Методика использования систем счисления в базовом курсе информатики

Положительные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах изображаются одинаково - двоичными кодами с цифрой 0 в знаковом разряде. Например:

Отрицательные числа в прямом, обратном и дополнительном кодах имеют разное изображение.

1. Прямой код. В знаковый разряд помещается цифра 1, а в разряды цифровой части числа — двоичный код его абсолютной величины. Например:

2. Обратный код. Получается инвертированием всех цифр двоичного кода абсолютной величины числа, включая разряд знака: нули заменяются единицами, а единицы — нулями. Например:

3. Дополнительный код. Получается образованием обратного кода с последующим прибавлением единицы к его младшему разряду. Например:

Обычно отрицательные десятичные числа при вводе в машину автоматически преобразуются в обратный или дополнительный двоичный код и в таком виде хранятся, перемещаются и участвуют в операциях. При выводе таких чисел из машины происходит обратное преобразование в отрицательные десятичные числа [1].

Как компьютер выполняет арифметические действия над целыми числами?

Сложение  и вычитание

В большинстве компьютеров операция вычитания не используется. Вместо нее производится сложение обратных или дополнительных кодов уменьшаемого и вычитаемого. Это позволяет существенно упростить конструкцию АЛУ.

Сложение обратных кодов. Здесь при сложении чисел А и В имеют место четыре основных и два особых случая:

1. А и В положительные. При суммировании складываются все разряды, включая разряд знака. Так как знаковые разряды положительных слагаемых равны нулю, разряд знака суммы тоже равен нулю.

^{Например:}

Получен правильный результат.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.

Например:

Получен правильный результат в  обратном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части результата инвертируются: 1 0000111=-7₁₀.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

Например:

Компьютер исправляет полученный первоначально  неправильный результат (6 вместо 7) переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы.

4. А и В отрицательные.

Например:

Полученный первоначально неправильный результат (обратный код числа -11₁₀ вместо обратного кода числа -10₁₀) компьютер исправляет переносом единицы из знакового разряда в младший разряд суммы. При переводе результата в прямой код биты цифровой части числа инвертируются: 1 0001010=-10₁₀.

При сложении может возникнуть ситуация, когда старшие разряды результата операции не помещаются в отведенной для него области памяти. Такая  ситуация называется переполнением разрядной сетки формата числа. Для обнаружения переполнения и оповещения о возникшей ошибке в компьютере используются специальные средства. Ниже приведены два возможных случая переполнения.

5. А и В положительные, сумма А+В больше, либо равна 2^n-1, где n — количество разрядов формата чисел (для однобайтового формата n=8, 2^n-1=27=128).

Например:

Семи разрядов цифровой части числового  формата недостаточно для размещения восьмиразрядной суммы (162₁₀ = 10100010₂), поэтому старший разряд суммы оказывается в знаковом разряде. Это вызывает несовпадение знака суммы и знаков слагаемых, что является свидетельством переполнения разрядной сетки.

6. А и В отрицательные, сумма абсолютных величин А и В больше, либо равна 2^n-1. Например:

Здесь знак суммы тоже не совпадает со знаками слагаемых, что свидетельствует о переполнении разрядной сетки [20].

Сложение дополнительных кодов. Здесь также имеют место рассмотренные выше шесть случаев:

1. А и В положительные. Здесь нет отличий от случая 1, рассмотренного для обратного кода.

2. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине больше, чем А.

Например:

Получен правильный результат в  дополнительном коде. При переводе в прямой код биты цифровой части  результата инвертируются, и к младшему разряду прибавляется единица: 1 0000110+1=1 0000111=-7_10.

3. А положительное, B отрицательное и по абсолютной величине меньше, чем А.

Например:

Получен правильный результат. Единицу  переноса из знакового разряда компьютер  отбрасывает.

6. А и В отрицательные.

Например:

Получен правильный результат в  дополнительном коде. Единицу переноса из знакового разряда компьютер отбрасывает.

Случаи переполнения для дополнительных кодов рассматриваются по аналогии со случаями 5 и 6 для обратных кодов.

Сравнение рассмотренных форм кодирования  целых чисел со знаком показывает:

• на преобразование отрицательного числа в обратный код компьютер затрачивает меньше времени, чем на преобразование в дополнительный код, так как последнее состоит из двух шагов — образования обратного кода и прибавления единицы к его младшему разряду;
• время выполнения сложения для дополнительных кодов чисел меньше, чем для их обратных кодов, потому что в таком сложении нет переноса единицы из знакового разряда в младший разряд результата.

Умножение и деление

Во многих компьютерах умножение производится как последовательность сложений и сдвигов. Для этого в АЛУ имеется регистр, называемый накапливающим сумматором, который до начала выполнения операции содержит число ноль. В процессе выполнения операции в нем поочередно размещаются множимое и результаты промежуточных сложений, а по завершении операции — окончательный результат. Другой регистр АЛУ, участвующий в выполнении этой операции, вначале содержит множитель. Затем по мере выполнения сложений содержащееся в нем число уменьшается, пока не достигнет нулевого значения.

Для иллюстрации умножим 110011₂ на 101101₂.

Деление для компьютера является трудной операцией. Обычно оно реализуется путем многократного прибавления к делимому дополнительного кода делителя [12].

Как представляются в компьютере вещественные числа?

Система вещественных чисел в математических вычислениях предполагается непрерывной  и бесконечной, т.е. не имеющей ограничений на диапазон и точность представления чисел. Однако в компьютерах числа хранятся в регистрах и ячейках памяти с ограниченным количеством разрядов. Вследствие этого система вещественных чисел, представимых в машине, является дискретной (прерывной) и конечной.

При написании вещественных чисел  в программах вместо привычной запятой  принято ставить точку. Для отображения  вещественных чисел, которые могут  быть как очень маленькими, так  и очень большими, используется форма  записи чисел с порядком основания системы счисления. Например, десятичное число 1.25 в этой форме можно представить так: 1.25^.10⁰=0.125^.10¹=0.0125^.10²=... или так: 12.5^.10^-1=125.0^.10^-2=1250.0^.10^-3=...

Любое число  N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N=M^.q^p, где M — множитель, содержащий все цифры числа (мантисса), а p — целое число, называемое порядком. Такой способ записи чисел называется представлением числа с плавающей точкой.

Если "плавающая" точка расположена  в мантиссе перед первой значащей цифрой, то при фиксированном количестве разрядов, отведённых под мантиссу, обеспечивается запись максимального  количества значащих цифр числа, то есть максимальная точность представления  числа в машине. Из этого следует:

Мантисса должна быть правильной дробью, у которой первая цифра после  точки (запятой в обычной записи) отлична от нуля: 0.1₂<=|M|<1. Если это требование выполнено, то число называется нормализованным.

Мантиссу и порядок q-ичного числа принято записывать в системе с основанием q, а само основание — в десятичной системе. Примеры нормализованного представления: Десятичная система 753.15=0.75315^.10^3, Двоичная система -101.01=-0.10101^.2¹¹(порядок 11₂=3₁₀)-0.000034=-0.34^.10^-4, 0.000011=0.11^.2^-100(порядок-100₂=-4₁₀).

Вещественные числа в компьютерах  различных типов записываются по-разному, тем не менее, все компьютеры поддерживают несколько международных стандартных форматов, различающихся по точности, но имеющих одинаковую структуру следующего вида:

Здесь порядок n-разрядного нормализованного числа задается в так называемой смещенной форме: если для задания порядка выделено k разрядов, то к истинному значению порядка, представленного в дополнительном коде, прибавляют смещение, равное (2^k-1—1). Например, порядок, принимающий значения в диапазоне от —128 до +127, представляется смещенным порядком, значения которого меняются от 0 до 255. Использование смещенной формы позволяет производить операции над порядками, как над без знаковыми числами, что упрощает операции сравнения, сложения и вычитания порядков, а также упрощает операцию сравнения самих нормализованных чисел. Чем больше разрядов отводится под запись мантиссы, тем выше точность представления числа. Чем больше разрядов занимает порядок, тем шире диапазон от отличного наименьшего от нуля числа до наибольшего числа, представимого в машине при заданном формате [18].

Стандартные форматы представления  вещественных чисел:

1) одинарный— 32-разрядное нормализованное число со знаком, 8-разрядным смещенным порядком и 24-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы, всегда равный 1, не хранится в памяти, и размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет только 23 разряда).

2) двойной— 64-разрядное нормализованное число со знаком, 11-разрядным смещенным порядком и 53-разрядной мантиссой (старший бит мантиссы не хранится, размер поля, выделенного для хранения мантиссы, составляет 52 разряда).

3) расширенный— 80-разрядное число со знаком, 15- разрядным смещенным порядком и 64-разрядной мантиссой. Позволяет хранить ненормализованные числа.

Следует отметить, что вещественный формат с m-разрядной мантиссой позволяет абсолютно точно представлять m-разрядные целые числа, т. е. любое двоичное целое число, содержащее не более m разрядов, может быть без искажений преобразовано в вещественный формат [21].

Как компьютер выполняет арифметические действия над нормализованными числами?

К началу выполнения арифметического  действия операнды операции помещаются в соответствующие регистры АЛУ.

Сложение и вычитание

При сложении и вычитании сначала  производится подготовительная операция, называемая выравниванием порядков.

В процессе выравнивания порядков мантисса числа с меньшим порядком сдвигается в своем регистре вправо на количество разрядов, равное разности порядков операндов. После каждого сдвига порядок  увеличивается на единицу.

В результате выравнивания порядков одноименные разряды чисел оказываются  расположенными в соответствующих  разрядах обоих регистров, после  чего мантиссы складываются или вычитаются. В случае необходимости полученный результат нормализуется путем сдвига мантиссы результата влево. После каждого сдвига влево порядок результата уменьшается на единицу [26].

Пример 1. Сложить двоичные нормализованные числа 0.10111^.2^-1 и 0.11011^.2¹⁰. Разность порядков слагаемых здесь равна трем, поэтому перед сложением мантисса первого числа сдвигается на три разряда вправо:

Пример 2. Выполнить вычитание двоичных нормализованных чисел 0.10101^.2¹⁰ и 0.11101^.2¹. Разность порядков уменьшаемого и вычитаемого здесь равна единице, поэтому перед вычитанием мантисса второго числа сдвигается на один разряд вправо:

Результат получился не нормализованным, поэтому его мантисса сдвигается влево на два разряда с соответствующим уменьшением порядка на две единицы: 0.1101^.2⁰[28].

Умножение

При умножении  двух нормализованных чисел их порядки  складываются, а мантиссы перемножаются.

Пример 3. Выполнить умножение двоичных нормализованных чисел:

(0.11101^.2¹⁰¹)^.(0.1001^.2¹¹)=(0.11101^.0.1001)^.2^(101+11)=0.100000101^.2¹⁰⁰⁰.

Деление

При делении двух нормализованных  чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем  в случае необходимости полученный результат нормализуется.

Пример 4. Выполнить деление двоичных нормализованных чисел:

0.1111^.2¹⁰⁰:0.101^.2¹¹=(0.1111:0.101)^.2^(100-11)=1.1^.2¹=0.11^.2¹⁰.

Использование представления чисел  с плавающей точкой существенно  усложняет схему арифметико-логического  устройства [24].

2.2 Педагогические и методические особенности обучения арифметическим основам ЭВМ в базовом курсе информатики

Алфавитный способ представления  информации

Современный отечественный курс информатики  строится с учетом того, что во всех информационных процессах, с которыми школьники знакомятся, информация передается только с помощью дискретных сигналов. Это означает, что в школьной информатике, как правило, изучается алфавитный способ представления информации.

Учитель рассказывает, что алфавитный способ записи информации известен давно. Множество  народностей на Земле имеют языки, построенные по алфавитному принципу. Всякая информация в таких языках записывается в виде слов, составленных из букв и символов алфавита, и в  виде предложений, составленных из слов [8].