Тезисы лекционных занятий

В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z, учитывать также и знак силы Р; при растяжении перед выражением

должен стоять знак плюс, при сжатии — минус.

Полученной формуле можно  придать несколько иной вид; вынесем  за скобку множитель  ; получим:

(2)

Здесь и — радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что и ).   

Для отыскания точек с  наибольшими напряжениями следует  так выбирать у и z, чтобы достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (1) и (2) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.   

Обозначим координаты точек  этой линии через и ; так как в точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (2) значений и получаем:

или

(3)

Это и будет уравнение  нейтральной оси. Очевидно, мы получили уравнение прямой, не проходящей через  центр тяжести сечения.

Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим  эти отрезки  и . Чтобы найти отрезок , отсекаемый на оси Оу, надо в уравнении (3) положить

;

тогда мы получаем:

и

(4)

подобным же образом, полагая

;

получаем:

(5)

 

   Если величины и положительны, то отрезки и будут отрицательны, т. е. нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка А (Рис.3 г).   

Нейтральная ось делит  сечение на две части — сжатую и растянутую; на Рис.3 г растянутая часть сечения заштрихована. Проводя  к контуру сечения касательные, параллельные нейтральной оси, получаем две точки  и , в которых будут наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.   

Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (1), вычисляем величины наибольших напряжений в точках и :

Если материал стержня  одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности  получает такой вид:

   

Для поперечных сечений с  выступающими углами, у которых обе  главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.) и Поэтому формула упрощается, и мы имеем

   

Если же материал стержня  неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить  прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.   

Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной проверки прочности. Из формул (4) и (5) видно, что  положение точки А приложения силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру сечения, тем меньше величины и и тем больше отрезки и . Таким образом, с приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Поэтому при некоторых положениях точки А нейтральная ось будет проходить вне сечения и все сечение будет работать на напряжения одного знака. Очевидно в этом случае всегда достаточно проверить прочность материала в точке .   

Разберем практически.важный случай, когда к стержню прямоугольного сечения (Рис. 4) приложена внецентренно сила Р в точке А, лежащей на главной оси сечения Оу. Эксцентриситет ОА равен е, размеры сечения b и d. Применяя полученные выше формулы, имеем:

 
 
Рис.4. Расчетная схема бруса прямоугольного сечения. 

 

Напряжение в любой  точке В равно

так как

Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Oz, одинаковы. Положение нейтральной оси определяется отрезками

Нейтральная ось параллельна  оси Oz; точки с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1—1 и 3—3.

Значения  и получатся, если подставить вместо у его значения . Тогда

 

 

                                               

Тема 12. Устойчивость равновесия деформированных систем 

11.1. Понятие об устойчивости. Задача Эйлера

До сих пор мы рассматривали  методы определения напряжений и  перемещений, возникающих в стержнях и соответственно, занимались оценкой их прочности и жесткости. Однако оказывается, что соблюдение условий прочности и жесткости еще не гарантирует способности конструкций выполнять, предназначенные им функции в эксплуатационных режимах. Наряду с выполнением условий прочности и жесткости, необходимо обеспечить и устойчивость конструкций.

При неизменной схеме нагружения, под устойчивостью понимается свойство способности системы сохранять свое первоначальное равновесное состояние. Если рассматриваемая система таким свойством не обладает, то она называется неустойчивой, а ее равновесное состояние - неустойчивым состоянием.

При неизменной схеме нагружения, в процессе роста интенсивности нагрузок, явление перехода системы от одного равновесного состояния к другому равновесному состоянию, называется потерей устойчивости системы. Значения внешних сил, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими.

В некоторых случаях при  потере устойчивости, система, переходя в новое устойчивое равновесное состояние, продолжает выполнять свои функции. Однако в подавляющем большинстве случаев, потеря устойчивости системы сопровождается возникновением больших перемещений, пластических деформаций или ее полным разрушением. Поэтому сохранение исходного (расчетного) равновесного состояния системы является важной задачей и одной из основных проблем сопротивления материалов.

Рис. 12.1

Основная задача теории устойчивости заключается в определении критического значения внешних сил и ограничение их величин таким образом, чтобы исключить возможность потери устойчивости заданной системы в эксплуатационных режимах.

Пусть вертикальный стержень закреплен нижним концом, а на свободном верхнем конце центрально приложена продольная сила Р (рис. 12.1). На начальном этапе нагружения равновесное состояние системы определяется как простое продольное сжатие, так как на данном этапе нагружения в поперечных сечениях стержня, за исключением продольной силы, остальные силовые факторы равны нулю. При дальнейшем росте внешней силы Р, обнаруживается, что при некотором ее значении P = P_KP , стержень изогнется. Так как явление изгиба тесно связано с действием изгибающих моментов, возникающих в поперечных сечениях стержня, можем утверждать, что при P = P_KP происходила смена формы равновесного состояния системы. Если на начальном этапе нагружения P < P_KP , равновесное состояние вертикального стержня определялось как простое сжатие, то при P > P_KP сжатие сопровождается изгибом. Это означает, что при P = P_KP  происходила потеря устойчивости системы.

Заметим, что в данном случае, смена формы равновесного состояния сопровождается и сменой формы деформирования: в докритическом - прямолинейная форма деформирования, в закритическом - криволинейная, а в критическом - смешанная форма.

Заметим также, что для  гибких стержней потеря устойчивости может наступить при напряжениях, значительно меньших предела  прочности материалов. Поэтому расчет стержней должен выполняться при условии, что сжимающие напряжения не превышают критического значения с точки зрения потери их устойчивости:

,    (9.1)

где Р_KP - значение сжимающей силы, при котором стержень переходит из прямолинейного состояния равновесия к криволинейному; F - площадь сечения стержня.

Рис. 12.2

Изучение устойчивости стержней начнем с простейшей задачи о стержне  с двумя шарнирно опертыми концами при действии центрально сжимающей силы Р (рис. 12.2).

Впервые эта задача была поставлена и решена Л.Эйлером в  середине ХVIII века и носит его имя.

Рассмотрим условия, при  которых происходит переход от центрально сжатого состояния к изогнутому, т.е. становится возможной криволинейная форма оси стержня при центрально приложенной сжимающей силе Р. Предполагая, что изгиб стержня будет происходить в плоскости минимальной жесткости, записывая дифференциальное уравнение упругой линии балки и ограничиваясь рассмотрением только малых перемещений, имеем:

   (9.2)

 

Расчет на устойчивость сводится к определению значения критической  силы для длинного тонкого сжатого стержня. Величина  для стержня с различными опорными устройствами определяется по формуле Эйлера

                                                                        (9.3)

Где – наименьший момент инерции поперечного сечения стойки ; – длина стойки ; – коэффициент приведения длины стойки, учитывающей условия крепления стоек .

    Формула Эйлера  справедлива до тех пор, пока  критическое напряжение  в стойке не превосходит предел пропорциональности материала стойки  , т.е.

    Формула  Эйлера  применима для сравнительно длинных  стоек. для стоек средний длины применима формула Ясинского

.

Здесь - коэффициенты зависящие от свойств материалов и определяемые опытным путем; - гибкость стержня, определяемая из выражения                                                                                               

 

Где -  минимальный радиус инерции поперечного сечения стойки.

    Целесообразно  отчетливо представлять последовательность  расчета стоек на устойчивость:

1. Определяется гибкость стойки .
2. Сопоставляется с предельной гибкостью определяемое по формуле

 

    В случае если  критическое значение напряжения определяется по формуле Эйлера. Если  , то при определенных условиях (для так называемых стоек средней гибкости) критическое напряжение находят по формуле Ясинского. Представляет практический интерес способ расчета стоек на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемого напряжения, значения которого приводятся в справочной литературе.

    Вопросы для самопроверки

    В чем суть  явления потери  устойчивости  сжатой стойки? Что такое критическая  сила и по какой

Формуле она определяется?  Укажите пределы применимости  формулы Эйлера. Что такое гибкость стойки? Как определяется критическое  напряжение для стоек большой, средней  и малой

Гибкости? Какой  вид  имеет  график  критических напряжений? Как влияют условия закрепления

Стоек на значение критической  силы? Как производится проверка  стоек на устойчивость по коэффициенту  ?

 

Тема 13. Прочность при напряжениях, циклически изменяющихся во времени

 

 

   Многие детали машин в процессе работы испытывают напряжения, циклически меняющиеся во времени. Так, например ось  вагона, вращающаяся вместе с колесами (рис. 1), находятся под действием  периодически меняющихся сил и испытывает циклически изменяющиеся напряжения, хотя внешние силы сохраняют свою величину.

 

 
 
Рис.1. Расчетная схема оси вагона. 

 

Для оси вагона на рис. 1 показана эпюра изгибающих моментов. В точке А поперечного сечения (рис. 2, а) имеем:

Расстояние y от точки А до нейтральной оси меняется во времени

где — угловая скорость вращения колеса.

Следовательно,

Таким образом, нормальное напряжение в сечениях оси меняется по синусоиде  с амплитудой (рис. 2, б).

 
 
Рис.2. Изменение напряжения в точке А. 

 

 

   Опыт показывает, что при переменных напряжениях после некоторого числа  циклов может наступить разрушение детали, в то время как при том же неизменном во времени напряжении разрушения не происходит.

 

 
 
Рис.3. Иллюстрация усталостной прочности. 

 

 

   Число циклов до момента разрушения зависит от величины и меняется в весьма широких пределах. При больших напряжениях для разрушения бывает достаточно 5—10 циклов. Это хорошо видно хотя бы на примере многократного изгиба куска проволоки (рис. 3).   

При меньших напряжениях  деталь выдерживает миллионы и миллиарды  циклов, а при еще меньших —  способна работать неограниченно долго.    

После разрушения на поверхности  излома детали обнаруживаются обычно две ярко выраженные зоны ( рис. 4 и 5). В одной зоне кристаллы различаются невооруженным глазом с большим трудом. Поверхность излома имеет сглаженные очертания. В другой зоне явно выступают признаки свежего хрупкого разрушения. Кристаллы имеют острую огранку и блестящую чистую поверхность.