Парная регрессия и корреляция

 

14. Что такое автокорреляция уровней  временного ряда и как её  можно оценить количественно?

 

При наличии во временном  ряде тенденции и циклических  колебаний значения каждого последующего уровня зависят от предыдущих. Корреляционную зависимость между последовательными уровнями временного ряда называют автокорреляцией уровней ряда.

Количественно ее можно измерить с помощью линейного коэффициента корреляции между уровнями исходного временного ряда и уровнями этого ряда, сдвинутыми на несколько шагов во времени. Коэффициент корреляции имеет вид:

В качестве переменой x рассмотрим ряд   в качестве переменной y – ряд   Тогда коэффициент автокорреляции первого порядка:

 где 

Коэффициент автокорреляции первого порядка измеряет зависимость  между соседними уровнями рядаt и t-1, т.е. при лаге 1.

Аналогично можно определить коэффициенты  автокорреляции второго и более высоких порядков. Так, коэффициент автокорреляции второго порядка характеризует тесноту связи между уровнями уt и yt-2  и определяется по формуле:

 где   

 

Число периодов, по которым  рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом. С увеличением лага число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, уменьшается.  Некоторые авторы считают целесообразным для обеспечения статистической достоверности коэффициентов корреляции использовать правило – максимальный лаг должен быть не больше (n/4).

Отметим два важных свойства коэффициента автокорреляции.

Во-первых, он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной (или близкой к линейной) связи текущего и предыдущего уровней ряда.  Для некоторых временных рядов, имеющих сильную нелинейную тенденцию (например, параболу второго порядка или экспоненту), коэффициент автокорреляции уровней исходного ряда может приближаться к нулю.

Во-вторых, по знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. 

Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого, второго и т. д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

 

15.  Дайте определение автокорреляционной функции временного ряда.

 

Последовательность r₁, r₂, … – называется автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага называется коррелограммой.

Анализ автокорреляционной функции позволяет определить лаг, при котором автокорреляция наиболее высокая, а, следовательно, и лаг, при  котором связь между текущим и предыдущими уровнями наиболее тесная, т.е. при помощи анализа можно выявить структуру ряда.

Если наиболее высоким  оказался r₁, то исследуемый ряд содержит только тенденцию, если наиболее высоким является r_t, то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в t моментов времени.

Если ни один из коэффициентов  не является преобладающим, то можно  предположить:

1. либо ряд не содержит трендовой компоненты и циклических колебаний
2. либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужен дополнительный анализ.

 

16. Выпишите общий вид мультипликативной и аддитивной модели временного ряда.

 

Модели, которые построены  по данным, характеризующим один объект за ряд определенных последовательных периодов, называется моделями временных  рядов.

Временной ряд- совокупность значений определенного показателя за несколько последовательных периодов времени.

Каждый уровень временного ряда может формироваться из трендов (Т), циклической или сезонной компоненты (S), а также случайной (Е) компоненты.

Модели, где временной  ряд представлен в виде суммы перечисленных компонентов называются аддитивными, если в виде произведения - мультипликативными моделями.

Аддитивная модель – Y=T+S+E

Мультипликативная модель –  Y=T*S*E

 

 

17. Перечислите этапы построения мультипликативной и аддитивной моделей временного ряда.

 

Построение аддитивной и  мультипликативной моделей сводится к расчету значений  ,   и   для каждого уровня ряда. 
 
Процесс построения модели включает в себя следующие шаги. 

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты  .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( ) в аддитивной или ( ) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней ( ) или ( ) и расчет значений   с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений ( ) или ( ).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок   для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

 

18. С какими целями проводятся  выявление и устранение сезонного  эффекта?

 

Выявление и устранение сезонного  эффекта используются в двух направлениях. 
 
Во-первых, воздействие сезонных колебаний следует устранять на этапе предварительной обработки исходных данных при изучении взаимосвязи нескольких временных рядов. Поэтому в российских и международных статистических сборниках часто публикуются данные, в которых устранено влияние сезонной компоненты (если это помесячная или квартальная статистика).  
 
Во-вторых, выявление сезонного эффекта производится в анализе структуры одномерных временных рядов с целью прогнозирования уровней ряда в будущие моменты времени.

 

19.  Как структурные изменения влияют на тенденцию временного ряда (Модели временных рядов).

 

От сезонных и циклических  колебаний следует отличать единовременные изменения характера тенденции  временного ряда, вызванные структурными изменениями в экономике или  иными факторами. В этом случае, начиная  с некоторого момента времени t, происходит изменение характера динамики изучаемого показателя, что приводит к изменению  параметров тренда, описывающего эту  динамику.

Момент t сопровождается значительными  изменениями ряда факторов, оказывающих  сильное воздействие на изучаемый  показатель . Чаще всего эти изменения вызваны изменениями в общеэкономической ситуации или событиями глобального характера, приведшими к изменению структуры экономики. Если исследуемый временной ряд включает в себя соответствующий момент времени, то одной из задач его изучения становится выяснение вопроса о том, значительно ли повлияли общие структурные изменения на характер этой тенденции.

Если это влияние значимо, то для моделирования тенденции  данного временного ряда следует  использовать кусочно-линейные модели регрессии, т.е. разделить исходную совокупность на 2 подсовокупности (до момента времени t и после) и строить отдельно по каждой подсовокупности уравнения линейной регрессии.

Если структурные изменения  незначительно повлияли на характер тенденции ряда , то ее можно писать с помощью единого для всей совокупности данных уравнения тренда.

Каждый из описанных выше подходов имеет свои положительные  и отрицательные стороны. При  построении кусочно-линейной модели снижается  остаточная сумма квадратов по сравнению  с единым для всей совокупности уравнением тренда. Но разделение совокупности на части ведет к потере числа  наблюдений, и к снижению числа  степеней свободы в каждом уравнении  кусочно-линейной модели. Построение единого  уравнения тренда позволяет сохранить  число наблюдений исходной совокупности, но остаточная сумма квадратов по этому уравнению будет выше по сравнению с кусочно-линейной моделью. Очевидно, что выбор модели зависит  от соотношения между снижением  остаточной дисперсии и потерей  числа степеней свободы при переходе от единого уравнения регрессии  к кусочно-линейной модели.

 

 

 

 

 

Тест 1

1. Временной ряд  – это совокупность значений  экономического показателя 

1. за несколько непоследовательных  моментов (периодов) времени; 

2. независящих от времени;

3. по однотипным объектам;

4. за несколько последовательных моментов (периодов) времени.

 

2. В общем случае  каждый уровень временного ряда  формируется под воздействием  … 

1. случайных временных  воздействий; 

2. сезонных колебаний  и случайных факторов;

3. тенденции, сезонных колебаний и случайных факторов;

4. тенденции и случайных  факторов.

 

3. Автокорреляционной  функцией временного ряда называется:

1. последовательность приращений  коэффициентов автокорреляции 

уровней различных порядков;

2. последовательность отношений  коэффициентов автокорреляции к

величинам соответствующих  лагов;

3. зависимость коэффициентов  автокорреляции первого порядка  от

числа уровней временного ряда;

4. последовательность значений коэффициентов автокорреляции

различных порядков.

 

4. Известны значения  мультипликативной модели временного  ряда: Y=15 – значение

уровня ряда, T=5 – значение тренда, S=3 – значение сезонной компоненты.

Определите значение компоненты (случайной компоненты).

1. E= –1; 2. E=3; 3. E=1; 4. E=0.

 

5. Мультипликативная  модель содержит исследуемые  факторы … 

1. в виде их отношений; 

2. в виде слагаемых; 

3. в виде сомножителей;

4. в виде комбинации  слагаемых и сомножителей.

 

6. Уровень временного  ряда может формироваться под  воздействием тенденции, 

сезонных колебаний  и … 

1. динамической составляющей; 2. тренда;

3. циклических колебаний; 4. случайных воздействий.

 

7. Если наиболее высоким оказался  коэффициент автокорреляции первого  порядка, то исследуемый ряд  содержит только:

1. тенденцию;

2. циклические колебания  с периодичностью в один момент  времени; 

3. сильную нелинейную  тенденцию; 

4. случайную компоненту.

 

8. Коррелограммой называется:

1. графическое отображение автокорреляционной  функции;

2. аналитическое выражение  для автокорреляционной функции; 

3. графическое отображение  регрессионной функции; 

4. процесс экспериментального  нахождения значений автокорреляционной  функции. 

 

9. Известны значения аддитивной  модели временного ряда: Y=30 – значение уровня ряда, Т=15 – значение тренда, E=2 – значение случайной компоненты. Определите значение сезонной компоненты.

1. 0;

2. 13;

3. 1;

4. –1.

 

10. Временной ряд характеризует  … 

1. совокупность последовательных  моментов (периодов) времени; 

2. данные, описывающие один объект за ряд последовательных моментов (периодов) времени;

3. зависимость последовательных  моментов (периодов) времени; 

4. данные, описывающие совокупность  различных объектов в определённый  момент (период) времени. 

 

11. Основной задачей моделирования  временных рядов является … 

1. исключение уровней  из совокупности значений временного  ряда;

2. выявление и придание количественного  значения каждой из трёх компонент;

3. исключение значений  каждой из трёх компонент из  уровней ряда;

4. добавление новых уравнений  к совокупности значений временного  ряда.

 

12. Значения коэффициента автокорреляции  второго порядка характеризует  связь между:

1. исходными уровнями  и уровнем второго временного  ряда;

2. исходными уровнями  и уровнями другого ряда, сдвинутыми  на 2 момента назад; 

3. двумя временными рядами;

4. исходными уровнями и уровнями этого же ряда, сдвинутыми на 2 момента времени.

13. Если наиболее  высоким оказался коэффициент  автокорреляции третьего 

порядка, то исследуемый  ряд содержит … 

1. сезонные колебания с периодичностью в три момента времени;

2. линейный тренд, проявляющийся  в каждом третьем уровне ряда;

3. случайную  величину, влияющую на каждый  третий уровень ряда;

4. нелинейную тенденцию  полинома третьего порядка. 

 

14. Если факторы  входят в модель как сумма,  то модель называется:

1. суммарной; 

2. мультипликативной; 

3. аддитивной;

4. производной. 

 

15. Если факторы  входят в модель как произведение, то модель называется:

1. суммарной; 

2. мультипликативной;

3. аддитивной;

4. производной. 

 

16. Под лагом  подразумевается число … 

1. периодов, по  которым рассчитывается коэффициент 

автокорреляции;

2. уровней исходного временного  ряда;

3. пар значений, по которым  рассчитывается коэффициент 

автокорреляции;

4. уровней ряда, сдвинутых  при расчёте коэффициента 

автокорреляции.

 

17. Уровнем временного  ряда является … 

1. значение временного ряда в конкретный момент (период)

времени;

2. среднее значение временного  ряда;

3. совокупность значений  временного ряда;

4. значение конкретного  момента (периода) времени. 

 

18. Параметры уравнения  тренда определяются ________методом  наименьших

квадратов

1. обычным;

2. двух шаговым;

3. обобщённым;

4. косвенным. 

 

19. Аддитивная  модель временного ряда имеет  вид:

1. Y = T * S *E;

2. Y = T + S+*E;

3. Y = T * S +E.

20. Мультипликативная  модель временного ряда имеет  вид:

1. Y = T * S *E;

2. Y = T + S+*E;

3. Y = T * S +E.

21. Коэффициент  автокорреляции:

1.  характеризует   тесноту  линейной  связи   текущего  и  предыдущего

уровней ряда;

2. характеризует  тесноту   нелинейной  связи  текущего  и

предыдущего уровней ряда;

3. характеризует наличие  тенденции;

4. характеризует отсутствие  тенденции.