Методы исследования и моделирование национальной экономики

В таблице «Ограничения»  Отчета по устойчивости (см. рис. 6) содержится информация об исходных значениях правых частей ограничений (столбец «Ограничение, правая часть») и о значениях левых частей ограничений, получаемых в результате решения задачи (столбец «Результирующее значение»).

В нашем случае столбец  «Ограничение, правая часть» содержит информацию о плановом объеме выпуска изделия В и исходных запасах используемых в производстве ресурсов. В столбце «Результирующее значение» выведена информация о реальном объеме выпуска изделия В и реальных затратах каждого ресурса.

Особый интерес представляют значения столбца «Теневая цена». Теневая цена представляет собой двойственную оценку соответствующей дополнительной переменной (см. курс «Математическое программирование»). Теневая цена показывает величину изменения целевой функции при увеличении правой части соответствующего ограничения на одну единицу.

В нашем случае дополнительный выпуск одного изделия В сократит величину целевой функции на 48 р.

Увеличение запаса сырья  на 1 кг приведет к росту целевой функции на 19 р. Увеличение фонда времени оборудования в выпуске продукции ничего не изменит. Увеличение количества комплектующих на 1 шт. приведет к росту целевой функции на 385 р.

Таким образом, при решении вопроса о наращивании ресурсов очевидно, что выгоднее наращивать количество комплектующих. В этом случае могут измениться пропорции выпуска, но обязательно увеличится значение целевой функции.

Наращивание дефицитного  ресурса, приводящее к улучшению  целевой функции на найденное значение теневой цены, не безгранично.  
С определенного момента изменение правой части ограничения может изменить структуру выпуска. В этом случае, как правило, происходит скачкообразное изменение теневой цены.

Изменение ресурса в  определенных пределах не меняет величину теневой цены. Мероприятия по изменению запаса ресурсов в этих пределах носят название малых мероприятий. Их эффективность достаточно точно измеряется с помощью теневой цены. Однако на определенном этапе изменение запаса ресурса приводит к уменьшению его дефицитности и в результате меняется величина теневой цены. В этом случае мероприятия по изменению запаса ресурса относят к категории больших мероприятий.

Рассмотрим еще одно направление анализа результатов  оптимального выпуска с использованием показателя теневой цены. В небольших объемах полностью  израсходованные в оптимальном решении ресурсы являются взаимозаменяемыми. Теневая цена в этом случае определяет пропорции замены.

Вернемся к нашей  задаче. По результатам оптимального выпуска полностью израсходованы запасы сырья и комплектующих, поэтому именно эти ресурсы можно рассматривать как взаимозаменяемые.

Предположим, что в  силу определенных обстоятельств в плановом периоде реальный запас комплектующих оказался на 1 шт. меньше, чем планируемый, т.е. составил 4 299 шт.  Теневая цена этого ресурса равна 385 ед. Тогда в результате снижения запаса комплектующих оптимальная величина целевой функции снизится на 385 · 1 = 385 р. Чтобы предотвратить это снижение целевой функции необходимо в определенном объеме увеличить запас одного из дефицитных (израсходованных по результатам решения) ресурсов. Этим ресурсом в нашем случае может быть только сырье, так как только его запас (помимо комплектующих) полностью израсходован в оптимальном решении задачи. Теневая цена сырья составляет  
19 ед., т.е. каждый дополнительный килограмм сырья увеличивает целевую функцию на 19 р. Чтобы восполнить потерянные из-за нехватки комплектующих 385 р., нужно увеличить запасы сырья на величину, определяемую с помощью отношения теневых цен: 385 : 19 = 20,5 (кг).

Если бы не хватало 10 шт. комплектующих, то запасы сырья пришлось бы увеличить на 20,5 ∙ 10 = 205 (кг).

Еще раз подчеркнем, что  такая замена может осуществляться только в небольших объемах, при этом меняются пропорции выпуска, но сохраняется величина целевой функции.

Исследуем влияние изменения запаса ресурса на изменение оптимального решения, т.е. на результаты выпуска. Как было сказано выше, изменение показателя (в данном случае запаса ресурса) внутри интервала устойчивости не меняет структуру выпуска. Границы интервала устойчивости, как и в случае целевых коэффициентов, определяются величинами допустимых изменений показателя (запаса ресурса). Допустимые изменения запасов ресурсов приведены в таблице «Ограничения» в столбцах «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение». Верхняя граница интервала рассчитывается как сумма исходного запаса ресурса и допустимого увеличения, а нижняя – как разность между исходным запасом ресурса и допустимым уменьшением.

Рассчитаем интервал устойчивости для запасов сырья:

верхняя граница: 6 000 + 1 212 = 7 212;

нижняя граница: 6 000 – 200 = 5 800.

По всем видам используемых ресурсов интервалы устойчивости имеют следующий вид:

Ресурсы	Нижняя   граница	Запас   ресурса	Верхняя   граница
Сырье, кг	5 800	6 000	7 212
Оборудование, ст.-час	4 067	7 500	1E+30
Комплектующие, шт	3 216	4 300	4 443

Предположим, что вследствие некоторого изменения внешних условий запас сырья увеличился на 1 000 кг и составил, таким образом,  
6 000 + 1 000 = 7 000 кг. В данном случае запас сырья не превысил величину верхней границы интервала устойчивости (7 212 кг), поэтому структура выпуска меняться не будет, т.е. продолжим выпуск тех изделий, которые выпускались (В, С, D), однако объемы выпуска возрастут, так как возросли запасы сырья. Рост объемов выпуска повлечет за собой рост величины целевой функции. Таким образом, структура выпуска не изменится, но изменятся объемы выпуска и величина целевой функции.

Допустим, что вследствие некоторого изменения внешних условий запас сырья уменьшился на 150 кг и составил, таким образом, 6 000 – 250 = = 5 750 кг. В данном случае запас сырья стал меньше значения нижней границы интервала устойчивости (5 800 кг). В результате изменится структура выпуска, следовательно, изменятся объемы выпуска и величина целевой функции.

Систематизируем результаты проведенного анализа.

1. Ресурс израсходован полностью (является дефицитным)

1. Изменение запаса  ресурса внутри интервала устойчивости  не меняет структуру, но меняет объемы выпуска и, соответственно, величину целевой функции.

2. Выход величины запаса  ресурса за границу интервала устойчивости приводит к изменению структуры выпуска, объемов выпуска и величины целевой функции.

2. Ресурс имеется в избытке (не является дефицитным)

1. Изменение запаса ресурса внутри интервала устойчивости в выпуске продукции ничего не меняет: сохраняются структура выпуска,  объемы выпуска и величина целевой функции.

2. Выход величины запаса ресурса за нижнюю границу интервала устойчивости (верхняя граница для избыточного ресурса всегда равна бесконечности) приводит к изменению структуры выпуска, объемов выпуска и снижению величины целевой функции.

2.1.5. Оценка рентабельности оптимального решения

Исследование рентабельности оптимального решения проводится на основе результатов решения двойственной задачи. Здесь следует понимать, что речь идет о математической рентабельности, которая позволяет оценить, окупаются или нет условные затраты на изготовление продукции. Напомним, что любой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие двойственную задачу. При этом, если исходная задача имеет оптимальное решение, то его имеет и двойственная, а оптимальные величины целевых функций совпадают.

Правила построения двойственной задачи.

1. Если целевая функция исходной задачи максимизируется, то целевая функция двойственной задачи минимизируется и, наоборот, если целевая функция исходной задачи минимизируется, то целевая функция двойственной задачи максимизируется.
2. Коэффициентами при переменных в целевой функции двойственной задачи являются свободные члены системы ограничений исходной задачи.
3. Коэффициенты, стоящие в столбцах  системы ограничений исходной задачи, будут расположены в строках системы ограничений двойственной задачи.
4. Знак неравенства в системе ограничений двойственной задачи меняется на противоположный.
5. Свободными членами системы ограничений двойственной задачи являются коэффициенты целевой функции исходной задачи.
6. На переменные двойственной задачи накладываются условия неотрицательности.

Запишем математическую модель исходной задачи с конкретными числовыми значениями коэффициентов при управляемых переменных. Можно выполнить непосредственный расчет этих коэффициентов,  а можно воспользоваться результатами Отчета по устойчивости, в котором уже приведены значения коэффициентов при управляемых переменных в целевой функции Z (таблица «Изменяемые ячейки», столбец «Целевой коэффициент»). Математическая модель примет вид:

Z = 1 151 ∙ x₁ + 1 145 ∙ x₂ + 2 056 ∙ x₃ + 845 ∙ x₄ + 430 ∙ x₅ à max,

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 5 ∙ x₅ ≤ 6 000,

5 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 5 ∙ x₄ + 4 ∙ x₅ ≤ 7 500,

4 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄ + 2 ∙ x₅ ≤ 4 300,

x₂ ≥ 100.

Запишем последнее ограничение  задачи в виде  – x₂ ≤ – 100, чтобы все ограничения задачи имели одинаковый знак неравенства. В этом случае двойственные задачи будут симметричными и нахождение их решения существенно упрощается.

Пользуясь приведенными выше правилами построения двойственной задачи, запишем ее математическую модель:

W = 6 000 ∙ u₁ + 7 500 ∙ u₂ + 4 300 ∙ u₃   – 100 ∙ u₄ à min,

6 ∙ u₁ + 2 ∙ u₂ + 4 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ ≥ 1 151,

2 ∙ u₁ + 3 ∙ u₂ + 3 ∙ u₃ – 1 ∙ u₄ ≥ 1 145,

7 ∙ u₁ + 4 ∙ u₂ + 5 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ ≥ 2 056,

4 ∙ u₁ + 4 ∙ u₂ + 2 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ ≥ 845,

5 ∙ u₁ + 4 ∙ u₂ + 2 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ ≥ 430.

Найдем значения двойственных переменных. Их можно определить, используя результаты решения исходной задачи. Значения двойственных переменных совпадают с величиной теневой цены в исходной задаче. Необходимо учесть, что на переменные симметричной двойственной задачи также накладываются условия неотрицательности. Таким образом u₁ = 19;  u₂ = 0;  u₃ = 385;  u₄ = 48.

Подставим оптимальные значения двойственных переменных в целевую функцию двойственной задачи и убедимся, что оптимальные значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают:

W_min = 6 000   ∙19 + 7 500 ∙ 0 + 4 300 ∙ 385  – 100 ∙ 48 = 1 763 250³.

Выполним анализ ограничений  двойственной задачи. Левая часть  первого ограничения характеризует  затраты ресурсов на изготовление единицы продукции А, а правая часть этого ограничения характеризует возможный вклад единицы продукции А в денежную сумму, которой будет располагать предприятие после выплаты банковского кредита. Полностью аналогично характеризуются остальные четыре ограничения двойственной задачи.

Введем понятие «рентабельность изделия» с точки зрения математической модели. Левая часть характеризует условные затраты ресурсов на единицу изделия, которые минимизируются, а правая часть ограничения – условную выгоду от его реализации, которая максимизируется.

Исходная задача заключается  в определении плана выпуска изделий при заданных ограничениях на ресурсы, обеспечивающего максимизацию денежной суммы, которая останется у предприятия после погашения кредита. Двойственная задача позволяет оценить единицу каждого ресурса при минимизации их суммарной стоимости.

Продукция считается  рентабельной, если соответствующее  ей ограничение двойственной задачи удовлетворяется ее оптимальным решением как строгое равенство.

Оценим рентабельность изделий.

Изделие А: 6 ∙ u₁ + 2 ∙ u₂ + 4 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ = 6 ∙ 19 + 2 ∙ 0 + 4 ∙ 385 +  
+ 0 ∙ 48 = 1 653  ≥ 1 151 , т.е. изделие А не является рентабельным.

Изделие В: 2 ∙ u₁ + 3 ∙ u₂ + 3 ∙ u₃ – 1 ∙ u₄ = 2 ∙ 19 + 3 ∙ 0 + 3 ∙ 385 –  
– 1 ∙ 48 = 1 145  = 1 145 , т.е. изделие В является рентабельным.

Изделие С: 7 ∙ u₁ + 4 ∙ u₂ + 5 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ = 2 ∙ 19 + 3 ∙ 0 + 3 ∙ 385 – 
– 0 ∙ 48 = 2 056 = 2 056, т.е. изделие С является рентабельным.

Изделие D: 4 ∙ u₁ + 4 ∙ u₂ + 2 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ = 4 ∙ 19 + 4 ∙ 0 + 4 ∙ 385 – 
– 0 ∙ 48 = 845  = 845 , т.е. изделие D является рентабельным.

Изделие Е: 5 ∙ u₁ + 4 ∙ u₂ + 2 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ = 5 ∙ 19 + 5 ∙ 0 + 2 ∙ 385 – 
– 0 ∙ 48 = 864   ≥ 430 , т.е. изделие Е не является рентабельным.

Однако этих расчетов можно было не проводить, так как по результатам решения понятно, какая продукция будет рентабельной. В нашем случае рентабельны изделия В, С и D. Оценку рентабельности изделий  
с помощью двойственной задачи целесообразно проводить при включении в выпуск новых изделий.

Предположим, предприятие  расширяет ассортимент выпускаемой продукции и планирует включить в производство еще два изделия F и G.  
В табл. 2 приведены нормы затрат ресурсов и величина денежной суммы, которая останется у предприятия с единицы изделия после выплаты банковского кредита.