Формирование математических понятий младших школьников

 

 

В начальных  классах формируются следующие  математические понятия:

1. Множество, частные случаи операций над множествами.
2. Величина.
3. Геометрический материал.
4. Число, количественный и порядковый (аксиоматический) подходы к множеству натуральных чисел.
5. Операции над натуральными числами (количественный и аксиоматический подходы), их свойства.
6. Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства.
7. Выражения с переменными, их область определения. Тождество.
8. Уравнения и неравенство; их область определения и множество решений. Свойства уравнений и неравенств.
9. Функции: понятие, область определения, область значений, способы задания.

Рассмотрим  каждое математическое понятие более  подробно, выделим его особенности, характерные признаки и обратимся  к методике изучения данного понятия.

2.2.1.Множество, частные  случаи операций над множествами.

Множество – это основное неопределяемое понятие.

При формировании понятия «множество» нужно научить  детей задавать множество указанием  характеристических свойств, перечислением  элементов, с помощью кругов Эйлера-Венна; уметь определять принадлежит ли данный элемент множеству или  нет; находить мощность конечного множества (количество элементов множества).

Так, показав  картину, учитель спрашивает: «Что на ней изображено?» Дети отвечают, например, «Яблоки» (то есть задается множество  указанием характеристического  свойства). Затем учитель показывает изображение груши и спрашивает: «Входит ли она в заданное множество?»  Дети отвечают: «Нет».

Формирование  смысла арифметических действий над  натуральными числами и их свойств  базируется на основе соответствующих  операций над множествами и их законов.

Над множествами можно выполнять 5операций:

1. Объединение множеств.

Объединением  двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Основные  свойства этой операции:

а) коммуникативный  закон: А В = В А

б) ассоциативный  закон: {А В} C = A {B C}.

Этот  случай является теоретической основой формирования смысла операции сложения натуральных чисел, а коммуникативный и ассоциативный законы выступают в начальных классах как переместительное и сочетательное свойства суммы натуральных чисел.

Операцию  сложения натуральных чисел можно  сформировать с помощью такой практической работы:

 Слева  на парте лежат треугольники, а справа квадраты. Учитель просит  собрать вместе и назвать получившееся  множество. Дети отвечают: «Мы  получили геометрические фигуры».  Учитель обобщает: «Мы выполнили  сложение, которое обозначается  знаком «+» и называется суммой (рис.2.1).

 

 

 

 

 

сумма

 

Рис. 2.1

 

Таким образом, сложение натуральных чисел рассматривается  как частный случай объединения  двух чисел.

Так как объединение множеств коммутативно и ассоциативно, то переместительное и сочетательное свойства сложения можно сформировать сразу же после введения слова «сумма». Так учитель может задать вопрос: «Изменится ли сумма, если сначала в центр парты положить квадраты, а потом треугольники?

Показать  прикладную сторону использования коммутативности сложения можно на такой практической работе.

На партах учеников выложены треугольники и квадраты. Количество квадратов в 3 – 4 раза превышает  количество треугольников. Кто быстрее  по одной геометрической фигуре соберет  их в одну группу. После практической работы ученики должны сделать вывод, как быстрее можно выполнить  работу и почему.

 

 

2. Пересечение множеств.

Пересечением  двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат первому и второму множеству.

Основные  свойства этой операции:

а) коммуникативный  закон: А В = В А

б) ассоциативный  закон: {А В} C = A {B C}.

Пересечение двух множеств можно формировать  в начальных классах при рассмотрении, например, общей части геометрических фигур: прямоугольника АВСД и квадрата КСМЕ (рис. 2.2).

В С

 

М

А К             D

 

 

Е

Рис. 2.2

 

3. Разность множеств.

Разностью множеств А и В называется такое  множество, элементы которого принадлежат  множеству А и не принадлежит  множеству В 

С помощью  данной операции показывается теоретическая  основа формирования смысла операции вычитания натуральных чисел.

Операцию  вычитания натуральных чисел  можно сформировать с помощью такой практической работы:

В пенале лежат письменные принадлежности (ручки  и карандаши), выложили на парту все  ручки, а карандаши с пеналом  положили в портфель. Надо узнать, сколько  было карандашей. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько  было письменных принадлежностей всего, сколько было ручек. Разность между ними и есть карандаши. Таким образом операция вычитания натуральных чисел рассматривается как случай разности двух множеств.

4. Декартово произведение двух и более множеств.

До сих  пор порядок записи элементов  множества роли не играли. Однако в  практике, зачастую, порядок записи элементов имеет большое значение. Например, порядок букв в слове, или  порядок записи однозначных чисел  в многозначном числе (23 = 32).

Декартово произведение обладает следующими основными  свойствами:

1. А х В = В х А;
2. M (A x B) = m (B x A) – количество элементов декартова произведения В х А.

В начальных  классах операция умножения натуральных  чисел рассматривается как мощность декартова произведения.

Операцию  умножения натуральных чисел  можно сформировать с помощью  такой практической работы.

На парте  лежат короткие, средние, длинные  палочки красного, синего, желтого  и белого цветов. Надо разложить  их по цвету и по размеру.

По цвету:                         По размеру:

Красные                        Короткие – красная, синяя, желтая, белая

Синие                            Средние – красная, синяя, желтая, белая

Желтые                          Длинные - красная, синяя, желтая, белая

Белые

В первом случае палочек 3 + 3 + 3 + 3 = 3 х 4, во втором – 4 + 4 + 4 = 4х3.

Так как  в обоих случаях были разложены  все палочки, то 3 х 4 = 4 х 3. Таким образом, эта практическая работа позволяет  сформировать не только смысл операции умножения как мощности декартового  произведения, но и переместительное свойство умножения.

5. Разбиение.

Операция  разбиения на попарно непересекающиеся подмножества характеризуются следующими свойствами:

1. ни одно из подмножеств не пусто;
2. любые два подмножества не имеют общих элементов;
3. объединение всех подмножеств дает данное множество.

Операция  деление натуральных чисел опирается  на разбиение конечного множества  на попарно непересекающиеся равномощные  подмножества. Она раскрывается путем  рассмотрения задач на деление по содержанию и равные части. Это можно  осуществить на примере таких  работ.

Пример  № 1. Несколько карандашей надо раздать  трем ученикам. Сколько карандашей получит каждый ученик, и сколько их было?

Сначала раздадим по одному карандашу, потом  еще по одному и так далее. Пусть  каждый ученик получил по 4 карандаша, тогда всего карандашей было:

4 кар.х  3 =12 кар.

Пример  № 2. Несколько карандашей надо раздать  детям по 4 карандаша. Сколько учеников получит карандаши, и сколько их было всего?

Сначала 4 карандаша дали одному ученику, потом 4 карандаша дали второму и так  далее. Пусть 3 ученика получили по 4 карандаша, тогда всего карандашей было : 4 кар.х 3 = 12 кар.

Затем учитель  должен обобщить полученные результаты: «В первой задаче мы искали первый сомножитель, а во второй задаче мы искали второй сомножитель. Так как умножение  обладает переместительным свойством, то мы выполнили в обеих задачах  одну и ту же операцию, которая называется делением». После этого учитель  записывает:

4 х 3 = 12; 12: 3 = 4;

4 х 3 = 12, 12: 4 = 3.

2.2.2. Величина

Понятие величины является фундаментальным  в школьном курсе математики и, в  особенности, в начальном обучении. Ведь исторически работа с величинами и привела к появлению математики как таковой. Рассматривая величину как свойство однородных предметов  или явлений «быть сравнимым», учитель может с помощью конкретных предметных действий сформировать у  учащихся такие важнейшие понятия, как положительное действительное число, операции над числами и их законы, измерение величин и именованные числа, тесно связать геометрический и арифметический материал.

Величины  бывают трех видов: скалярные, аддитивно-скалярные, векторные.

Примером  скалярных величин является свойство химических элементов быть сравнимыми по активности. Скалярные величины не являются той основой, на которой возникла математика.

Аддитивно - скалярные величины (аддитивность – это наличие операции сложения; аддитивная операция – операция сложения) можно не только сравнивать, но и определять, насколько один элемент множества, обладающего величиной, больше (меньше) другого элемента этого же множества.

Таким образом, аддитивно-скалярные величины можно  складывать и поэтому именно на их основе возникла в результате абстрагирования  математика. Примером аддитивно-скалярных  величин является множество отрезков, площадей.

Векторные величины можно сравнивать не только с позиции «столько», «больше», «меньше», но и по направлению. Примерами векторных величин является скорость, ускорение.

В начальных  классах специальным предметом  изучения являются следующие аддитивно-скалярные  величины: количество, длина, площадь, масса, емкость, время.

В дальнейшем, для упрощения, вместо того, чтобы  говорить «аддитивно-скалярная величина», или «множество, обладающее величиной», будем говорить просто «величина».

Рассмотрим основные свойства величин:

1. Свойство  быть сравнимым.

Это свойство должно формироваться в начальных  классах в три этапа на основе предметных действий детей.

а) Визуальное сравнение.

Приведем  примеры практических работ.

Пример 1.

Приложив  полоски, выяснить, какие из них длиннее (рис. 2.3).

 

 

Рис.2.3

 

Пример 2. Наложив друг на друга два листа  бумаги, выяснить, какой из них больше (рис. 2.4).

 

 

 

Рис. 2.4

 

Пример 3. Взяв в одну руку деревянный шар, а  другую металлический шар, определить, какой из них тяжелее (шары одинаковые по размеру).

Пример 4. Сравнить два ведра одинаковой формы и ответить, в какое из них больше поместиться воды (рис. 2.5).

Рис. 2.5

 

б) Опосредованное сравнение.

Пример 1. Ученикам предлагается сравнить длины  двух отрезков, изображенных на доске; определить по рисунку в книге, кто  из детей живет ближе к школе.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, используются две веревочки. Ими измеряют длины, а затем наложением сравнивают.

Пример 2. Ученикам предлагается сравнить массы  двух тел, с этой целью используются рычажные весы.

в) Сравнение с помощью посредников.

Пример 1. Учащимся предлагается сравнить расстояние Углич – Ярославль, Углич – Москва.

Пример 2. Ученикам предлагается сравнить две  площади разной конфигурации (рис. 2.6).

 

 

 

 

Рис. 2.6

Пример 3. Ученикам предлагается сравнить возраст  своих родителей.

В каждом случае ученики придут к выводу, что ни визуально, ни опосредовано провести сравнение невозможно. Они сделают  вывод о том, что величины необходимо сначала измерить, а потом сравнить числа, полученные в результате измерения. Тем самым ученики подводятся к пониманию причины возникновения  числа.

2. Наличие операции сложения.

Величины  можно складывать, то есть имеет  место операция сложения. Эта операция имеет такие важные свойства:

1. единственность суммы;
2. коммутативность сложения (переместительное свойство);
3. ассоциативность сложения (сочетательное свойство).