Контрольная работа по курсу «Методы оптимальных решений»

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по курсу

«Методы оптимальных решений»

 

Выполнили студент __________________________________________

(Ф.И.О.)

 

Профиль подготовки:___________________________________________

 

Задача 1

Фирма выпускает 2 вида мороженого: сливочное и шоколадное. Для изготовления мороженого используются два исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженого и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице 1.

 

Таблица 1

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженого		Запас, кг
	Сливочное	Шоколадное
Молоко	0,8	0,5	400
Наполнители	0,4	0,8	365

 

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженое не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженого 16 ден. ед., шоколадного - 14 ден. ед.

Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

 

Решение:

Предположим, что фирма производит х кг сливочного мороженного и у кг шоколадного мороженного в сутки. Тогда, зная цену за 1 кг на мороженное обоих видов, вычислим общую стоимость (выручку) продаваемого мороженного:

 

F (x, y) = 16∙x + 14∙y → max (чем больше, тем лучше)

 

Ограничения следуют из запасов сырья (таблица):

0,8∙x + 0,5∙y ≤ 400

0,4∙x + 0,8∙y ≤ 365

 

 

Ещё одно ограничение обусловлено рынком сбыта: суточный спрос на сливочное мороженое превышает спрос на шоколадное не более чем на 100 кг:

x – y ≤ 100

 

И ещё 2 ограничения из смысла величин x и y – они неотрицательные:

x ≥ 0

y ≥ 0

 

 

Расчёт в Excel с использованием пакета «Поиск решения» показывает, что:

 

 

максимальный доход от реализации в сумме 9200 ден.ед. фирма получит, если будет производить 312,5 кг сливочного и 300 кг шоколадного мороженного.

 

 

Задача 2

 

Предприятие располагает тремя производственными ресурсами (сырьем, оборудованием, электроэнергией) и может организовать производство продукции двумя различными способами. Расход ресурсов и амортизация оборудования за один месяц и общий ресурс при каждом способе производства даны в таблице 2 (в ден. ед.).

При первом способе производства предприятие выпускает за один месяц 3 тыс. изделий, при втором - 4 тыс. изделий. Сколько месяцев должно работать предприятие каждым из этих способов, чтобы при наличных ресурсах обеспечить максимальный выпуск продукции?

 

Таблица 2

Производственный ресурс	Расход ресурсов за 1 месяц		Общий ресурс
	1-ый способ	2-ой способ
Сырье	1	2	4
Оборудование	1	1	3
Электроэнергия	2	1	8

 

 

Решение

 

Пусть предприятие х месяцев работает первым способом, и у месяцев — вторым способом. Тогда можно вычислить количество изделий, которое предприятие выпустит за все время работы:

 

F (x, y) = 3∙x + 4∙y → max (тыс. изделий, чем больше, тем лучше)

 

Из таблицы получим три ограничения:

1) На сырье    x + 2∙y ≤ 4

2) На оборудование  x + y ≤ 3

3) На электроэнергию  2∙x + y ≤ 8

 

Два ограничения получим из смысла переменных – количества месяцев неотрицательны:

 

x ≥ 0

y ≥ 0

 

 

Расчёт в Excel с использованием пакета «Поиск решения» показывает, что:

 

 

максимальный выпуск продукции в количестве 10 тыс. изделий предприятие сможет выпустить, если будет работать 2 месяца 1-ым способом и 1 месяц 2-ым способом.

 

 

 

Задача 3

 

Решить графическим способом задачу максимизации функции

 

f(x) = 2x1 + 4x2

 

при следующих ограничениях:

 

– 2x1 + 3x2 ≤ 12,

x1 + x2 ≤ 9,

3x1 – 2x2 ≤ 12,

x1 ≥ 0,

x2 ≥ 0.

 

В таблице вычислим контрольные точки ограничивающих область поиска решения прямых:

Ограничение	x1	x2
– 2x1 + 3x2 ≤ 12	0	4
	–6	0
x1 + x2 ≤ 9	0	9
	9	0
3x1 – 2x2 ≤ 12	0	–6
	4	0

 

 

Построим область ограничений в системе координат x1, x2 и обозначим вершины, «подозрительные» на максимумы функции.

 

Вычислим значение целевой функции в этих точках:

 

F (0, 0) = 2∙0 + 4∙0 = 0

F (0, 4) = 2∙0 + 4∙4 = 16

F (3, 6) = 2∙3 + 4∙6 = 30

F (6, 3) = 2∙6 + 4∙3 = 24

F (4, 0) = 2∙4 + 4∙0 = 8

 

Получаем, что в заданной области

 

Fmax (x1 = 3, x2 = 6) = 2∙3 + 4∙6 = 30