки, связанные с ним, могут перекрывать значения малых искомых вероятностей и приводят к неверному результату. При наличии современной вычислительной техники расчеты даже многих десятков состояний не представляют трудностей.

Сложность графа состояний и число возможных уровней состояний, которые необходимо учитывать при оценке безопасности полета, определяются сложностью систем и характером конкретной задачи. В частности, для состояний, связанных с отказами резервированных и дублированных систем, систем с блоками контроля и т. д., граф состояний будет иметь как минимум 2...3 уровня.

Наибольшее влияние на уровень безопасности полета оказывают состояния первого уровня,  так как  они вызваны появлением в полете одного НФ, в го время как события второго уровня обусловлены последовательным появлением двух факторов, третьего уровни— трех и т. д. Соответственно и вероятности состояний от уровня к уровню убывают, поэтому в ряде случаев можно граф состояний ограничить первым уровнем.

Неизвестные Вероятности состояний при этом определяются из решения уравнений при условии и i=1,2,…a, где а — число рассматриваемых НФ. Индекс 1 при отсутствии состояний второго уровня теряет смысл и его можно опустить.

Из решения уравнений получим:

Выражения для благоприятного и неблагоприятного исходов полета примут вид:

 

По формулам достаточно просто определяется уровень безопасности полета Р или уровень риска Q, если известны значения интенсивностей λi появления неблагоприятных факторов и вероятностей ri и si парирования и непарирования последствий их появления.

Вклад любого i-тo фактора в общий уровень риска независимо от значения времени t:

Qi можно назвать относительным уровнем риска по i-му фактору. Сравнив значения Qi, можно выявить те НФ, которые оказывают отрицательное наибольшее влияние на безопасность полета. Как простейший частный случай, можно записать критерий оценки безопасности полета для одного определенного НФ (а=1):

 

где p(t) и q(t) — соответственно вероятности не появления и появления за время t рассматриваемого неблагоприятного фактора.

Эти формулы наглядно показывают влияние на безопасность полета интенсивности появления неблагоприятного фактора λ и степени его опасности, однозначно определяемой вероятностью непарирования s. Таким образом, применение цепей Маркова для исследования безопасности полетов позволяет от анализа возможных состояний системы перейти к количественным показателям, характеризующим опасность НФ.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ПРИМЕНЕНИЯ ЦЕПЕЙ МАРКОВА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ УРОВНЯ БЕЗОПАСНОСТИ ПОЛЕТОВ.

Учет восстанавливаемости систем. Ранее было принято допущение о том, что возможны лишь одиночные воздействия конкретного НФ. Так, например, отказавшая система не восстанавливается, и поэтому отказ не может быть более 1 раза, ошибки оператора не повторяются и т. д. В действительности можно предполагать, что после парирования последствий неблагоприятных факторов экипаж может с определенной вероятностью возвратить систему в исходное состояние (состояние 0). Например, после остановки двигатель может быть запущен вновь.

Обозначим вероятность восстановления системы после появления i-ro неблагоприятного фактора и парирования его последствий экипажем через Предположим, что не только появление неблагоприятного фактора и парирование его последствий, но и восстановление системы, т. е. возвращение в исходное состояние, происходят одновременно. Ограничим задачу для простоты только первым уровнем состояний, имеющим наибольшее практическое значение.

Граф состояний для этого случая приведен на следующем рисунке.

Цепь Маркова для системы с восстановлением.

 

Естественно, что из состояния непарирования последствий НФ возврата в исходное состояние нет.

Уравнения приобретают вид:

 

где

Решение уравнений дает развернутые выражения для вероятностей Ро, Pi и Qi, отличающиеся от только выражением для Хλ

Практический интерес представляет предельный случай, когда иi = l, т. е. одновременно с парированием последствий система возвращается в исходное состояние, например, после парирования последствий допущенной при управлении ЛА ошибки.

В этом случае формулы записываются в виде:

Предельный случай иi=1 можно полагать соответствующим повторяющимся полетам, когда при межполетном обслуживании и проверках система полностью восстанавливается. Критерии безопасности полета — вероятности благополучного окончания полета Р и уровня риска Q (т. е. вероятности летного происшествия) имеют при этом смысл критериев по множеству полетов РБП и QБП- На основании получим:

Время приобретает смысл суммарного налета, ранее обозначенного через - потока АП по i-му НФ — суммарного потока АП по всем факторам

 т

Обозначим поток АП вследствие отказов техники , ошибок личного состава. воздействия неблагоприятных условий и предположим, что эти три группы факторов независимы. Тогда критерий РБП можно представить в следующем виде:

Конечно, эта аналитическая зависимость справедлива только в пределах тех допущений, которые были введены выше.

Применения цепей Маркова при различной природе НФ. Для исследования влияния на безопасность полетов неблагоприятные факторы можно классифицировать по характеру появления во времени и их взаимозависимости. Это можно увидеть на следующем рисунке

Классификация неблагоприятных факторов.

 

Во всех случаях для вычисления вероятностных показателей безопасности полета возможно или непосредственное применение теорем теории вероятностей о произведении и сумме событий, или представление возможных исходов полета цепью Маркова.

Пусть на основании вероятности появления или не появления НФ за время t выражаются формулами:

Для простоты будем рассматривать только два фактора. В первом случае, когда факторы и их последствия независимы друг от друга, вероятность благополучного завершения полета в соответствии с теоремой о произведении вероятностей независимых событий выражается следующим образом:

 

 

Уровень риска вычисляется как вероятность противоположного события:

Применяя к этому случаю цепи Маркова получим:

Обобщая полученный результат на n факторов, можно отметить, что в том случае, когда факторы и их последствия независимы, выражение для Р может быть определено на основании теоремы о произведении вероятностей независимых событий:

Уровень риска определяется как вероятность противоположного события: Q = 1—Р. Во втором случае, когда НФ зависимы друг от друга, а их последствия независимы, в силу несовместности рассматриваемых состояний можно воспользоваться теоремой сложения вероятностей.

Возможен третий случай, когда НФ независимы друг от друга, а их последствия зависят от очередности возникновения факторов в полете. В случае двух факторов это можно записать в виде: . Запись означает, что условная вероятность парирования последствий фактора № 1, возникающего в первую очередь, не равна условной вероятности r12 парирования последствий этого же фактора, возникающего после появления в полете фактора № 2.

Выражения для показателей Р и Q определяются методом, рассмотренным во втором частном случае: формируют возможные временные последовательности событий (состояний); вычисляют вероятности рассматриваемых состояний; на основании теоремы сложения вероятностей несовместных событий определяют выражения для Р и Q. Итак, развернутое выражение для Р и Q при воздействии непрерывных во времени факторов может быть получено из теорем теории вероятностей.

Однако при зависимых факторах или зависимых их последствиях возникает необходимость в достаточно сложном вычислении вероятностей состояний исследуемой системы, как вероятностей определенных временных последовательностей событий. Кроме того, с увеличением числа факторов существенно увеличивается число возможных состояний системы, которые необходимо рассматривать. Так, при «n» факторах число возможных состояний

при при т. е. при небольшом числе факторов возможное число состояний получается достаточно большим, осуществить их перебор чисто умозрительно сложно. Это обстоятельство создает большие трудности для применения общих теорем теории вероятностей при анализе безопасности полетов, особенно в применении к такой сложной системе, как АТС. Поэтому методологически более целесообразно представлять возможные состояния АТС моделью Марковского процесса, что значительно упрощает методику конструирования вероятностных показателей. В основе этой методики, как известно, положены достаточно простые логические принципы, формализующие процедуру перебора возможных состояний системы и расчет вероятностей пребывания системы в этих состояниях.