Тезисы лекционных занятий

Тезисы лекционных занятий

 

Тема 1. Введение. Основные понятия

 

    Сопротивление материалов - наука о прочности, жесткости и устойчивости элементов инженерных конструкций. Методами сопротивления материалов выполняются расчеты, на основании которых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений.

   В курсе теоретической  механики тела принимаются абсолютно  твердыми. В отличии от этого сопротивление материалов наделяет реальные тела свойствами деформируемости – изменяемости геометрических размеров, форм.

   Из бесчисленного  многообразия элементов инженерных  конструкций отбираются наиболее  часто встречающиеся или типовые;  производится их схематизация; даются  методы и приемы расчета элементов.

   В курсе рассматриваются схематизированные типовые элементы машиностроительных, строительных, транспортных и других конструкций, которые и предлагаются к расчету на прочность, жесткость и устойчивость.                                

    При изучении  темы обратите внимание на  следующие понятия: реальный объект  и его схематизация; виды тел,  изучаемых в сопротивлении материалов; гипотезе о твердом теле; силы  внутренние и внешние; напряжение  в точке тела (полное, нормальное, касательное); деформации; перемещения  (линейные, угловые); принцип независимости  действия сил и др.

    Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо  определить внутренние силы (силы  упругости), которые неизвестны по  величине и направлению, но  которые нужно знать для выполнения  прочностных расчетов. Определение  сил упругости осуществляется  с помощью, так называемого метода сечения. Его сущность заключается в следующем (рис 1.1).

    1. Рассекают (мысленно) тело в интересующем сечении.

    2. Отбрасывают одну из частей (безразлично какую).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рис 1.1

 

    3. Заменяют действие  отброшенной части тела на  оставшуюся системой сил, которые в данном случае переходят в разряд внешних. Силы упругости по принципу действия и противодействия всегда взаимны и представляют непрерывно распределенную по сечению систему сил. Их значение и ориентация в каждой точке сечения произвольны, зависят от ориентации сечения относительного тела, величины  и направления внешних сил, геометрических размеров тела. Внутренние силы (произвольную систему сил) можно привести к главному вектору R и главному моменту М. за точку приведения принимают обычно центр тяжести сечения. Выбрав систему координат x ,y ,z (ось x – по нормали к поперечному сечению, оси y и z –в плоскости этого сечения) и начало системы в центре тяжести, обозначим проекции главного вектора R на координатные оси через N, а проекции главного момента М - Три силы и три момента называются внутренними силовыми факторами в сечении. Каждый из них имеет определенное название: N – Нормальная (продольная) сила в сечении (проекция R на ось, нормальную к поперечному сечению, т.е. на ось x); – поперечные (перерезывающие) силы в сечении (проекции R соответственно на оси y и z); – крутящий момент (проекция вектора М на ось, нормальную к сечению :); - изгибающие моменты (проекции вектора М на оси y и z соответственно).(рис 1) Силы упругости, каким бы образом они не были распределены по поверхностями сечения, во всех случаях должны удовлетворять условиям равновесия рассматриваемой или отброшенной части тела. Следовательно, последним этапом метода сечений будет следующий.

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

4. Уравновешивают оставшуюся  часть рассматриваемого тела, используя  уравнения равновесия:

         

             

    Знание внутренних силовых  факторов совершенно необходимо  для выполнения прочностных расчетов  элементов конструкций и поэтому  метод сечений следует хорошо  усвоить.

 

Напряжения

 

В окрестности произвольной точки К, принадлежащей сечению А некоторого нагруженного тела, выделим элементарную площадку DF, в пределах которой действует внутреннее усилие D (рис. 1.4, а). Векторная величина

   (1.5)

называется полным напряжением  в точке К. Проекция вектора полного напряжения на нормаль к данной площадке обозначается через s и называется нормальным напряжением.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.4

 

Проекции вектора  на перпендикулярные оси в плоскости площадки (рис. 1.4, б) называются касательными напряжениями по направлению соответствующих осей и обозначаются tґ и tґґ. Если через ту же самую точку К провести другую площадку, то, в общем случае будем иметь другое полное напряжение. Совокупность напряжений для множества площадок, проходящих через данную точку, образует напряженное состояние в этой точке.

 

    Вопросы для самопроверки

    Что называется  сопротивлением материалов и каково значение науки в общем цикле инженерных дисциплин? Что такое упругость, пластичность, деформация, перемещение (угловое, линейное), напряжение в точке – нормальное, касательное? Отличие деформации от перемещений. Какие силы называют внешними, а какие – силами упругости, их различие? Внутренние силовые факторы и их определение. В чем суть принципа независимости действия сил (принципа суперпозиции)?

 

                                             Тема 2. Растяжение- сжатие

  

    Раздел растяжение- сжатия бруса с  прямолинейной осью внешними силами, равнодействующие которые совпадают с осью бруса, занимает важное место при изучении курса сопротивления материалов.

      Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы, а прочие силовые факторы равны нулю.

Рассмотрим однородный прямолинейный  стержень длиной l и площадью поперечного сечения F, на двух концах которого приложены две равные по величине и противоположно направленные центральные продольные силы Р. Поместим начало плоской системы координат yz в центре тяжести левого сечения, а ось z направим вдоль продольной оси стержня.

Для определения величин внутренних усилий воспользуемся методом сечений. Задавая некоторое сечение на расстояние z (0 £ z £ l) от начала системы координат и рассматривая равновесие левой относительно заданного сечения части стержня приходим к следующему уравнению:

           

                                                                P + N_z = 0,

откуда следует, что 

N_z = P 

Примем для N_z следующее правило знаков. Если N_z направлена от сечения, т.е. вызывает положительную деформацию (растяжение), то она считается положительной. В обратном случае - отрицательной.

       Поэтому проводится описание методов испытания образцов, изготовленных из пластичных материалов и определении их важнейших характеристик: пределов – пропорциональности , упругости , текучести , прочности , модуля продольной упругости Е, коэффициента Пуассона µ, модуля сдвига G. Устанавливая зависимость между напряжением и деформациями в пределах малых деформаций. Эта зависимость известна под названием закона Гука.

    Вводятся понятия  опасного состояния, допускаемого  напряжения, коэффициента запаса  прочности. Излагаются виды прочностных  расчетов – проектировочного  и проверочного, применяемых соответственно  при определении недостающих  геометрических разрезов (обычно  величин поперечного сечения)  элементов конструкций или выявлений  того, как далека конструкция  от опасного состояния.

    Определение величины  поперечного сечения стержня  выполняется на основании условия  прочности:

,

где N – нормальное усилие;

     F – площадь поперечного сечения стержня;

      [ ] – допускаемое напряжение.

        Определение  запаса прочности n и сопоставление с допускаемыми (нормативными) для данной отрасли машиностроения определятся из выражения:

.

Здесь предельное напряжение: для пластичного материала  =  предел текучести; для хрупкого =  - предел прочности. Рассматриваются способы решения статически неопределимых систем, их особенности. Отмечается единство статической, геометрической и физической сторон задачи.

    Вопросы для самопроверки

Что такое расчетная схема? В чем суть принципа Сен-Венана? Дайте  определение гипотезы плоских сечений. Что такое абсолютное и относительное  удлинение, укорочение? Назовите основные характеристики пластичных и хрупких  материалов. Объясните физический смысл  модуля продольной упругости. Что такое  коэффициент  Пуассона, зоны упругости, общей текучести, упрочнения? Что  такое площадка текучести? Какое  явление называется наклепом?  Какие  системы, называются статически определимыми и какие – статически неопределимыми? Что такое степень статической  неопределимости системы? Какой, расчет, называется по допускаемым напряжениям  и какой – по предельным нагрузкам?

 

Тема 3. Чистой сдвиг. Практические примеры расчета на сдвиг.

 

 

   Мы изучали, что при простом  растяжении или простом сжатии две  части стержня, разделенные наклонным  сечением, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Растяжению сопротивляются нормальные, а сдвигу — касательные напряжения.   

На практике целый ряд  деталей и элементов конструкций  работает в таких условиях, что  внешние силы стремятся их разрушить  именно путем сдвига. 

       Заклепочные соединения. В соответствии с этим при проверке прочности таких элементов на первый план выступают касательные напряжения. Простейшими примерами подобных деталей являются болтовые и заклепочные соединения. Заклепки во многих случаях уже вытеснены сваркой; однако они имеют еще очень большое применение для соединения частей всякого рода металлических конструкций: стропил, ферм мостов, кранов, для соединения листов в котлах, судах, резервуарах и т. п. Для образования заклепочного соединения в обоих листах просверливают или продавливают отверстия. В них закладывается нагретый до красного каления стержень заклепки с одной головкой; другой конец заклепки расклепывается ударами специального молотка или давлением гидравлического пресса (клепальной машины) для образования второй головки. Мелкие заклепки (малого диаметра — меньше 8 мм) ставятся в холодном состоянии (авиационные конструкции).    

Для изучения работы заклепок рассмотрим простейший пример заклепочного соединения (Рис.1). Шесть заклепок, расположенных  в два ряда, соединяют два листа внахлестку. Под действием сил Р эти листы стремятся сдвинуться один по другому, чему препятствуют заклепки, на которые и будет передаваться действие сил ).

 

 
 
Рис.1. Расчетная схема заклепочного соединения  

 

 

   Для проверки прочности заклепок применим общий порядок решения задач  сопротивления материалов.   

На каждую заклепку передаются по две равные и прямо противоположные  силы: одна—от первого листа, другая — от второго. Опытные исследования показывают, что одни из заклепок ряда нагружаются больше, другие — меньше. Однако к моменту разрушения усилия, передающиеся на различные заклепки, более или менее выравниваются за счет пластических деформаций. Поэтому принято считать, что все заклепки работают одинаково. Таким образом, при заклепках в соединении, изображенном на фиг. 1, на каждую из них действуют по две равные и противоположные силы (Рис.2); эти силы передаются на заклепку путем нажима соответствующего листа на боковую полуцилиндрическую поверхность стержня. Силы стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела обоих листов.

 

 
 
Рис.2. Силы, действующие на заклепочное соединение. 

 

 

   Для вычисления напряжений, действующих  по этой плоскости, разделим мысленно заклепочный стержень сечением mk и отбросим нижнюю часть (Рис.2). Внутренние усилия, передающиеся по этому сечению от нижней части на верхнюю, будут уравновешивать силу т. е. будут действовать параллельно ей в плоскости сечения, и в сумме дадут равнодействующую, равную . Следовательно, напряжения, возникающие в этом сечении и действующие касательно к плоскости сечения, это — касательные напряжения . Обычно принимают равномерное распределение этих напряжений по сечению. Тогда при диаметре заклепки d на единицу площади сечения будет приходиться напряжение:

   

Величина допускаемого касательного напряжения , или, как говорят, допускаемого напряжения на срез, принято определять в виде: Зная , мы напишем условие прочности заклепки на перерезывание в таком виде:

т. е. действительное касательное  напряжение в материале заклепки должно быть равно допускаемому или меньше его.   

Из этого условия можно  определить необходимый диаметр  заклепок, если задаться их числом, и  наоборот. Обычно задаются диаметром  заклепочных стержней d в соответствии с толщиной t склепываемых частей (обычно ) и определяют необходимое число заклепок :

Знаменатель этой формулы  представляет собой ту силу, которую  безопасно может взять на себя каждая заклепка.

Пусть ; тогда

 
 
Рис.3. Расчетная модель действия нормальных напряжений 

 

 

   При выводе формулы расчета заклепки на перерезывание, помимо оговоренных, допущена еще одна неточность. Дело в том, что силы действующие на заклепку, не направлены по одной прямой, а образуют пару. Эта пара уравновешивается другой парой, образующейся из реакций соединенных листов на головку заклепки (Рис.3) и ведет к появлению нормальных напряжений, действующих по сечению mk.   

Кроме этих нормальных напряжений, по сечению mk действуют еще нормальные напряжения, вызванные тем, что при охлаждении заклепочный стержень стремится сократить свою длину, чему мешает упор головок заклепки в листы. Это обстоятельство, с одной стороны, обеспечивает стягивание заклепками листов и возникновение между ними сил трения, с другой — вызывает значительные нормальные напряжения по сечениям стержня заклепки. Особых неприятностей эти напряжения принести не могут. На заклепки идет сталь, обладающая значительной пластичностью; поэтому даже если бы нормальные напряжения достигли предела текучести, можно ожидать некоторого пластического удлинения стержня заклепки, что вызовет лишь уменьшение сил трения между листами и осуществление в действительности той схемы работы заклепки на перерезывание, на которую она и рассчитывается. Поэтому эти нормальные напряжения расчетом не учитываются.