Парная регрессия и корреляция

Экстраполяцию можно представить  формулой  , где  - прогнозируемый уровень,   - текущий уровень прогнозируемого ряда, Т – период укрупнения,   - параметр уравнения тренда.

Выделяют следующие методы экстраполяции:

- среднего абсолютного прироста - может быть выполнено в том случае, если есть уверенность считать общую тенденцию линейной, то есть метод основан на предположении о равномерном изменении уровня (под равномерностью понимается стабильность абсолютных приростов).,

- среднего темпа роста,

- экстраполяцию на основе выравнивания рядов по какой-либо аналитической формуле - аналитическое выражение тренда. При этом для выхода за границы исследуемого периода достаточно продолжить значения независимой переменной времени (t). Предполагается, что размер уровня, характеризующего явление, формируется под воздействием множества факторов, причем не представляется возможным выделить отдельно их влияние. В связи с этим ход развития связывается не с какими-либо конкретными факторами, а с течением времени, то есть y = f(t).

Экстраполяция дает возможность  получить точечное значение прогноза. Точное совпадение фактических данных и прогностических точечных оценок, полученных путем экстраполяции  кривых, характеризующих тенденцию, имеет малую вероятность. Возникновение  таких отклонений объясняется следующими причинами:

1)   Выбранная для прогнозирования кривая не является единственно возможной для описания тенденции. Можно подобрать такую кривую, которая дает более точные результаты.

2)   Построение прогноза осуществляется на основании ограниченного числа исходных данных. Каждый исходный уровень обладает случайной компонентой и кривая, по которой осуществляется экстраполяция, будет содержать случайную компоненту.

3)   Тенденция характеризует движение среднего уровня ряда динамики, поэтому отдельные наблюдения от него отклоняются. Если такие отклонения наблюдались в прошлом, то они будут наблюдаться и в будущем.

При анализе рядов динамики иногда приходится прибегать к определению  некоторых неизвестных уровней  внутри данного ряда динамики, то есть к интерполяции.

При интерполяции считается, что ни выявленная тенденция, ни ее характер не претерпели существенных изменений в том промежутке времени, уровень (уровни) которого нам не известен.

Основная тенденция развития (тренд) - плавное и устойчивое изменение  уровня явления или процесса во времени, свободное от случайных колебаний. Для выявления тренда проводят следующие  процедуры:

- обработка ряда методом укрупнения интервалов - укрупнение периодов времени, к которым относятся уровни ряда динамики (одновременно уменьшается количество интервалов);

- обработка ряда методом скользящей средней - исчисляется средний уровень из определенного числа, обычно нечетного (3,5,7…), первых по счету уровней ряда, затем – из такого же числа уровней, но начиная со второго по счету, далее – начиная с третьего и т.д.;

- аналитическое выравнивание ряда динамики позволяет получить количественную модель, выражающую основную тенденцию изменения уровней ряда во времени.

Для построения трендов чаще всего используют следующие функции:

· линейный тренд 

· гиперболу    

· степенную функцию 

· параболу второго порядка 

 

 

 

 

8. Определение оценки параметров моделирования динамических процессов.

 

Модели, связывающие состояния  экономических явлений в последовательные моменты (периоды) времени, принято  называть динамическими. Такие модели позволяют изучать явления в динамике, в развитии. Аналитическое представление динамических моделей включает значения переменных, относящиеся как к текущему, так и к предыдущим моментам (периодам) времени. Эконометрические модели, включающие в качестве факторов значения факторных переменных в предыдущие моменты времени, называются моделями с распределенным лагом.

Моделями этого типа описываются  ситуации, когда влияние причины (независимых факторов) на следствие (зависимую переменную) проявляется  с некоторым запаздыванием.

Оценка параметров модели с распределенным лагом 

• Метод Койка (предполагается, что коэффициенты при лаговых переменных убывают в геометрической прогрессии)
• метод Алмон. (для преодоления сильной корреляции между факторами

xt, xt–1, xt–2, … используется переход к k+1 новым переменным zj с меньшей

корреляционной зависимостью)

 

Эконометрические модели, включающие в качестве факторов значения результативной переменной в предыдущие моменты времени. Эти модели называются моделями авторегрессии.

Моделями такого типа предполагают наличие определенной инерционности  в изменении рассматриваемого явления, когда уровень изучаемого явления  существенно зависит от его уровней, достигнутых в предыдущих периодах.

Отдельную группу динамических моделей составляют модели, учитывающие  ожидаемые уровни переменных, которые  определяются экономическими субъектами на основе информации, которой они  располагают в текущий и предыдущий момент времени.

Оценка параметров этих моделей  сводится к оценке параметров моделей  авторегрессии.

 

9.  Модели сезонных временных рядов

 
Основными составляющими временного ряда являются тренд и сезонная компонента. Составляющие этих рядов могут представлять собой либо тренд, либо сезонную компоненту.  
Тренд является систематической компонентой временного ряда, которая может изменяться во времени. Трендом называют неслучайную функцию, которая формируется под действием общих или долговременных тенденций, влияющих на временной ряд. Примером тенденции может выступать, например, фактор роста исследуемого рынка. 
Автоматического способа обнаружения трендов во временных рядах не существует. Но если временной ряд включает монотонный тренд, анализировать временной ряд в большинстве случаев нетрудно.  
Существует большое разнообразие постановок задач прогнозирования, которое можно подразделить на две группы: прогнозирование односерийных рядов и прогнозирование мультисерийных, или взаимовлияющих, рядов. Группа прогнозирования односерийных рядов включает задачи построения прогноза одной переменной по ретроспективным данным только этой переменной, без учёта влияния других переменных и факторов. Группа прогнозирования мультисерийных, или взаимовлияющих, рядов включает задачи анализа, где необходимо учитывать взаимовлияющие факторы на одну или несколько переменных. 
Кроме деления на классы по односерийности и многосерийности, ряды также бывают сезонными и несезонными. Последнее деление подразумевает наличие или отсутствие у временного ряда такой составляющей как сезонность, т.е. включение сезонной компоненты. 
Сезонная составляющая временного ряда является периодически повторяющейся компонентой временного ряда. Свойство сезонности означает, что через примерно равные промежутки времени форма кривой, которая описывает поведение зависимой переменной, повторяет свои характерные очертания. Свойство сезонности важно при определении количества ретроспективных данных, которые будут использоваться для прогнозирования.

10.  Общая процедура выделения трендовой и сезонной составляющей в аддитивных и мультипликативных моделях 
Большинство регулярных составляющих временных рядов принадлежит к двум классам: они являются либо трендом, либо сезонной составляющей. Тренд представляет собой общую систематическую линейную или нелинейную компоненту, которая может изменяться во времени. Сезонная составляющая - это периодически повторяющаяся компонента. Оба эти вида регулярных компонент часто присутствуют в ряде одновременно.

 

11. Использование скользящего среднего за год и центрирования данных.

 

Выравнивание исходного ряда методом  скользящей средней:

1 шаг.

1. Для этого суммируется, уровни ряда последовательно за каждые 4 квартала со сдвигом на 1 момент времени и определяются условные годовые объемы, уровни и т.д.
2. Разделив полученные суммы на 4, найдем скользящие средние. Полученные т.о. выровненные значения уже не содержат сезонной компоненты.
3. Приведем эти значения в соответствии с фактическими моментами времени, для чего найдем средние значения из двух последовательных скользящих средних – центрированные скользящие средние.

2 шаг.

Оценки сезонной компоненты найдем как разность между фактическими уровнями ряда и центрированными  скользящими средними. Используем эти  оценки для расчета значений сезонной компоненты S. Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S_i. В моделях с сезонной компонентой обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. Например, в аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю.

В мультипликативной модели взаимопогашаемость сезонных воздействий выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. Например, при сезонных колебаниях число периодов одного цикла (год) равно 4 (4 квартала).

В аддитивной модели: где K – корректирующий коэффициент, и тогда å S_i = 0;

В мультипликативной модели: , и тогда

3 шаг. Устранение сезонной  компоненты.

В аддитивной модели вычитаем ее значения из каждого уровня исходного  временного ряда. Получим T+E =Y-S.

В мультипликативной модели разделим каждый уровень исходного  ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. Тем самым получим T×E =Y¸S, которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

4 шаг. Определение компоненты T данной модели.

Для этого проводится аналитическое  выравнивание ряда T+E (T×E) с помощью линейного тренда

Для этого посчитаем a – const, b – коэффициент регрессии, стандартную ошибку коэффициента регрессии R², число наблюдений и число степеней свободы. С помощью них определяем значимость регрессии.

5 шаг. Найдем значения  уровней ряда по T_i – полученным по теоретической (аналитической) формуле и S_i – значениям сезонной компоненты для соответствующих кварталов.

 

 Это абсолютные значения (абсолютные ошибки). По аналогии с моделью регрессии для оценки качества построенной модели или для выбора наилучшей модели можно применять сумму квадратов полученных абсолютных ошибок.

это доля факторной дисперсии уровней ряда объясняет полученное количество процентов от общей вариации уровней временного ряда.

 

 

Наиболее статистически  верным способом построения сред­него  скользящего является центрирование. Центрированием называют такой вид построения, когда среднее скользящее устанавливают в центр временного периода, который оно охватывает. Однако центрирование как способ построения сред­него скользящего имеет один крупный недостаток - сигнал, знаменующий смену тенденции, значительно запаздывает. Поэтому среднее скользящее обычно откладывается в конце периода, а не в середине. Метод центрирования используется почти исключительно аналитиками, занимающимися циклическим анализом, так как центрирование помогает выделять рыночные циклы.

 

12. Расчёт средних значений сезонной компоненты в аддитивной модели. Коррекция сезонной компоненты.

 

Многие временные ряды имеют сезонные компоненты. Например, продажи игрушек имеют пики в  ноябре, декабре и, возможно, летом, когда дети находятся на отдыхе. Эта периодичность имеет место  каждый год. Однако относительный размер продаж может слегка изменяться из года в год. Таким образом, имеет  смысл независимо экспоненциально  сгладить сезонную компоненту с дополнительным параметром, обычно обозначаемым как (дельта). Сезонные компоненты, по природе своей, могут быть аддитивными или мультипликативными. Например, в течение декабря продажи определенного вида игрушек увеличиваются на 1 миллион долларов каждый год. Для того чтобы учесть сезонное колебание, вы можете добавить в прогноз на каждый декабрь 1 миллион долларов (сверх соответствующего годового среднего). В этом случае сезонность - аддитивная. Альтернативно, пусть в декабре продажи увеличились на 40%, т.е. в 1.4 раза. Тогда, если общие продажи малы, то абсолютное (в долларах) увеличение продаж в декабре тоже относительно мало (процент роста константа). Если в целом продажи большие, то абсолютное (в долларах) увеличение продаж будет пропорционально больше. Снова, в этом случае продажи увеличатся в определенное число раз, и сезонность будет мультипликативной (в данном случае мультипликативная сезонная составляющая была бы равна 1.4). На графике различие между двумя видами сезонности состоит в том, что в аддитивной модели сезонные флуктуации не зависят от значений ряда, тогда как в мультипликативной модели величина сезонных флуктуаций зависит от значений временного ряда.

 

13. Прогнозирование по аддитивной  модели с помощью метода наименьших  квадратов. Расчёт ошибок.

 
Методы прогнозирования. Анализ аддитивной модели 
Современные условия, в которых осуществляется производственно-коммерческая деятельность предприятия, не всегда позволяют рассчитывать на значительные вложения в расширение материально-технической базы. Поэтому на передний план выдвигается задача наиболее эффективного использования имеющихся ресурсов организации через реализацию изложенных принципов планирования (принцип научности, оптимизации, сбалансированности) на основе системного подхода и широкого применения экономико-математических методов. 
Разработка и применение экономико-математических методов и моделей в планировании позволяет повысить научность принимаемых плановых решений, учесть большое количество взаимосвязанных факторов, обеспечить многовариантность плановых расчетов, находить оптимальные варианты планов деятельности хозяйственного субъекта. 
Как правило, каждое предприятие явно или не явно в различных областях своей деятельности использует прогнозы. Так как планировать будущий исход в условиях неопределенности и выбирать путь, оказывающий влияние на будущее - задача, стоящая перед менеджерами компании. И целью любого прогноза является уменьшение того уровня неопределенности, в пределах которого приходится принимать решение. 
Практически все методы прогнозирования основаны на признании факта существования определенной зависимости (функции или константы) происходящих изменений показателей финансово-хозяйственной деятельности от одного отчетного периода к другому. Но в действительности, подобные предположения о том, что условия, породившие полученные данные, неотличимы от условий будущего, не выполняются в полной мере. Поэтому, только сочетая формализованные и неформализованные методы прогнозирования и планирования, можно составлять более точные, своевременные и понятные прогнозы, воспринимаемые как инструмент, используемый для принятия решения. 
На сегодняшний день наука достаточно далеко продвинулась в разработке технологий прогнозирования. Наиболее известными являются методы линейного программирования, линейной регрессии, модель экспоненциального сглаживания и другие. Разработаны соответствующие программы, но в тоже время, чтобы осознать и оценить процесс формирования прогноза самостоятельно, можно использовать методы, реализуя несложные алгоритмы в MS Excel. 
Для прогнозирования объема продаж, темпа инфляции и других показателей макро и микроэкономической конъюнктуры, и при наличии временных рядов обычно используются аддитивные и мультипликативные модели прогнозирования.