Тезисы лекционных занятий

   

Для компонент тензора  напряжений общепринятым является следующее  правило знаков: компонента считается  положительной, если на площадке с положительной  внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 6

 

Тема 5. Геометрические характеристики плоских сечений

 

    Прочностные и  деформационные возможности балок  (брусьев, преимущественно работающих  на изгиб), поперечные сечения,  которых не являются правильными  фигурами, существенно зависят от  ориентации (в отношении поперечных  сечений) внешних сил, прикладываемых  к балкам.

Поэтому изучению раздела  « Изгиб» обычно предшествует  ознакомление с некоторыми геометрическими характеристиками сечений.

    Геометрические характеристики плоских сечений:

• статические моменты площади:

 

   (3.1)

где нижний индекс у знака интеграла указывает на то, что интегрирование ведется по всей площади сечения F. Каждый из этих интегралов представляет собой сумму произведений элементарных площадок dF на расстояние до соответствующей оси (x или y). Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси x, а второй - относительно оси y.

 

 

 

 

Ось, относительно которой  статический момент равен нулю, называется центральной. Точка С (x_C , y_C) пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения в системе координат (x, y) и определяется из (3.4):

.  (3.5)

 

• полярный, осевой и центробежный моменты инерции сечения

 

 

   (3.7)

 

Hайдем зависимость между полярным и осевыми моментами инерции для круга. Из геометрии видно, что

r² = x² + y²,

следовательно,

.

 

• при параллельном переносе осей;

 (3.9)

и, наконец, зависимость между  моментами инерции относительно осей, составляющих между собой некоторый  угол.

  (3.11)

 

    Разместим начало системы координат в центре тяжести поперечного сечения балки, работающей на изгиб, и будем поворачивать балку определенным образом относительно этой системы координат. В этом случае осевые и  центробежный моменты инерции будут получать каждый раз новые значения.

Осевые моменты инерции  достигнут экстремального (максимального  и минимального) значения относительно взаимно перпендикулярных осей тогда  когда центробежный момент станет равный нулю. В этом случае оси, лежащие в плоскости поперечного сечения, получают название главных центральных осей инерции, а осевые моменты инерции относительно этих осей – главных центральных моментов инерции. Определение положения главных центральных осей и значений главных центральных моментов инерции

    Главные центральные  моменты инерции определяются  в такой последовательности:

1. Выбирают применительно к поперечному сечению балки систему координат.
2. Относительно этой системы координат определяют положения центра тяжести сечения.
3. Проводят через центр тяжести сечения центральные оси параллельно исходным.
4. Используя формулы переноса, находят значения осевых и центробежного моментов инерции относительно параллельных осей.
5. Определение положения  главных центральных осей инерции

 

находят угол , на который необходимо повернуть центральные оси, чтобы они стали главными центральными, и направление их поворота.

6. Используя формулы поворота, определяют величину главных центральных моментов инерции.

Вопросы для самопроверки

    Что такое осевой, центробежный и полярный моменты  инерции? Какая существует связь  между осевыми и полярным моментами инерции? Основное свойство статического момента площади. Формула параллельного переноса осей. Относительно, какой оси осевой момент инерции сечения достигает наименьшего значения? Какие оси называются главными, а какие – центральными? Укажите основное свойство всех моментов. Как изменяются значения моментов инерции правильных фигур (например, квадрат, круг и т.д.) относительно взаимно перпендикулярных центральных осей при повороте на произвольный угол?

 

Тема 6. Кручение

     Здесь под кручением понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникает только крутящий момент. Прочие силовые факторы, т.е. N_z , Q_x , Q_y , M_x , M_y   равны нулю.

Для крутящего момента, независимо от формы поперечного сечения бруса, принято следующее правило знаков. Если наблюдатель смотрит на поперечное сечение со стороны внешней нормали и видит момент M_z  направленным по часовой стрелке, то момент считается положительным. При противоположном направлении моменту приписывается отрицательный знак.

При расчете бруса на кручение (вала) требуется решить две основные задачи. Во-первых, необходимо определить напряжения, возникающие в брусе, и, во-вторых, надо найти угловые перемещения сечений бруса в зависимости от величин внешних моментов.

Наиболее просто можно  получить решение для вала с круглым поперечным сечением (рис. 3.1 а). Механизм деформирования бруса с круглым поперечным сечением можно представить в виде. Предполагая, что каждое поперечное сечение бруса в результате действия внешних моментов поворачивается в своей плоскости на некоторый угол как жесткое целое. Данное предположение, заложенное в основу теории кручения, носит название гипотезы плоских сечений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3.1

Для построения эпюры крутящих моментов M_z  применим традиционный метод сечений  В теме дается определение деформации кручения бруса с прямой осью при нагружении внешними (скручивающими) парами в сечениях, перпендикулярных его оси.

    Основное внимание уделяется установлению зависимости между касательным напряжением, крутящим моментом, полярным моментом инерции сечения и расстоянием площадки, в которой определяется напряжение, до центра тяжести для сечений круглого, круглого кольцевого, тонкостенного замкнутого. При этом в основу вывода указанной зависимости положена гипотеза плоских сечений: поперечные сечения, плоские и нормальные к оси бруса до деформации, остаются плоскими и нормальными к оси после деформации; радиусы в поперечном сечении прямолинейны до деформации, остаются прямолинейными после деформации.

    Рассматривается  также кручение брусьев прямоугольного  поперечного сечения и тонкостенного  разомкнутого сечения. При этом  гипотеза Бернулли здесь непригодна: сечения, плоские и нормальные  к оси бруса до деформации, после – де -планируют (искривляются) и картина распределения касательных напряжений существенно изменяется.

    Расчет брусьев  на прочность выполняются по  формуле:

,

Где - крутящий момент; 

- момент сопротивления кручению;

- допускаемое напряжение при  сдвиге, равное примерно  ≈ 0,6 .

    Брусья, работающий на кручение, рассчитывают также на жесткость. Для этого вводятся понятия угла поворота сечения (угла закручивания) , относительно угла . Здесь – длина участка бруса.

     При этом определяется из выражения

,

Где С = G – жесткость сечения бруса при кручении;

  полярный момент инерции круглого поперечного сечения бруса.

Устанавливается связь между  модулем продольной деформации Е, модулем  сдвига G и коэффициентом Пуассона µ:

 

    Считается, что  жесткость бруса обеспечена, если  , где допускаемый угол закручивания обычно задается.

    В теме рассматривается  расчет винтовых пружин с малым  шагом на прочность, определения  осадка пружины.

    Вопросы для самопроверки

Что такое чистый сдвиг, закон  парности касательных напряжений? Напишите закон Гука при сдвиге. Что называется крутящим моментом? Как он определяется, его размерность? Как найти касательное  напряжение произвольной точки бруса  круглого поперечного сечения? Покажите закономерность распределения касательного напряжения в брусе круглого поперечного  сечения и по контуру бруса  прямоугольного поперечного сечения. Какой брус называется тонкостенный? Что такое полярный момент инерции  сечения, момент сопротивления сечения? Чему они равны для простых  форм и их размерность? Как определяется угол закручивания бруса? Напишите условия  проектировочного и проверочного расчетов брусьев при кручении. Когда пружина  называется пружиной с малым шагом? Что называется осадкой пружины? Как проводят расчет пружин на прочность  и жесткость? В какой точке  поперечного сечения стержня, из которого изготовлена пружина, возникает  наибольшее напряжение?

 

 

                                                                  Тема 7. Изгиб

7.1. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса

Под изгибом понимается такой  вид нагружения, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты M_x или M_y . Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым (рис. 7.1, а).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.1

В тех случаях, когда в  поперечных сечениях бруса наряду с  изгибающим моментом возникают и поперечные силы изгиб называется поперечным. Брус, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. В дальнейшем будем рассматривать такие случаи изгиба балки, при которых, во-первых, поперечное сечение балки имеет хотя бы одну ось симметрии, и, во-вторых, вся нагрузка лежит в плоскости, совпадающей с осью симметрии балки. Таким образом, одна из главных осей инерции лежит в плоскости изгиба, а другая перпендикулярна ей.

Для того, чтобы правильно  ориентироваться в вопросах, связанных с расчетом бруса на изгиб, необходимо прежде всего научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил.

Предварительно рассмотрим три основных типа опорных связей балки с основанием:

1. Шарнирно-подвижная опора (рис. 7,1, б - левая опора балки), ограничивающая лишь вертикальное перемещение опорного узла.

2. Шарнирно-неподвижная опора (рис. 7.1, б - правая опора балки), ограничивающая вертикальное и горизонтальное перемещения опоры.

3. Жесткая заделка (рис. 7.1, а - опора балки на левом краю), не допускающая поворота и перемещений по вертикали и горизонтали сечения балки, примыкающего к опоре.

По запрещенным направлениям во всех этих типах опор возникают соответствующие реакции.

Рассмотрим характерный  пример (рис. 7.2, а) и установим необходимые правила. Решение задачи, как правило, начинается с определения полной системы внешних сил. Для этого отбросим опоры и заменим их соответствующими реакциями (рис. 7.2, б), выполняющими ту же роль, что и опорные закрепления.  

     Заданная система статически определима, следовательно, из условий равновесия системы, т.е. равенства нулю суммы моментов всех сил относительно шарнирных опор (в шарнирах нет ограничений поворота сечений балки, поэтому изгибающих моментов не возникает) Sm (A) = 0 и Sm (В) = 0, определяем вертикальные реакции в опорах:

.    (5.1)

Для определения Н_А имеем: откуда Н_А =0. Для проверки правильности вычислений воспользуемся условием равенства нулю суммы всех вертикальных сил Sy = 0, откуда получим

,     0 = 0.

     Для определения внутренних силовых факторов - изгибающего момента М (z) и поперечной силы Q (z) как функций от продольной координаты z, воспользуемся методом сечений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7.2              

Для получения этих зависимостей балку разбивают на участки, границами которых являются следующие точки: начало и конец балки; точки приложения сосредоточенных усилий; начало и конец действия распределенных усилий; сечения, в которых скачкообразно изменяется жесткость балки; в точках, где происходит изменение ориентации элементов, если имеем дело с стержневой системой со сложной структурой.