Формирование математических понятий младших школьников

Операцию  сложения и ее свойство нужно формировать  у учащихся не только на примере  такой величины, как количество, но и на примерах других величин.

Пример 1. Ученикам предлагается перевязать большой  пакет имеющимися маленькими веревочками.

Ученики связывают обрывки веревок и  перевязывают пакет. При этом подчеркивают, что порядок, в котором связываются  обрывки веревок, роли не играет (переместительное и сочетательное свойство сложения).

Пример 2. Ученику предлагается угостить соком  своих друзей, если у него имеется  разное количество сливового сока и  грушевого.

Ученик  сливает сок в одну посуду и  получает грушево – сливовый сок, которым угощает друзей. Подчеркивается, что количество сока не измениться от того, в каком порядке он сливается.

Так как  сложение величин является теоретической  основой формирования смысла операции сложения, а не нахождения результата сложения, поэтому при рассмотрении данных примеров учитель должен избегать возможности измерения величин, в том числе и пересчета.

3. Умножение величины на натуральное число.

Пол умножением величины а на натуральное число n понимается сумма в одинаковых величин: а + а +…+ а = а n.

Это свойство является теоретической основой  операции умножения в начальных  классах. Поэтому, при ее формировании необходимо подчеркивать, что одна и та же величина повторяется несколько  раз, то есть именованное число нужно  ставить при умножении на первое место.

Пример 1. Учащимся предлагается составить  полоску из четырех одинаковых полосок  и измерить ее. Дети получают в результате измерения 40 см.

Учитель предлагает найти длину полоски  не измеряя ее, если известно, что  она состоит из четырех одинаковых полосок по 10 см каждая.

Дети  записывают: 10 см + 10 см + 10 см + 10см = 40 см.

Учитель обращает внимание на громоздкость записи и знакомит их с другой записью  и новой операцией – умножением: 10 см 4 = 40 см.

Учащиеся  под руководством учителя делают вывод о том, что в данном случае умножение представляют сумму одинаковых величин, то есть, что умножение есть частный случай сложения.

Пример 2. Задача. Сколько минут отводится  ученику на выполнение контрольной  работы, если надо решить 5 примеров и  на каждый пример отводится 4 минуты?

4 мин  x 5 = 15 мин (4 минуты повторятся 5 раз).

Примечание. Подход к операции умножения как  к сумме одинаковых величин позволяет  объяснить смысл умножения натуральных  чисел, начиная с двух. Умножение  на 1, на 0, умножение дробных чисел  нельзя рассматривать с позиции  суммы одинаковых слагаемых.

4. Свойство неограниченной делимости.

Любую величину а при произвольном натуральном  числе m можно представить в виде суммы одинаковых величин b: а = b + b + …+ b или а = b m. Это означает, что  величина b есть 1/m доля величины а.

Доля  является одним из случаев обыкновенной дроби, что и надо подчеркнуть  при изучении доли в начальных  классах. Это можно сделать, например, в ходе решения следующих задач.

Задача 1. 12 яблок разделить поровну между  четырьмя детьми. Сколько яблок получит  каждый ребенок?

Каждый  ребенок получит четвертую часть  от 12 яблок, то есть по 3 яблока.

Задача 2. Одно яблоко надо разделить поровну  между четырьмя детьми. Сколько яблок  получит каждый?

Каждый  получит четвертую часть, то есть 1/4 яблока.

Задача 3. Пять яблок надо разделить поровну  между четырьмя детьми. Сколько яблок  получит каждый?

Каждый  получит четвертую часть, то есть 1 яблоко и еще 1/4 яблока, что составляет 1и 1/4 яблока или 5/4 яблока.

5. Аксиома Архимеда.

Если  а и b две однородные величины и  а > b, то найдется такое натуральное  число n, что а < b n.

Эта аксиома  позволяет выполнять измерения  величин, что широко применяется  в начальных классах.

В ходе измерения  ученики получают конкретное натуральное  число (в данном случае это число 4).

Пример 2. Измерить емкость банки с помощью  стакана. Сколько стаканов помещается в банке?

Пример 3. Измерить площадь многоугольника данной меркой (рис. 2.7).

 

 

Рис. 2.7

 

2.2.3.Геометрический материал.

Обычно  геометрический материал рассматривается  в начальных классах как некоторое  вкрапление, не связанное с основным программным материалом. Однако, если обучение математике в начальных  классах строить на понятии величины, то геометрический материал выступает  не как изолированный, а как базовый, позволяющий формировать многие математические понятия (см. раздел "Величины").

Изучение  геометрического материала должно начинаться с формирования представления  о точке, линии, прямой линии, отрезке, луче, угле. Это можно осуществить  с помощью, например, таких практических работ.

Пример 1. Учитель просит детей два раза ткнуть карандашом в лист бумаги и  сообщает, что они получили две  точки. Затем он просит, как угодно соединить их и говорит, что они  получили линии, каждый свою (рис.2.14). Затем  учитель просит отметить на линии  красным карандашом несколько точек, синим карандашом - несколько точек над линией, зеленым карандашом - несколько точек под линией.

Тем самым  у учеников формируется представление  о линии как множестве точек, о положении точек относительно линии (на, над, под).

Пример 2. Учитель предлагает детям бросить  на парту веревочки, которые были им розданы. Ученики получают разные линии. Учитель предлагает взять  веревочку за концы я натянуть, У детей получается отрезок прямой линии. Затем дети в тетрадях отмечают две точки и с помощью линейки  проводят через них прямую линию.

Пример 3. Ученики отмечают в тетрадях три  точки одна под одной и проводят через одну точку прямую линию, луч  до второй точки и луч от третьей  точки (рис. 2.8). Учитель вводит понятие луча и дети подводятся к выводу, что прямая, в данном случае, состоит из двух лучей.

 

Рис. 2.8

 

Пример 4. Детям предлагается соединить  два луча так, чтобы получилась прямая линия, и не получилась прямая линия. Вводится понятие угла, вершины угла, сторон угла (рис. 2.9).

 

Рис. 2.9

 

Пример 5. Детям дается задание соединить  три отрезка, которые заранее  розданы на парты, концами так, чтобы  получилась замкнутая ломанная линия. Учитель просит сосчитать углы у  получившейся геометрической фигуры и  говорит, что, так как у нее  три угла, эту фигуру называют треугольником. Затем учитель просит составить  треугольник из трех отрезков, сумма  двух из которых меньше третьего отрезка.

Делается  вывод, что в треугольнике обязательно  две любые стороны вместе больше третьей стороны.

Аналогично  учащиеся знакомятся и с другими  геометрическими фигурами и их свойствами.

2.2.4. Натуральные числа

Натуральное число имеет двоякую природу, так как отвечает на вопросы "сколько" и "какой по счету". Например, если стоит очередь, то прежде, чем стать в нее, человек интересуется, сколько в ней всего людей. А, когда он уже стоит в очереди, то его интересует, какой он по счету, т.е. сколько людей стоит пред ним.

Таким образом, существует два подхода к понятию  натурального числа:

• теоретико-множественный (количественная теория);
• аксиоматический (порядковая теория).

Эти подходы тесно переплетаются в методике преподавания. Поэтому, чтобы избежать ошибок, учитель должен знать, какой из подходов лежит в основе изучения конкретного вопроса.

Теоретико-множественный  подход к понятию натурального числа  базируется на понятиях конечного множества  и взаимно-однозначного соответствия. Приведем схему введения натуральных  чисел.

1. Определение:  два конечных множества называются равночисленными, если между ними можно установить взаимно-однозначное соответствие.

2. Отношение  "быть равночисленным" разбивает  все конечные множества на  классы эквивалентности.

3. Каждый  класс эквивалентности характеризуется  мощностью, поэтому каждому множеству  данного класса приписывают как  характеристику одно и то же  натуральное число.

4. Мощность  пустого множества принимается  за натуральное число ноль.

Понятие "быть равночисленным" и умение разбивать конечные множества на классы эквивалентности формируется  у детей в дочисловой период при  изучении темы "Столько, больше, меньше". Покажем, как на основе практической деятельности учащихся можно сформировать понятия о натуральных числах от 0 до 10.

Пример 1. Тема урока "Число и цифра 3".

На одной  полке наборного полотна два  кружочка, на второй - три, третья полочка пустая (рис. 2.10). Учитель, показывая разные конечные множества, просит разложить их по полкам, т.е. предлагает выполнить классификацию.

 

Рис. 2.10

 

После этого  задаются вопросы:

1. Одинаковые  ли группы предметов на второй  полке? - Нет.

2. Почему  же вы их поставили на одну  полку? - Количество предметов у  них одинаковое.

Учитель делает вывод о том, что это  свойство (количество элементов каждого  множества данного класса) и есть число 3.

Затем учитель  показывает написание цифры 3, т.е. значка, с помощью которого изображается число три.

Следующий этап урока - закрепление. Учитель предлагает найти в классной комнате множество, содержащее по три элемента; выполнить  с помощью заданной мерки измерение  длины отрезка или площади  геометрической фигуры, В этом случае число выступает в новом качестве: оно выражает отношение одной  величины к другой. Так, выполняя задание  по измерению емкости банки с  помощью кружки, ученики получают натуральное число как результат  отношения одной емкости к  другой. Такой подход приводит к  расширению понятия о положительном  числе, так как результатом измерения  может быть натуральное число, дробное  число (положительное рациональное), иррациональное число. Таким образом, рассматривая с первого класса натуральное  число как результат измерения  величин, ученики постигают причины  возникновения любого положительного действительного числа, что очень  важно для последующего обучения в школе.

Пример 2. Тема урока "Число нуль".

Учитель задает вопросы типа: "Сколько  холодильников в классе?", "Сколько  грузовых автомобилей в классе?", Дети отвечают, что этого ничего нет. Тогда учитель говорит, что  это соответствует числу нуль и можно записать с помощью  цифры 0.

Аксиоматический подход к понятию "натуральное  число" базируется на следующих основных (неопределяемых) понятиях: "натуральное  число" с выделенным числом "0" (или "1") и "непосредственно следовать за..,".

В целом  ряде книг за выделенное число принимается  число 1. На наш взгляд целесообразнее выделять число 0, так как методика его введения аналогична методике выделения  любого однозначного натурального числа (см. примеры 1 и 2). Кроме того, легче  вводить тогда использование  линейки.

Свойства  этих основных понятий, соотношение  между ними раскрываются в аксиомах Пеано (итальянский математик). Приведем некоторые из них.

Аксиома 1. Нуль, непосредственно не следует ни за каким натуральным числом.

Эта аксиома  формируется у учащихся при пользовании  линейкой для измерения длины  отрезка: учитель подчеркивает, что  линейку надо прикладывать так, чтобы  начало отрезка совпадало с делением 0.

Аксиома 2. Для любого натурального числа  существует только одно натуральное  число, которое непосредственно  следует за ним.

Эта аксиома  формируется у учащихся с помощью  вопросов: "Какое число идет за числом 5? "Может ли за числом 2 идти число 5?"

Аксиома 3. Любое натуральное число непосредственно  следует не более чем за одним  натуральным числом.

Эта аксиома  формируется у детей с помощью  вопросов: "За каким числом идет число 5?", "Может ли число 5 идти за числом 3?", "За каким числом идет число 0?"

Таким образом, аксиоматический подход к понятию  натурального числа позволяет охарактеризовать следующие свойства натурального ряда чисел (порядковую структуру множества  натуральных чисел).

1. Множество  натуральных чисел бесконечно, с начальным элементом 0 и без конечного элемента.

2. Множество  натуральных чисел упорядочено  (любые два натуральных числа  можно сравнить). "

3. Множество  натуральных чисел дискретно  (между двумя любыми натуральными  числами можно поместить конечное  множество натуральных чисел).

2.2.5. Операции над натуральными  числами

Ранее уже  неоднократно подчеркивалось, что в  методике обучения операциям над  натуральными числами следует отличать саму операцию от результата операции.