Методика использования систем счисления в базовом курсе информатики

Из всех систем счисления особенно проста и поэтому интересна для технической реализации в компьютерах двоичная система счисления.

Почему люди пользуются десятичной системой, а компьютеры — двоичной?

Люди предпочитают десятичную систему, вероятно, потому, что с древних  времен считали по пальцам, а пальцев у людей по десять на руках и ногах. Не всегда и не везде люди пользуются десятичной системой счисления. В Китае, например, долгое время пользовались пятеричной системой счисления.

А компьютеры используют двоичную систему  потому, что она имеет ряд преимуществ  перед другими системами:

• для ее реализации нужны технические устройства с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.), а не, например, с десятью, — как в десятичной;
• представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;
• возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
• двоичная арифметика намного проще десятичной.

Недостаток  двоичной системы — быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел [19].

Почему в компьютерах  используются также восьмеричная и  шестнадцатеричная системы счисления?

Двоичная система, удобная для  компьютеров, для человека неудобна из-за ее громоздкости и непривычной  записи [17].

Перевод чисел из десятичной системы  в двоичную и наоборот выполняет машина. Однако чтобы профессионально использовать компьютер, следует научиться понимать слово машины. Для этого и разработаны восьмеричная и шестнадцатеричная системы. Числа в этих системах читаются почти так же легко, как десятичные, требуют соответственно в три (восьмеричная) и в четыре (шестнадцатеричная) раза меньше разрядов, чем в двоичной системе (ведь числа 8 и 16 — соответственно, третья и четвертая степени числа 2). Перевод восьмеричных и шестнадцатеричных чисел в двоичную систему очень прост: достаточно каждую цифру заменить эквивалентной ей двоичной триадой (тройкой цифр) или тетрадой (четверкой цифр).

Например:

Чтобы перевести число из двоичной системы в восьмеричную или шестнадцатеричную, его нужно разбить влево и вправо от запятой на триады (для восьмеричной) или тетрады (для шестнадцатеричной) и каждую такую группу заменить соответствующей восьмеричной (шестнадцатеричной) цифрой [25].

Например:

Как перевести целое число из десятичной системы в любую другую позиционную систему счисления?

Для перевода целого десятичного  числа N в систему счисления с основанием q необходимо N разделить с остатком ("нацело") на q, записанное в той же десятичной системе. Затем неполное частное, полученное от такого деления, нужно снова разделить с остатком на q, и т.д., пока последнее полученное неполное частное не станет равным нулю. Представлением числа N в новой системе счисления будет последовательность остатков деления, изображенных одной q-ичной цифрой и записанных в порядке, обратном порядку их получения [27].

Пример: Переведем число 75 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Ответ: 75₁₀ = 1 001 011₂ = 113₈ = 4B₁₆ [28]

Как перевести правильную десятичную дробь в любую другую позиционную  систему счисления?

Для перевода правильной десятичной дроби F в систему счисления с основанием q необходимо F умножить на q, записанное в той же десятичной системе, затем дробную часть полученного произведения снова умножить на q, и т. д., до тех пор, пока дробная часть очередного произведения не станет равной нулю, либо не будет достигнута требуемая точность изображения числа F в q-ичной системе. Представлением дробной части числа F в новой системе счисления будет последовательность целых частей полученных произведений, записанных в порядке их получения и изображенных одной q-ичной цифрой. Если требуемая точность перевода числа F составляет k знаков после запятой, то предельная абсолютная погрешность при этом равняется q ^-(k+1) / 2 [27].

Пример. Переведем число 0,36 из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную:

Для чисел, имеющих как целую, так и дробную части, перевод из десятичной системы счисления в другую осуществляется отдельно для целой и дробной частей по правилам, указанным выше [19].

Как перевести число из двоичной (восьмеричной, шестнадцатеричной) системы  в десятичную?

Перевод в десятичную систему числа x, записанного в q-ичной системе счисления (q = 2, 8 или 16) в виде x_q = (a_na_n-1...a₀,a_-1a_-2...a_-m)_q сводится к вычислению значения многочлена x₁₀=a_nqⁿ+a_n-1q^n-1+...+a₀q⁰+a_-1q^-1+a_-2q^-2+...+a_-mq^-m средствами десятичной арифметики. Примеры:

Рассмотрим только те системы счисления, которые применяются в компьютерах  — десятичную, двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную. Для определенности возьмем произвольное десятичное число, например 46, и для него выполним все  возможные последовательные переводы из одной системы счисления в  другую. Порядок переводов определим  в соответствии с рисунком:

На этом рисунке использованы следующие  обозначения:

• в кружках записаны основания систем счисления;
• стрелки указывают направление перевода;
• номер рядом со стрелкой означает порядковый номер соответствующего примера в сводной таблице 4.1.

Например: означает перевод из двоичной системы в шестнадцатеричную, имеющий в таблице порядковый номер 6.

Сводная таблица переводов целых чисел                                 Таблица 4.1

Как производятся арифметические операции в позиционных системах счисления?

Рассмотрим основные арифметические операции: сложение, вычитание, умножение и деление. Правила выполнения этих операций в десятичной системе хорошо известны — это сложение, вычитание, умножение столбиком и деление углом. Эти правила применимы и ко всем другим позиционным системам счисления. Только таблицами сложения и умножения надо пользоваться особыми для каждой системы [3].

Сложение

Таблицы сложения легко составить, используя Правило Счета.

Сложение  в двоичной системе                     Сложение в восьмеричной системе

 

Сложение в шестнадцатеричной  системе

 

При сложении цифры суммируются  по разрядам, и если при этом возникает  избыток, то он переносится влево.

Пример 1. Сложим числа 15 и 6 в различных системах счисления.

Шестнадцатеричная: F₁₆+6₁₆ Ответ: 15+6=21₁₀=10101₂=25₈=15₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду:

10101₂=2⁴+2²+2⁰=16+4+1=21,

25₈=2^.8¹+5^.8⁰=16+5=21, 15₁₆=1^.16₁+5^.16₀=16+5=21.

Пример 2. Сложим числа 15, 7 и 3.

Шестнадцатеричная: F₁₆+7₁₆+3₁₆        Ответ: 5+7+3=25₁₀=11001₂=31₈=19₁₆

Проверка: 11001₂=2⁴+2³+2⁰=16+8+1=25,

31₈=3^.8¹+1^.8⁰=24+1=25, 19₁₆=1^.16¹+9^.16⁰=16+9=25

 

Пример 3. Сложим числа 141,5 и 59,75.

 

 

 

Ответ: 141,5+59,75=201,25₁₀=11001001,01₂=311,2₈=C9,4₁₆

Проверка. Преобразуем полученные суммы к десятичному виду: 11001001,01₂=2⁷+2⁶+2³+2⁰+2^-2=201,25   311,2₈=3^.8²+1^.8¹+1^.8⁰+2^.8^-1=201,25

C9,4₁₆=12^.16¹+9^.16⁰+4^.16^-1=201,25.

Вычитание

Пример 4. Вычтем единицу из чисел 10₂, 10₈ и 10₁₆

Пример 5. Вычтем единицу из чисел 100₂, 100₈ и 100₁₆

 

 

 

Пример 6. Вычтем число 59,75 из числа 201,25.

 

 

 

Ответ: 201,25₁₀-59,75₁₀=141,5₁₀=10001101,1₂=215,4₈=8D,8₁₆

Проверка. Преобразуем полученные разности к десятичному виду:

10001101,1₂=2⁷+2³+2²+2⁰+2^-1=141,5;    215,4₈=2^.8²+1^.8¹+5^.8⁰+4^.8^-1=141,5;

8D,8₁₆= 8^.16¹+D^.16⁰+8^.16^-1=141,5.

Умножение

Выполняя умножение многозначных чисел в различных позиционных  системах счисления, можно использовать обычный алгоритм перемножения чисел  в столбик, но при этом результаты перемножения и сложения однозначных  чисел необходимо заимствовать из соответствующих  рассматриваемой системе таблиц умножения и сложения.

Умножение в двоичной системе         Умножение в восьмеричной системе

Ввиду чрезвычайной простоты таблицы  умножения в двоичной системе, умножение  сводится лишь к сдвигам множимого  и сложениям. Пример 7. Перемножим числа 5 и 6.

Ответ: 5^.6=30₁₀=11110₂=36_8. Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 11110₂=2⁴+2³+2²+2¹=30;36₈=3 8¹+68⁰=30. Пример 8. Перемножим числа 115 и 51.

Ответ: 115^.51=5865₁₀=1011011101001₂=13351_8.

Проверка. Преобразуем полученные произведения к десятичному виду: 1011011101001₂=2¹²+2¹⁰+2⁹+2⁷+2⁶+2⁵+2³+2⁰=5865;

13351₈=1^.8⁴+3^.8³+3^.8²+5^.8¹+1^.8⁰=5865.

Деление

Деление в любой позиционной системе  счисления производится по тем же правилам, как и деление углом в десятичной системе. В двоичной системе деление выполняется особенно просто, ведь очередная цифра частного может быть только нулем или единицей.

Пример 9. Разделим число 30 на число 6.

Ответ: 30:6=5₁₀=101₂=5₈.

Пример 10. Разделим число 5865 на число 115.

Восьмеричная: 13351₈:163₈

Ответ: 5865:115=51₁₀=110011₂=63₈

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 110011₂=2⁵+2⁴+2¹+2⁰=51;

63₈=6^.8¹+3^.8⁰=51.

Пример 11. Разделим число 35 на число 14.

Восьмеричная: 43₈:16₈

Ответ: 35:14=2,5₁₀=10,1₂=2,4₈

Проверка. Преобразуем полученные частные к десятичному виду: 10,1₂=2¹+2^-1=2,5; 2,4₈=2^.8⁰+4^.8^-1=2,5 [23].

Как представляются в компьютере целые  числа?

Целые числа могут представляться в компьютере со знаком или без  знака. Целые числа без знака обычно занимают в памяти компьютера один или два байта. В однобайтовом формате принимают значения от 00000000₂ до 11111111₂. В двухбайтовом формате - от 00000000 00000000₂ до 11111111 11111111₂.

 

 

Диапазоны значений целых чисел без знака

Формат числа в байтах	Диапазон
	Запись с порядком	Обычная запись
1	0 ... 28-1	0 ... 255
2	0 ... 216-1	0 ... 65535

Примеры:

а) число 72₁₀=1001000₂ в однобайтовом формате:

б) это же число в двухбайтовом формате:

в) число 65535 в двухбайтовом формате:

Целые числа  со знаком

Обычно занимают в памяти компьютера один, два или четыре байта, при  этом самый левый (старший) разряд содержит информацию о знаке числа [19].

Диапазоны значений целых чисел со знаком

Формат числа в байтах	Диапазон
	Запись с порядком	Обычная запись
1	-27 ... 27-1	-128 ... 127
2	-215 ... 215-1	-32768 ... 32767
4	-231 ... 231-1	-2147483648 ... 2147483647

Рассмотрим особенности записи целых чисел со знаком на примере  однобайтового формата, при котором для знака отводится один разряд, а для цифр абсолютной величины - семь разрядов. В компьютерной технике применяются три формы записи (кодирования) целых чисел со знаком: прямой код, обратный код, дополнительный код.

Последние две формы применяются  особенно широко, так как позволяют  упростить конструкцию арифметико-логического  устройства компьютера путем замены разнообразных арифметических операций операцией сложения.