Парная регрессия и корреляция

Парная регрессия  и корреляция

Контрольные вопросы

• Сформулируйте задачи, решаемые эконометрикой.

Эконометрика - наука,в которой на базе реальных статистичеких данных строятся,анализируются и совершенствуются модели реальных экономических явлений.

Задачи эконометрики можно  классифицировать по 3 признакам:

1. по конечным прикладным  целям

2. по уровню иерархии

3. по профилю анализируемой  экономической системы.

 

1. Прогноз экономических  и социальных показателей,характеризующих состояние и развитие системы. Имитация возможных сценариев социально-экономического развития системы для выявления того,как это скажется на выходных характеристиках.

2.

• макроуровень (страна в целом)
• мезоуровень (отрасль,регион,корпорация)
• микроуровень (предприятие)

3. Задачи,направленные на решение проблем:

• рынка
• инвестиционной финансовой деятельности
• ценообразования (большая доля государственного регулирования)
• распределительных отношений
• спроса и потребления

 

• Дайте определение парной регрессии.

Парная регрессия –  это уравнение связи двух переменных у и х:  y=f(х),

где - независимая переменная, объясняющая, входная, предсказывающая,       экзогенная, фактор, регрессор, факторный признак.

 - зависимая переменная, функция отклика, объясняемая, выходная, результирующая, эндогенная переменная, результативный признак

 

Что такое  линия регрессии?

Вычисляемая с помощью  метода наименьших квадратов  прямая линия называется линией регрессии . Она характеризуется тем, что сумма квадратов расстояний от точек на диаграмме до этой линии минимальна (по сравнению со всеми возможными линиями). Линия регрессии дает наилучшее приближенное описание линейной зависимости между двумя переменными.

 

• Поясните экономическую сущность параметров уравнения парной регрессии.

В общем случае коэффициент  регрессии показывает, как в среднем изменится результативный признак y, если факторный признак x увеличится на единицу . Коэффициент a может не иметь экономического содержания, интерпретировать можно только знак, он показывает направления связи. Параметр а = у, когда х = 0. Если х не может быть равен 0, то а не имеет экономического смысла. Интерпретировать можно только знак при а: если а > 0. то относительное изменение результата происходит медленнее, чем изменение фактора, т. е. вариация результата меньше вариации фактора: V < V. и наоборот.

 

• Как производится оценка параметров уравнения парной регрессии.

Построение линейной регрессии  сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан  на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие  оценки параметров a и b, при которых  сумма квадратов отклонений фактических  значений результативного признака y от теоретических минимальна.

 

• Что является показателем тесноты связи в парной линейной регрессии?

Тесноту связи изучаемых  явлений оценивает линейный коэффициент

парной корреляции r_xy для линейной регрессии.

 

 

• В каких пределах находится значение коэффициента корреляции?

Коэффициент корреляции принимает  значения в интервале от -1 до +1. Теснота  линейной связи между переменными  может быть оценена на основании  шкалы Чеддока:

 

 

 

Положительное значение коэффициента корреляции говорит о положительной связи между х и у, когда с ростом одной из переменных другая тоже растет. Отрицательное значение коэффициента корреляции означает, с ростом одной из переменных другая убывает, с убыванием одной из переменной другая растет.

 

• Для чего рассчитывают коэффициент детерминации и что он характеризует?

Оценку качества построенной  модели дает коэффициент (индекс) детерминации R².

Для оценки качества подбора  линейной функции рассчитывается квадрат  линейного коэффициента корреляции, называемый коэффициентом детерминации. Коэффициент детерминации показывает, сколько процентов приходится на долю учтенных в модели факторов:

Соответственно величина  1-R² характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов. Коэффициентом детерминации, или долей объясненной дисперсии называется: 

.

В силу определения  .

 

 

Что такое  число степеней свободы и как  оно определяется для факторной  и остаточной суммы квадратов?

 

Любая сумма квадратов  отклонений связана с числом степеней свободы, т.е. с числом свободы независимого варьирования признака. Значит число  степеней свободы связано с числом единиц совокупности и с числом определяемых по ней констант. Применительно к исследуемой проблеме число степеней свободы должно показывать, сколько независимых отклонений из возможных требуется для образования данной суммы квадратов. Так для общей суммы квадратов требуется независимое отклонение, ибо по совокупности из единиц после расчета среднего уровня , свободно варьируют лишь числом отклонений. Число степеней свободы в левой и правой частях соотношения (*) должно совпадать, то число степеней свободы второго слагаемого должно быть равно (n - 2).

То есть   .

При расчете факторной  суммы квадратов - 1 степень свободы, и при расчете остаточной суммы  квадратов - (n-2) степени свободы.

 

• Какова концепция F-критерия Фишера?

 

Разделив каждую сумму  квадратов на соответствующее ей число степеней свободы, получим средний квадрат отклонений, или, что тоже самое, дисперсию на одну степень свободы D

.

Это приводит дисперсии к  сравнимому виду. Сопоставляя факторную  и остаточные дисперсии в расчете  на одну степень свободы, получим  величину F - отношения (F- критерия):

, где F- критерий для проверки нулевой гипотезы :  .

Если нулевая гипотеза справедлива, то и не отличаются друг от друга. Для необходимо опровержение, то есть, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную в несколько раз.

- это максимальная величина  отношения дисперсий, которая  может иметь место при случайном  их расхождении для данного  уровня вероятности.

F-критерий - это оценивание качества уравнения регрессии, которое состоит в проверке гипотезы о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого производится сравнение фактического и значений F критерия Фишера-Снедекора. определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы

.

- это максимально возможное  значение критерия под влиянием  случайных факторов при данных  степенях свободы и уровне  значимости  . Уровень значимости - это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно .

Если  < , то - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается их статистическая значимость и надежность.

Если  > , то - гипотеза не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

 

• В чем смысл средней ошибки аппроксимации и как она определяется?

Cредняя ошибка аппроксимации дает оценку качества построенной модели. Средняя ошибка аппроксимации - среднее отклонение расчетных значений от фактических в процентах:

.

Предел значений считаем допустимым при построении модели.

 

• Как оценивается значимость параметров уравнения регрессии?

Оценку статистической значимости коэффициента корреляции проводят с помощью t-критерия Стьюдента. Выдвигают гипотезу Н0 о статистически незначимом отличии коэффициента от нуля. Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при n-2 степенях свободы применяется для проверки значимости коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала. Для оценки значимости коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t-критерия Стьюдента:

, причем 

,причем  ,т.е .

 

которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости a и числе степеней свободы n-2. Если tфакт>tтабл, то делается вывод о значимости параметра.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

От чего зависит  точность предсказания значения зависимой  переменной на основе уравнения парной регрессии?

 

 

• Запишите все виды моделей, нелинейных относительно включаемых переменных и оцениваемых параметров.

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Различают два класса нелинейных регрессий:

1. Нелинейные по объясняющим параметрам:

 Полиномы различных степеней

                                Равносторонняя гипербола                                                         

 

 Полулогарифмическая  функция  

 

2. Регрессии, нелинейные по оцениваемым параметрам: 

                            Степенная:

                            Показательная: 

                            Экспоненциальная: 

                            Логарифмическая: 

                            Полулогарифмическая: 

                                                                     

                            Обратная:                   

• Как осуществляется линеаризация модели?

 

Для нахождения параметров регрессии необходимо провести

ее линеаризацию:Y=A+bX

Регрессии нелинейные по включенным переменным приводятся к линейному виду простой заменой переменных, а дальнейшая оценка параметров производится с помощью метода наименьших квадратов.

Несколько иначе обстоит  дело с регрессиями нелинейными по оцениваемым параметрам, которые делятся на два типа: нелинейные модели внутренне линейные (приводятся к линейному виду с помощью соответствующих преобразований, например, логарифмированием) и нелинейные модели внутренне нелинейные (к линейному виду не

приводятся).

 

 

• Назовите показатели корреляции, используемые при нелинейных соотношениях рассматриваемых признаков.

Уравнение нелинейной регрессии, так же как и в линейной зависимости, дополняется показателем корреляции, а именно индексом корреляции (R):

 где

 

 Так как

то индекс корреляции можно  выразить как

Величина данного показателя находится в границах чем ближе к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно найденное уравнение регрессии.

 

 

• Как определяются коэффициенты эластичности по разным видам регрессионных моделей?

 

Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько %  в среднем по совокупности изменится результат от своей средней величины при изменении фактора на 1% от своего среднего значения

- характеризует соотношение  прироста результата и фактора  для соответствующей формы связи.

Т.к., коэффициент Э не всегда const, то используем среднее значение - .

В таблице представлены формулы  эластичности для наиболее употребительных  функций.

y