Формирование математических понятий младших школьников

В родовидовом  отношении находятся понятия  «сложение (вычитание, умножение, деление)»  и «арифметическое действие», понятие  «острый (прямой, тупой) угол» и «угол».

Примеров  явных родовидовых отношений  среди множества математических понятий, которые рассматриваются  в начальных классах, не так уже  и много. Но с учетом важности определения  через род и видовой признак  в дальнейшем обучении желательно добиваться понимания учениками сущности определения  этого вида уже в начальных  классах.

В начальных  классах много математических понятий сначала усваивается поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем. И это закономерно. Не все понятия легко усвоить. Но бесспорно, что понимание и своевременное использование учителем тех или других видов определений математических понятий - одна из условий формирования у учеников твердых знаний об этих понятиях.

Вывод:

Математическое понятие- это целостная совокупность суждений о каком-либо предмете или классе предметов. Логика в понятиях различает объем и содержание. Раскрыть содержание понятия - значит, путем сравнения установить, какие признаки необходимы и достаточны для выделения его отношения к другим предметам. Совокупность свойств, по которым объединяются объекты в единый класс, называются необходимыми и достаточными признаками. Математические понятия делятся на единичные и общие, конъюнктивные и дизъюнктивные, абсолютные и относительные.

В начальных  классах впервые каждое понятие  вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования. Ознакомление с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Много математических понятий сначала усваивается поверхностно, расплывчато. При первом ознакомлении школьники узнают только о некоторых свойствах понятий, очень узко представляют их объем.

Выводы по 1 главе

Таким образом, можно сделать вывод, что в психолого-педагогической теории большое внимание уделяется математическим понятиям и приемам умственной деятельности, однако конкретной программы работы над умственными приемами, которые должны быть сформированы, при изучении данного предмета нет, поэтому работа над развитием логического мышления школьников идет без знания системы необходимых приемов. Образование и становление понятий – сложный процесс, в котором применяются такие приемы умственной деятельности, как анализ, синтез, сравнение, классификация, обобщение, абстрагирование. Эти приемы составляют внутреннюю структуру понятия, его механизм и не овладев ими учащиеся испытывают трудности в усвоении системы математических понятий.

Обучающиеся в начальной школе сталкиваются с разными видами понятий. Неумение различать приводит к неправильному  их усвоению. Более подробно в видах, определениях понятий попытаемся разобраться  в следующем параграфе.

 Понятие  является одной из познавательных форм, характерной для интеллектуальной деятельности человека. В начальных классах впервые каждое понятие вводится наглядно, путем наблюдения конкретных предметов или практического оперирования. Учитель опирается на знание и опыт детей, которые они приобрели еще в дошкольном возрасте. Ознакомления с математическими понятиями фиксируется с помощью термина или термина и символа. Математические понятия служат опорным моментом в познании действительности и являются своеобразным итогом познания. Поэтому понятия являются одной из главных составляющих в содержании любого учебного предмета начальной школы, в том числе - и математики. Понятийное мышление формируется в начальных классах и раскрывается, совершенствуется в течение всей жизни. Для правильного, своевременного формирования математических понятий существуют определенные методики, обратимся к ним в следующей главе.

Глава 2. Методика формирования математических понятий в курсе начальной  математики

2.1. Обще методический подход к  формированию математических понятий  в школьной практике

В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений  понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство  учащихся, применяя понятия, усвоенные  в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий  ученики осознают и воспроизводят  только при ответе на вопросы, требующие  определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. По мнению психологов, процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.[13, 246с.]

Достигается это через выполнение следующей системы условий:

1. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства. Выбор действия определяется, прежде всего, целью усвоения понятия.
2. Знание состава используемого действия. Так, действие распознавания включает:

а) актуализацию системы необходимых и достаточных  свойств понятия;

б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах;

в) оценку полученных результатов с помощью  одного из логических правил распознавания (для понятий с конъюнктивной  и понятий с дизъюнктивной  системой признаков).

Для понятий  с дизъюнктивной структурой признаков  правило распознавания, как было показано, имеет такой вид:

- объект  относится к данному понятию,  если он обладает, хотя бы одним  признаком из числа альтернативных;

- если  объект не обладает ни одним  из этих признаков, то он  не относится к данному понятию;

- если  ни про один из признаков  неизвестно, есть он или его  нет, то неизвестно, относится  или не относится этот объект  к данному понятию

Кроме действия распознавания можно использовать и другие: выведение следствий, сравнение, классификация, действия.

3. Все элементы действия представлены во внешней, материальной (или материализованной) форме.
4. Поэтапное формирование введенного действия.
5. Наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. При формировании понятий с помощью действия подведения под понятие в качестве операций выступает проверка каждого признака, сравнение с логическим правилом и так далее.

Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.

После выполнения пяти-восьми заданий с реальными  предметами или моделями учащиеся без  всякого заучивания запоминают и  признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешне речевую форму, когда задания  даются в письменном виде, а признаки понятий, правило, и предписание  называются или записываются учащимися  по памяти. На этом этапе учащиеся могут  работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.

В том  случае, когда действие легко и  верно выполняется во внешне речевой  форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в  письменном виде, а воспроизведение  признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все  еще получает указания типа «Назови  про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.

Если  действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений  или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью  умственным, идеальным, но содержание его известно обучающемуся, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.

Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование действия по обобщенности обеспечивается специальным подбором заданий. При этом учитывается как  специфическая, так и обще логическая часть ориентировочной основы действия.

Для обобщения  специфической части, связанной  с применением системы необходимых  и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному  понятию. Так, при формировании понятия  угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению  в пространстве и т.п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые  признаки данного понятия, но к нему не относятся.

Для обобщения  логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема.

Преобразование  действия по двум другим свойствам  достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних  этапах - шестом или пятом. На всех других этапах дается лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя.

6) Разумность действий испытуемых. Главное, что постоянно подтверждалось, - это ориентировка учащихся с самого начала на всю систему существенных признаков, т.е. имела место разумность действий.

Для установления разумности действий используются три  вида задач:

а) задачи, в которых имеется полный состав условий, но чертеж не соответствует  условиям задачи;

б) задачи с неполным составом условий и  без чертежа;

в) задачи с неполным составом условий и  не адекватным условию задачи чертежом. (Например, в условии сказано, что  даны два равных угла с общей вершиной. Спрашивается, будут ли они вертикальными. На чертеже изображены вертикальные углы. Правильный ответ: «Неизвестно», так как нет данных о том, составляют ли стороны одного угла прямые линии со сторонами другого). Этот вид задач объединяет в себе особенности первых двух. Проверку разумности целесообразно начинать с предъявления именно таких задач. Если испытуемый справляется с ними, то это достаточный показатель разумности его действий. Решение этих задач требует знания всех возможных случаев, которые могут быть при решении задач на распознавание. В частности, умения дифференцировать случай, когда ответ неопределенный, и случай, когда ответ отрицательный, то есть когда условия полные, но известно, что  не обладает какими-то необходимыми признаками.

7) Осознанность усвоения. Все учащиеся при работе с понятиями должны правильно аргументировать свои действия, указывая при этом основания, на которые они опирались при ответе.

8) Уверенность учащихся в знаниях и действиях. Учащиеся обнаруживают не только разумность и осознанность, но и большую уверенность в своих действиях.

9) Отсутствие связанности чувственными свойствами предметов. При школьном обучении учащиеся лишены адекватной ориентировочной основы, поэтому они учатся дифференцировать предметы, опираясь на те их свойства, которые лежат на поверхности. Таким образом, ученики идут на поводу внешних, чувственных свойств не в силу особенностей своего мышления, а потому, что не имеют в своем распоряжении ничего более надежного. Но как только мы даем им средства опоры на существенные свойства, которые далеко не всегда являются наглядными, они успешно используют их.

10) Обобщенность понятий и действий. Обобщенность формируемых понятий и действий проверяется двумя путями:

 Во-первых, устанавливается возможность испытуемых  применить сформированные понятия  и действия в новых условиях, в той или иной степени отличающихся  от условий обучения (например, сохраняя  в процессе обучения устойчивость  материала, цвета и формы объектов, в контрольных заданиях предъявляются  объекты данного класса, имеющие  другой цвет, другую форму, сделанные  из другого материала).

 Во-вторых, устанавливается влияние сформированных  понятий на процесс усвоения  новых - как из той же области  знаний, так и существенно иной.

11) Прочность сформированных понятий и действий. Сформированные знания и действия не только приводят к правильным ответам, но и сохраняют все рассмотренные качества: разумность, сознательность.

Используя данную систему условий можно  добиться от учеников сознательного  и систематического усвоения математических понятий, применения на практике.

Вывод:

Большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами.

2.2. Методическая система по формированию математических понятий: множества, величины, числа, алгебраических и геометрических понятий.