Методы исследования и моделирование национальной экономики

К теории экономической  динамики, объясняющей развитие национального хозяйства, относится и теория экономических циклов. Теория циклов призвана объяснить причины колебаний экономической активности общества во времени.

При наличии резервных  производственных мощностей рост автономного спроса на определенную величину увеличит национальный доход на многократно большую величину вследствие действия мультипликатора. Когда величина эффективного спроса превысит имеющиеся производственные мощности, предприниматели начнут осуществлять индуцированные инвестиции, объем которых определяется величиной акселератора. Индуцированные инвестиции, становясь составляющей совокупного спроса, порождают очередной мультипликационный эффект, который снова увеличивает эффективный спрос и побуждает тем самым к новым индуцированным инвестициям. Вернется ли экономическая система к новому равновесному состоянию или нет, будет ли разворачивающийся процесс монотонным или колебательным – на эти вопросы дает ответ модель мультипликатора-акселератора, примером которой может служить модель Самуэльсона–Хикса. Эта модель включает в себя только рынок благ. Предприниматели осуществляют инвестирование только тогда, когда убеждаются, что увеличение совокупного спроса устойчиво, при этом они ориентируются на увеличение спроса в предшествующий период. Модель строится  на основе неоднородных конечно-разностных уравнений второго порядка. С ее помощью исследуется динамика национального дохода, определяемая значениями предельной склонности к потреблению.

Национальная экономика  представляет собой сложную многогранную систему. Процессы, происходящие в ней, чрезвычайно сложны и многообразны. Это приводит к тому, что в рамках известных теорий линейного и нелинейного программирования, статистического моделирования, сетевого планирования их описать с достаточной степенью достоверности не всегда представляется возможным. В таких ситуациях, когда известные математические модели и методы оказываются слишком упрощенными и не могут адекватно отразить экономическую и производственную реальность, используется метод имитационного моделирования.

Имитационная модель представляет собой формализованное  описание производственной системы через ее элементы и зависимости между ними, порядок расчета показателей, характеризующих эти элементы и зависимости, представленный в виде алгоритма, реализуемого на ЭВМ с помощью специальных программ.

Имитационное моделирование  включает в себя следующие этапы:

формируются основные вопросы  о поведении системы, ответы на которые мы хотим получить с помощью модели;

из множества законов, управляющих  поведением системы, учитываются те, влияние которых существенно при поиске ответов на поставленные вопросы;

формулируются гипотезы о функционировании системы;

гипотезы, как и законы, выражаются в форме математических зависимостей.

В основе имитационного  метода лежит идея максимального  использования всей имеющейся информации с тем, чтобы преодолеть аналитические трудности и найти ответы на поставленные вопросы о поведении системы. Результат имитации позволяет провести оценку управляющих воздействий – отбросить заведомо плохие, упорядочить по качеству оставшиеся и т.п. Имитационная система выступает в роли лаборатории,  
в которой анализируются некоторые технологии – часть бракуется, часть остается для дальнейшего применения.

Используя имитационное моделирование, можно строить модели анализируемых  объектов любой сложности, большой  размерности. Имитационную модель можно также использовать для всестороннего анализа деятельности предприятия или его определенных подразделений, применять как для анализа, так и для планирования работы отдельных звеньев производственного процесса и производства в целом. Широкое распространение компьютерных технологий стимулировало практическое внедрение методов имитационного моделирования как в нашей стране, так и за рубежом.

 

2. Модели оптимизации  развития отдельных секторов  
и сфер национальной экономики

Среди математических моделей  экономических процессов особое место занимают так называемые оптимизационные модели, с помощью которых среди множества вариантов поведения выбирается наилучший (оптимальный) в том или ином смысле.

В качестве инструмента  оптимизации наиболее часто используется математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое и т.п.), входящее в арсенал методов исследования операций. Наиболее обобщенной моделью поиска оптимальных решений является общая задача математического программирования, формулируемая следующим образом:

max (min) Z = f(x₁,x₂,...,x_n),

F_i(x₁,x₂,...,x_n) ≤ Bi , i=1,2,...,m,

x_j ³ 0 , j=1,2,...,n,

где Z – оптимизируемая цель экономической системы и, соответственно,  
f(x₁, x₂, ..., x_n) – целевая функция; x₁, x₂, ..., x_n – показатели степени использования средств достижения цели (могут характеризовать выпуск продукции разных видов, загрузку оборудования, использование ресурсов и т.п.); F_i(x₁, x₂, ..., x_n) – функция совокупных затрат средств i-й группы, используемых для достижения цели; В_i – лимиты, предельные границы совокупных затрат средств i-й группы.

Переменные x₁, x₂, ..., x_n, которые удовлетворяют всем ограничениям задачи, называются допустимым решением, или планом. Все допустимые решения образуют область определения задачи, или область допустимых решений. Допустимое решение, максимизирующее (минимизирующее) целевую функцию, называется оптимальным решением, или оптимальным планом.

2.1. Задача формирования оптимальной производственной программы

2.1.1. Этапы экономико-математического исследования

Рассмотрим задачу формирования оптимальной производственной программы по выпуску новой конкурентоспособной продукции в сверхурочное время на условиях почасовой оплаты.

Предприятие планирует выпуск пяти видов новой продукции (А, B, C, D, E), пользующейся высоким спросом на рынке. По условиям заключенного контракта вся продукция будет востребована в произведенном объеме. Помимо этого в контракте дополнительно оговорено, что потребность в продукции В составляет не менее 100 ед.  Предприятие располагает необходимым сырьем и оборудованием, привлекает квалифицированных рабочих своего предприятия на условиях почасовой оплаты в сверхурочное время. Почасовая ставка оплаты сверхурочного труда составляет  
150 р./чел.-час. Реализация продукции должна начаться через 5 мес. На указанный срок для оплаты сверхурочного  труда рабочих руководство предприятия берет кредит в банке под 14% годовых с погашением в конце названного срока из средств, полученных от реализации выпущенных изделий. Информация об объемах сырья и фонде дополнительного рабочего времени оборудования, нормах затрат, необходимых для выпуска продукции ресурсов, размере  выручки от реализации единицы каждого изделия приведена в табл. 1.

Таблица 1

Информация по выпуску  новой продукции

Ресурсы	Изделие А	Изделие В	Изделие С	Изделие D	Изделие E	Объем ресурсов
Сырье, кг	6	2	7	4	5	6 000
Оборудование, ст.-час	5	3	4	5	4	7 500
Комплектующие, шт.	4	3	5	2	2	4 300
Трудоресурсы, чел.-час	9	4	5	4	8
Цена реализации, р.	2 580	1 780	2 850	1 480	1 700

Целью организации выпуска  новой продукции является максимизация денежной суммы, которой будет располагать предприятие после выплаты банковского кредита.

Процедура решения задачи предполагает выполнение шести последовательных этапов.

I этап. Выбор управляемых переменных

В качестве управляемых переменных выбираются те экономические показатели, которые позволяют записать все ограничения, а их численные значения дают ответ на вопрос, поставленный в задаче. В нашем случае организация выпуска предполагает определение объемов производства каждого из пяти видов новой продукции, поэтому в качестве управляемых переменных выбираются объемы выпуска продукции:

х_i – объем выпуска i-го вида продукции, i = 1, 2, 3, 4, 5.

II этап. Анализ существенных ограничений

Учесть в математической модели все факторы, оказывающие влияние на выпуск продукции, невозможно, более того, в этом нет необходимости. Следует учесть только те факторы, которые оказывают существенное влияние на принимаемые решения.

В оптимизационных моделях  различают три типа ограничений:

ограниченность имеющихся  ресурсов;

необходимость достижения экономическими показателями заранее заданных значений (плановые ограничения);

технологические соотношения между  группами управляемых переменных.

Согласно условию решаемой задачи ограничены запасы сырья, фонд времени работы оборудования и количество комплектующих. Поэтому в математическую модель вводятся три ресурсных ограничения.

Учитывая условия контракта, единственным изделием, для которого задана нижняя граница выпуска, является изделие В (не менее 100 ед.). Следовательно, в математическую модель задачи необходимо ввести одно плановое ограничение.

III этап. Выбор целевой функции

В качестве целевой функции выбирается важнейший экономический показатель в условиях решаемой задачи. В некоторых случаях это максимизация прибыли предприятия, в том числе ее валютной составляющей, или минимизация производственных затрат. В условиях мелкосерийного и индивидуального производства в качестве целевой функции можно использовать показатель загрузки оборудования, позволяющий сократить непроизводительные потери времени, или показатель, позволяющий минимизировать остатки незавершенного производства и выровнять график выпуска изделий.

В рассматриваемой задаче таким показателем является денежная сумма, которой будет располагать предприятие после возврата банковского кредита из средств, полученных от реализации выпущенных изделий. Критерий поиска целевой функции – максимизация.

IV этап. Построение математической модели

На этом этапе все ограничения  должны быть представлены в виде неравенств или уравнений относительно управляемых переменных. Цель задачи записывается в виде функции от  управляемых переменных. 

В решаемой задаче величина целевой  функции Z определяется как разница между денежной суммой R, полученной от реализации всей выпущенной продукции, и суммой возврата банковского кредита VK. Таким образом, необходимо записать математические выражения для R и VK.

По условию задачи известна цена реализации каждой единицы новой продукции, поэтому с учетом управляемых переменных можно записать выражение для денежной суммы, которую получит предприятие после реализации всех произведенных изделий.

В нашем случае х₁ – объем выпуска изделия А, его цена – 2 580 р., тогда 2 580 ∙ х₁ – это ожидаемая денежная сумма от реализации всех произведенных изделий А. После того, как будет найдено численное значение управляемой переменной х₁, мы будем знать численное значение этой суммы.

Аналогично определяются ожидаемые  денежные суммы, получаемые от реализации всех остальных изделий.

В результате можно записать математическое выражение для расчета денежной суммы R, которую получит предприятие после реализации выпущенной продукции:

R = 2 580 ∙ x₁ + 1 780 ∙ x₂ + 2 850 ∙ x₃ + 1 480 ∙ x₄ + 1 700 ∙ x₅ .

Для математической записи выражения VK (возврат кредита) необходимо первоначально записать выражение для величины самого кредита К. Поскольку кредит К берется на оплату труда, то его величина напрямую связана с объемом использованных трудовых ресурсов Т.

Запишем выражение для расчета  ожидаемых затрат труда. По условию задачи на одну единицу изделия А затрачивается 9 чел.-час, тогда на весь ожидаемый выпуск изделия А (х₁) будет затрачено 9 ∙ х₁ чел.-час. На все выпускаемые изделия В будет затрачено 4 ∙ х₂ чел.-час и т.п. Таким образом, выражение для расчета ожидаемых затрат труда имеет вид:

Т = 9 ∙x₁ + 4 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 8 ∙ x₅ (чел.-час).

Исходя из ставки почасовой оплаты труда (150 р./чел.-час), можно записать выражение, определяющее величину необходимого предприятию кредита К:

К = (9 ∙ x₁ + 4 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 8 ∙ x₅) ∙ 150 (р.).

Кредит берется на 5 мес. под 14% годовых. Поэтому в конце указанного срока предприятие должно вернуть и сам кредит, и проценты по нему за 5 мес. Для расчета процентов по кредиту Р необходимо величину кредита умножить на годовой процент и на ту долю года, в течение которой предприятие пользовалось кредитом:

Р = К ∙ 14% ∙ 5 / 12.

Для определения суммы  возврата кредита VK к величине кредита К добавляются проценты по нему Р:

VK = K + P.

Таким образом определены все необходимые составляющие для записи целевой функции, которая имеет вид:

Z = R – VK à max.