Тезисы лекционных занятий

                                             

Тема 109.  Расчет тонкостенных оболочек и толстостенных цилиндрических труб

 

    В теме изучается  расчет тонкостенных осесмметричных симметрично нагруженных оболочек по безмоментной теории. К схеме осесимметричной оболочки сводится расчет многих строительных инженерных конструкций, а также котлов, резервуаров (воздушных и газовых) и т.д. оболочка называется осесимметричной симметрично нагруженной, если любая плоскость, проходящая через ось, является плоскостью геометрической и силовой симметрии.

    Надо хорошо  уяснить, что давление в оболочке  находящийся под гидростатическим давлением, в силу осевой симметрии может изменяться только меридиональном направлении, оставаясь неизменной в окружном.

    Расчет оси  симметричных оболочек основывается  на предположении постоянства  напряжений по толщине стенок, что может быть лишь при  отсутствии изгиба оболочки. Теория, на которой базируется решение  задач таком предположении, называется безмоментной теорией оболочек.

    Тонкостенных  осей симметричных симметрично  нагруженных оболочках меридиональная  напряжение связаны с соотношением, получившим название формулы Лапласа:

  где  и – радиусы кривизны меридиональном и окружном направлениях соответственно ; – давление, под которым находится тонкостенная оболочка ; – толщина оболочки.

    При изучении  темы четко уясните порядок  расчета оболочек: вначале определяют  мередианальные напряжения – для этого, используя метод сечений, изучает равновесие одной из частей; затем – подставляют полученное значение мередианального напряжения в уравнении Лапласа и находят значение окружного напряжения.

    Расчет толстостенных  цилиндрических труб имеет значение  при решении многих важных  техническом отношении задач.  Теория расчета таких труб  связано с именем известного  французского ученого Ляме и русского академика А.В.Гадолина которому принадлежит теория расчета составных труб и теория расчета артерилийских стволов.

   При расчете толстостенных  труб под внутренним и внешним  давлением предполагается, что труба  достаточно длинная и открытая. Для закрытых труб полученные  формулы справедливы для сечений,  отстоящих на некотором расстоянии  от днищ трубы.

    При расчетах  толстостенных трубы учитывают  радиальные напряжения (в тонкостенных  сосудах ими пренебрегают) и окружные  напряжения. Те и другие являются  функциями только радиусом. Напряжение  в поперечных плоскостях , называемые осевыми напряжениями, возникают, если труба нагружена силами вдоль оси. Они постоянны по величине, как в направлении оси, так и по радиусу трубы. При определенных условиях прочность толстостенной трубы нельзя повысить, увеличивая толщину стенок трубы. А между тем в технике высоких давлений встречаются давления, при которых известные материалы не обеспечивают конструкцию надлежащей прочностью. В этом случае применяются составные трубы из двух слоев и более.

    Составные трубы  дают возможность уменьшить напряжения  в опасных точках на внутренней

Поверхности трубы с помощью  другой трубы, у которой внутренний диаметр меньше внешнего диаметра первой трубы. Посадка труб прессовая или  горячая. При горячей посадке  труба большего диаметра нагревается  до такой температуры, чтобы можно  было свободно надеть ее на трубу меньшего диаметра. После охлаждения труба меньшего диаметра сжимается, а наружная труба в радиальном направлении растягивается.

    Вопросы для самопроверки

    Какая оболочка  называется тонкостенной? Напишите  выражение Лапласа для определения  напряжений в тонкостенных осесиммеричных  симметрично нагруженных оболочках. В каком меридиональном или окружном направлении сварной (заклепочный) шов цилиндрического тонкостенного сосуда должен быть более прочным? Какой сосуд называется толстостенным, составным? Какое напряжение в толстостенной трубе будет растягивающим, а какое – сжимающим? Какой вид напряженного состояния возникает в опасных точках толстостенной трубы, открытой и закрытой с торцов?

 

Тема 11. Сложное сопротивление. Косой изгиб

 

 

        Вид деформации является сложным, когда в поперечном сечении стержня возникают два и более силовых факторов. Сложный вид деформации можно рассматривать как сумму простых видов, изученных ранее (растяжение, изгиб, кручение), если применим принцип независимости действия сил (частный случай принципа суперпозиции или наложения, применяемый в механике деформируемого твердого тела).    

Напомним формулировку принципа независимости действия сил: напряжение (деформация) от группы сил равно сумме напряжений (деформаций) от каждой силы в отдельности. Он справедлив, если функция и аргумент связаны линейной зависимостью. В задачах механики материалов и конструкций становится неприменимым, если:

• напряжения в какой-либо части конструкции от одной из сил или группы сил превышают предел пропорциональности ;
• деформации или перемещения становятся настолько большими, что нарушается линейная зависимость между ними и нагрузкой.

 

   Например, дифференциальное уравнение  изгиба стержня является нелинейным и вытекающая из него зависимость  прогиба f от нагрузки Р для консольной балки, изображенной на рис. 1, а, также является нелинейной (рис. 1, б). Однако, если прогибы балки невелики (f<<l) настолько, что (dv/dz)²<<1 (так как dv/dz ~ f/l), то дифференциальное уравнение изгиба становится линейным (как видно из рис. 1, б, начальный участок зависимости Р от f, описываемый этим уравнением, также является линейным).

 

 
 
а) расчетная схема б) линейное и  нелинейное сопротивления 
Рис.1. Модели изгиба балки: 

 

 

   Известно, что косой изгиб имеет  место, когда силы, его вызывающие, не лежат в одной из главных  плоскостей инерции. Однако, если разложить  внешние силы по главным осям инерции Ох и Оу, то получим две системы сил P_1x, P_2x, …, P_nx и P_1y, P_2y,..., P_ny, каждая из.которых вызывает прямой изгиб с изгибающими моментами соответственно M_y и М_x (рис. 2). Применяя принцип независимости действия сил, нормальные напряжения (рис. 3) определим как алгебраическую сумму напряжений от M_x и М_y:

   

Чтобы не связывать себя формальными правилами знаков, слагаемые  будем определять по модулю, а знаки  ставить по смыслу. Прогибы балки  определим как геометрическую сумму  прогибов от прямых изгибов (рис. 2)

.   

Таким образом, расчет на косой  изгиб с применением принципа независимости действия сил сводится к расчету на два прямых изгиба с последующим алгебраическим суммированием  напряжений и геометрическим суммированием  прогибов.

 
 
Рис.2. Расчетная модель косого изгиба бруса 

 

 
 
Рис.3. Связь нормального напряжения с внутренними изгибающими моментами 

 

 

   В случае поперечных сечений, имеющих  две оси симметрии и выступающие  угловые точки (рис. 4) с равными  по модулю и максимальными одноименными координатами и напряжения в этих точках будут равны

   

Слагаемые в этом выражении  рекомендуется определять по модулю, а знаки ставить по смыслу. Например, на рис. 5 верхний ряд знаков «+»  и «—» соответствует напряжениям от М_x, а нижний ряд — от M_y, и напряжения в этих точках будут равны

 
 
Рис.4. Симметричные варианты сечений 

 

 
 
Рис.5. Расстановка знаков от действия моментов 

 

Условие прочности для  балок из пластичного материала  с указанным типом сечений  запишется в виде

 

 

 

   В остальных случаях для определения max а (или max dp и max для хрупкого материала) необходимо по общей формуле проверить напряжения во всех подозрительных точках.   

Есть и другой путь: положив  , получим уравнение нейтральной линии. Так как напряжения в точках поперечного сечения будут пропорциональными расстояниям от нейтральной линии, то max будут возникать в наиболее удаленных от нее точках.

Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия. (Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил)   

На практике очень часто  встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и  поперечных сил, или только одними продольными  силами.   

Первый случай изображен  на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.

 
 
Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия. 

 

 

   Предположим, что прогибами балки  по сравнению с размерами поперечного  сечения можно пренебречь; тогда  с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и  после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.   

Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого  поперечного сечения балки как  алгебраическую сумму напряжений, вызванных  силами Р и нагрузкой q.   

Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений:

нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости  в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой

Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно

   

На Рис.2 изображены эпюры  распределения напряжений в рассматриваемом  сечении от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра.   

Наибольшее напряжение в  этом сечении будет в верхних  волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или растяжение в зависимости от числовых величин  напряжений и . Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.

 
 
Рис.2. Сложение напряжений сжатия и изгиба 

 

 

   Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них

Таким образом, напряжения в  крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения  балки выражаются формулой

,

и расчетное напряжение будет  равно

Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки.

Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности:

(27.1)

Описанный ход расчета  применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к  оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую. 

 

Внецентренное сжатие или растяжение.   

Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так  называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид деформации получается при действии на стержень двух равных и прямопротивоположных сил Р, направленных по прямой АА, параллельной оси стержня (Рис.3 а). Расстояние точки А от центра тяжести сечения ОА=е называется эксцентриситетом.

Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее практическое значение.   

Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и проверка прочности. Для решения этой задачи приложим в точках О по две равные и противоположные силы Р (Рис.3 б). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не изменит напряжений в его сечениях.

 
 
Рис.3. а) расчетная схема б) преобразование нагрузок в)приведенная расчетная схема г) механизм исследования напряжений 

 

 

   Силы Р, зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р, зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб моментами . Расчетная схема стержня показана на Рис.3 в. Так как плоскость действия изгибающих пар ОА может не совпадать ни с одной из главных плоскостей инерции стержня, то в общем случае имеет место комбинация продольного сжатия и чистого косого изгиба.   

Так как при осевом сжатии и чистом изгибе напряжения во всех сечениях одинаковы, то проверку прочности  можно произвести для любого сечения, хотя бы С—С (Рис.3 б, в).   

Отбросим верхнюю часть  стержня и оставим нижнюю (Рис.3 г). Пусть оси Оу и Oz будут главными осями инерции сечения.

Координаты точки А, — точки пересечения линии действия сил Р с плоскостью сечения, — пусть будут и . Условимся выбирать положительные направления осей Оу и Oz таким образом, чтобы точка А оказалась в первом квадранте. Тогда и будут положительны.   

Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном  сечении, найдем нормальное напряжение в любой точке В с координатами z и у. Напряжения в сечении С — С будут складываться из напряжений осевого сжатия силой Р и напряжений от чистого косого изгиба парами с моментом Ре, где . Сжимающие напряжения от осевых сил Р в любой точке равны , где — площадь поперечного сечения стержня; что касается косого изгиба, то заменим его действием изгибающих моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости х Оу вокруг нейтральной оси Oz будет вызываться моментом и даст в точке В нормальное сжимающее напряжение

Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости х Oz, вызванное моментом , будет сжимающим и выразится формулой .

Суммируя напряжения от осевого  сжатия и двух плоских изгибов  и считая сжимающие напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В:

(1)

 

   Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения стержня, стоит только вместо у и z подставить координаты точки относительно главных осей с их знаками.