Тезисы лекционных занятий

Рис. 7.3

Заданная система состоит  из двух участков - первого (0 £ z £ a) и второго (a £ z £ a + b). Следовательно, задавая последовательно сечения, принадлежащие к первому и второму участкам, и рассматривая равновесие отсеченных частей системы при действии на них всех внешних сил и внутренних усилий, определим выражения для внутренних силовых факторов. При этом, знак изгибающего момента устанавливается по знаку кривизны изогнутого бруса (рис.7.3, а) и зависит от выбранного направления осей системы координат y0z. Следовательно, в системе координат y0z принятой на рис. 7.3, а положительный момент вызывает растяжение нижних волокон балки.

Для поперечных сил, независимо от направления координатных осей, устанавливается следующее правило  знаков: если результирующая поперечная сила Q_y вращает рассматриваемую часть балки по ходу часовой стрелки, то она считается положительной, в обратном случае - отрицательной (рис. 7.3, б).

Из условия равновесия SM_x = 0; Sy = 0 отсеченной части системы, расположенной левее от сечения z₁ (первый участок), (см. рис. 7.2, в), получим:

M_x (z₁) = R_a ×z₁;     Q_y = R_a .  (5.2)

Для определения M_x и Q_y на втором участке рассмотрим равновесие отсеченной части балки, расположенной правее от сечения z₂ (см. рис. 7.2, б), т.е. SM_x = 0; Sy = 0 откуда и определим:

M_x (z₂) = R_b (a + b - z₂);     Q_y = - R_b .  (5.3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.4

 

      Эпюры M_x и Q_y изображены на рис. 7.4. Заметим, что эпюры изгибающих моментов M_x , как и поперечных сил Q_y строятся на оси бруса, однако в отличие от эпюры поперечных сил знак момента не указывается, а ординаты изгибающего момента откладываются co стороны растянутых волокон.

7.2. Основные дифференциальные зависимости между М,Qи q 

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 7.5, а).

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.5

Выделим из бруса элемент  длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 7.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, проходящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz - Q_y - d Q_y = 0 ;

 

M_x + Q_y dz + q dz×dz/2 - M_x - d M_x = 0.

 

Производя упрощения и  отбрасывая величины высшего порядка малости, получим:

   (5.4)

откуда

.     (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линейной, а функция M_x - квадратичной. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена  сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.

7.3. Напряжения при чистом изгибе

    При этом в брусе в общем случае возникает нормальные и касательные напряжения. Предположим, что внешние силовые факторы приложены в одной плоскости, она совпадает с осью у, являющейся главной осью инерции сечения. Пусть ось у будет осью симметрии сечения (см.тему 4). Тогда внутренние силы в поперечном сечении приводятся только к изгибающему моменту или изгибающему моменту и поперечной  (перерезывающей) силе одновременно. В первом случае изгиб называется прямым чистым, а во втором – прямым поперечным.

    В этом разделе  остановимся в основном на  расчете балок на прочность  и изучении деформаций и перемещений,  т.к. вопросы определения внутренних  силовых факторов в сечениях  бруса.

    При прямом  чистом изгибе в поперечном  сечении балки возникают только  нормальные напряжения.

.     (5.10)

Откуда следует, что нормальные напряжения s в поперечном сечении бруса при его изгибе изменяются по линейному закону в зависимости от координаты y и принимают максимальное значение на уровне крайних волокон (при y = y_max):

,

где  - момент сопротивления сечения.

 

Расчет балок на изгиб  – подбор величины поперечного сечения  – осуществляется на основании условия  прочности:

.

 Здесь  - изгибающий момент относительно нейтральной линии ( ось z);

- момент сопротивления;

 – допускаемое напряжение;

 – предельное напряжение: для пластичных материалов - = , для хрупких - ;

  - предел текучести материала; -

n -  прочности, задаваемый в каждой отрасли машиностроения.

    В случае прямого поперечного изгиба расчет балок на прочность осуществляется по той же формуле, что и при прямом чистом изгибе, если сечение не тонкостенное, и при условии, что отношение длины балки L к размеру b, параллельному силовой оси поперечного сечения балки, . При этом касательные напряжения на порядок меньше нормальных напряжений и все «перекрываются» запасом прочности, который принимается, например, в машиностроении 2,0 – 2,5.

    Если сечение  тонкостенное или соотношение  длины балки и размера поперечного  сечения в направлении силовой  оси меньше или равно 6, то  следует учитывать действие касательное  напряжение.

    Для балок сплошного  поперечного сечения касательные  напряжения определяются по формуле 

Где – поперечная сила в сечении;

- статический момент отсеченной  части сечения балки; 

- осевой момент инерции; 

 точке поперечного сечения  касательного напряжения.

    Следует обратить  внимание на то, что в формуле  для определения значения касательного  напряжения  относится не ко всему поперечному сечению балки, а лишь к части его, лежащей выше или ниже линии параллельной нейтральной оси, в точках которой определяется касательное напряжение. В тоже время момент инерции относительно нейтральной оси принимается для всего сечения.

    При изучении  закономерности распределения нормальных  напряжений необходимо обратить внимание на неравномерность его в направлении силовой оси. С учетом этого целесообразно самостоятельно найти пути снижения расхода материала балки при одинаковой ее прочности.

7.4. Перемещения при изгибе. Метод начальных параметров

Изгиб балки сопровождается искривлением ее оси. При поперечном изгибе ось балки принимает вид кривой, расположенной в плоскости действия поперечных нагрузок. При этом точки оси получают поперечные перемещения, а поперечные сечения совершают повороты относительно своих нейтральных осей. Углы поворота поперечных сечений принимаются равными углам наклона j, касательной к изогнутой оси балки (рис. 7.6).

Рис. 7.6

Прогибы и углы поворотов  в балках являются функциями координаты z и их определение необходимо для расчета жесткости. Рассмотрим изгиб стержня в одной из главных плоскостей например, в плоскости yz. Как показывает практика, в составе реальных сооружений стержни испытывают весьма малые искривления (y_max/l = 10^-2 - 10^-3, где y_max - максимальный прогиб; l - пролет балки).

В этом случае неизвестными функциями, определяющими положение точек поперечных сечений балки являются y(z) и j  (z) = = a  (z) (рис.7.6). Совокупность значений этих параметров по длине балки образуют две функции от координаты z - функцию перемещений y (z) и функцию углов поворота j  (z). Из геометрических построений (рис. 5.6) наглядно видно, что угол наклона касательной к оси z и угол поворота поворота поперечных сечений при произвольном z равны между собой. В силу малости углов поворота можно записать:

.   (5.17)

Из курса математического  анализа известно, что кривизна плоской кривой y (z) выражается следующей формулой:

.

Если рассмотреть совместно  соотношение (5.9) и последнее выражение, то получим нелинейное дифференциальное уравнение изогнутой оси или упругой линии балки, точное решение которого, как правило, затруднительно. В связи с малостью величины по сравнению с единицей последнее выражение можно существенно упростить, и тогда

.    (5.18)

Учитывая (5.9), из (5.18) получим  следующее важное дифференциальное соотношение

,   (5.19)

где I_x  - момент инерции поперечного сечния балки, относительно ее нейтральной оси; Е - модуль упругости материала;

 E I_x  - изгибная жесткость балки.

Уравнение (5.19), строго говоря, справедливо для случая чистого изгиба балки, т.е. когда изгибающий момент M_x (z) имеет постоянное значение, а поперечная сила равна нулю. Однако это уравнение используется и в случае поперечного изгиба, что равносильно пренебрежению искривлений поперечных сечений за счет сдвигов, на основании гипотезы плоских сечений.

Введем еще одно упрощение, связанное с углом поворота поперечного сечения. Если изогнутая ось балки является достаточно пологой кривой, то углы поворота сечений с высокой степенью точности можно принимать равными первой производной от прогибов. Отсюда следует, что прогиб балки принимает экстремальные значения в тех сечениях, где поворот равен нулю.

В общем случае, для того, чтобы найти функции прогибов y (z) и углов поворота j  (z), необходимо решить уравнение (5.19), с учетом граничных условий между смежными участками.

Для балки, имеющей несколько  участков, определение формы упругой  линии является достаточно сложной  задачей. Уравнение (5.19), записанное для  каждого участка, после интегрирования, содержит две произвольные постоянные.

На границах соседних участков прогибы и углы поворота являются непрерывными функциями. Данное обстоятельство позволяет определить необходимое  число граничных условий для  вычисления произвольных постоянных интегрирования.

    Расчет балки  на жесткость предполагает определение  перемещений ее сечений обычно  в направлении, перпендикулярно  оси. В общем случае значение  угловых и линейных перемещений можно находить, применяя дифференциальные уравнения изогнутой оси балки. Дается универсальный метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Общий вид дифференциальных уравнений для определения угловых и линейных перемещений имеет соответственно вид :

                               ;

    Где  - угол поворота и прогиб сечения в начале системы координат, обычно размещаемого на конце балки;

а и b – абсциссы сечений балки в выбранной системе координат, в которых приложены соответственно пары сил с моментами m и сосредоточенные силы Р;

с – абсциссы сечений, в которых начинается равномерно распределенная нагрузка интенсивности q при движении от начала системы координат в сторону этого сечения , или в которых она дополняется.

    В теме изучается  также частый случай изгиба  – косой изгиб. Он имеет место в случае, когда силовая линия не совпадает с главной центральной осью инерции сечения, в силу чего плоскость деформации балки не совпадает с силовой плоскостью. Косой изгиб наиболее удобно рассматривать как одновременный изгиб бруса в двух взаимно перпендикулярных главных плоскостях.

Напряжение при косом  изгибе определяются по формуле:                                                                           

А расчет балок на прочность  осуществляется из выражения                                                                   

Где – координаты точки, наиболее удаленной от нейтральной линии, для которой .

    Деформация косого  изгиба опасна особенно для  балок, для которых главные  центральные моменты инерции  сильно отличаются друг от  друга. Для балок, сечение которых  – правильные фигуры (квадрат,  равносторонний треугольник и  др.),косой изгиб же невозможен.

    В этой же  теме изучается внецентренное растяжение-сжатие бруса. Расчет брусьев, внецентренное растяжение-сжатие, выполняется на основании

   

Где в которой приложена внешняя сила (полюс силы);

- координаты точки, обычно  наиболее удаленной от нейтральной  линии, в которой возникает  наибольшее нормальное напряжение;

 F – площадь поперечного сечения бруса;

- допускаемое напряжение.

    Вопросы  для самопроверки

    Какой изгиб  называется прямым чистым, прямым  поперечным и какой - косым?  Что такое нейтральный слой, силовая  плоскость, нейтральная линия  (ось) , силовая линия (ось )? Как взаимно расположены силовая и нейтральная линии при прямом и косом изгибах? Как изменяются нормальные и касательные напряжения по сечению в направлении силовой и центральной осей при прямом поперечном изгибе балки? В каких точках поперечного сечения балки возникают наибольшие нормальные напряжения? Укажите физический смысл произвольных постоянных при универсальном методе интегрирования дифференциального уравнения упругой линии. Какие приемы используют при интегрировании? Как определяют нормальные напряжения при внецентренном растяжении, сжатии? Какой брус называется брусом малый, а какой – большой кривизны? Напишите выражения для определения нормальных напряжений в сечении бруса большой кривизны.