Методы исследования и моделирование национальной экономики

Таблица 2

Информация по выпуску  изделий F и G

Ресурсы	Изделие F	Изделие G
Сырье, кг	3	5
Оборудование, ст.-час	9	12
Комплектующие, шт.	2	4
Трудоресурсы, чел.-час	6	8
Цена за вычетом средств на выплату  банковского кредита, р.	541	1 150

 Оценим рентабельность изделий F и G.

Изделие F: 3 ∙ u₁ + 9 ∙ u₂ + 2 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ = 3 ∙ 19 + 9 ∙ 0 + 2 ∙ 385 – – 0 ∙ 48 = 541  = 541 , т.е. изделие F является рентабельным.

Изделие G: 5 ∙ u₁ + 12 ∙ u₂ + 4 ∙ u₃ + 0 ∙ u₄ = 5 ∙19 + 12 ∙ 0 + 4 ∙ 385 – – 0 ∙ 48 = 1 254   ≥ 1 150 , т.е. изделие G не является рентабельным.

Если предприятие включит  в выпуск изделие F, то произойдет перераспределение ресурсов, изменятся объемы выпуска изделий, но максимальная величина целевой функции останется неизменной. Если предприятие включит в выпуск изделие G, то произойдет перераспределение ресурсов, изменятся объемы выпуска изделий, снизится максимальная величина целевой функции.

2.2. Комплектная модель в задачах оптимизации

Если в процессе решения задачи выдается сообщение: «Поиск не может найти подходящего решения», значит система ограничений задачи несовместна. Как правило, это связано с тем, что имеющихся ресурсов не хватает для выпуска продукции в требуемом объеме.

Предположим, что по условиям контракта изделие В должно выпускаться в объеме не 100, а 1 500 шт.

 

Чтобы учесть это требование в математической модели задачи следует скорректировать плановое ограничение по объему выпуска изделия В:

х₂ ³ 1 500.

С учетом скорректированного планового ограничения математическая модель задачи не имеет допустимого решения, так как система ограничений несовместна. Следовательно, при имеющихся запасах ресурсов нельзя выпустить 1 500 шт. продукции В. Действительно, для выпуска  
1 500 шт. изделий В необходимо: сырья – 1 500 ∙ 2 = 3 000 (кг);  времени работы оборудования – 1 500 ∙ 3 = 4 500 (ст.-час); комплектующих –  
1 500 ∙ 3 = 4 500 (шт).

Таким образом, имеющийся запас комплектующих не позволяет выпустить изделие В в заданном плановом объеме (1 500 шт.).

В этом случае от решения  исходной задачи следует перейти к решению задачи в комплектной постановке. Для этого в исходную модель добавим новую переменную, обозначим ее Y. Величина Y будет определять ту долю планового задания, которое можно выполнить на имеющихся ресурсах. Очевидно, что выполняемая доля планового задания должна максимизироваться. Если Y – выполняемая доля планового задания, то произведение 1 500 ^. Y – тот объем планового задания, который можно выполнить на имеющихся ресурсах. Математическая модель задачи в комплектной постановке позволяет определить максимально возможный процент выполнения плана на имеющихся ресурсах.

Правила построения комплектной модели:

1. к числу управляемых переменных добавляется переменная Y;
2. целевая функция комплектной задачи предполагает максимизацию выполняемой доли планового задания Y;
3. ресурсные и технологические ограничения задачи записываются в комплектную модель без изменений;
4. комплектная переменная Y добавляется только в плановые ограничения.

С учетом перечисленных  правил математическая модель нашей задачи в комплектной постановке имеет вид:

Z = Y à max,

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 5 ∙ x₅ ≤ 6 000,

5 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 5 ∙ x₄ + 4 ∙ x₅ ≤ 7 500,

4 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄ + 2 ∙ x₅ ≤ 4 300,

x₂ ≥ 1 500 ∙ Y.

Не будем останавливаться на процедуре решения приведенной комплектной модели в среде ППП Excel, поскольку она полностью аналогична процедуре решения задачи в исходной постановке. Приведем результаты решения нашей задачи в комплектной постановке.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 7. Отчет по результатам решения задачи в комплектной постановке

Как видно из рис. 7, на имеющихся ресурсах плановое задание на изделие В выполняется на 95,6%, т.е. есть возможность выпустить только  
1 433 ед. Недовыполнение плана связано с тем, что имеющийся запас комплектующих полностью израсходован на выпуск 1 433 ед. изделия В. При этом запасы сырья и фонд времени оборудования являются избыточными ресурсами. Сырья осталось 3 133 кг, неизрасходованный фонд времени оборудования составляет 3 200 ст.-час.

Если у предприятия  нет средств на наращивание запаса комплектующих, то следует скорректировать с заказчиком объем планового задания, т.е. оговорить в контракте выпуск изделия В в объеме не более  
1 433 ед. Если заказчик согласен, то в модели исходной задачи вместо планового ограничения x₂ ≥ 1 500 следует записать ограничение x₂ ≥ 1 433.  
В результате использования процедуры «Поиск решения» получим отчеты по результатам и по устойчивости (рис. 8, рис. 9).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8. Отчет по результатам решения задачи с измененной программой выпуска

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 9. Отчет по устойчивости решения задачи с измененной программой выпуска

2.3. t-модель в задачах оптимизации

Предположим, у предприятия  есть возможность увеличить имеющиеся запасы ресурсов (в данном случае комплектующих). Чтобы определить необходимый объем наращивания ресурсов, переходят к решению так называемой t-модели.

Правила построения t-модели:

1. к числу управляемых переменных добавляются переменные t_i, каждая из которых определяет недостающий объем соответствующего  
   i-го ресурса (в нашем случае: t₁ – недостающий объем сырья, t₂ – недостающий фонд времени оборудования, t₃ – недостающий объем комплектующих);
2. целевая функция задачи является условной величиной, представляющей собой сумму недостающих объемов всех ресурсов (в нашем случае  t₁ + t₂ + t₃). Эта условная величина должна минимизироваться;
3. плановые и технологические ограничения задачи записываются в t-модель без изменений;
4. переменные t_i добавляются только в ресурсные ограничения.  
   К имевшемуся изначально запасу ресурса добавляется недостающий объем ресурса.

В результате математическая модель t-задачи принимает вид:

Т = t₁ + t₂ + t₃ à min,

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 5 ∙ x₅ ≤ 6 000 + t₁ ,

5 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 5 ∙ x₄ + 4 ∙ x₅ ≤ 7 500 + t₂ ,

4 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄ + 2 ∙ x₅ ≤ 4 300 + t₃ ,

x₂ ≥ 1 500.

Решение t-задачи дает результаты, приведенные на рис. 10.

Как видно из результатов  решения, недостающий объем сырья  
и фонда оборудования равен нулю, т.е. исходных запасов этих ресурсов хватает для выпуска изделия В в объеме 1 500 шт. Неиспользованный запас сырья составляет 3 000 кг, а неизрасходованный фонд времени оборудования – 3 000 ст.-час.

Переменная t₃ равна 200, что означает необходимость увеличения исходного объема комплектующих на 200 шт. для выполнения планового задания.

Таким образом, для выпуска изделия В в плановом объеме  
1 500 шт. необходимо наличие 3 000 кг сырья, 4 500 ст.-час работы оборудования и 4 500 шт. комплектующих. Ограниченный запас комплектующих не позволяет осуществлять выпуск никаких других изделий, кроме изделия В, для которого задана нижняя граница выпуска.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10. Отчет по результатам решения t-задачи

Если у  предприятия есть средства на наращивание  недостающих ресурсов, а с помощью t-модели определены требуемые объемы наращивания, то в исходную задачу, имевшую недопустимое решение, следует ввести скорректированные с учетом t-модели объемы ресурсов. Модель примет вид:

Z = R – VK à max,

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄  + 5 ∙ x₅ ≤ 6 000,

5 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 5 ∙ x₄ + 4 ∙ x₅ ≤ 7 500,

4 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄ + 2 ∙ x₅ ≤ 4 500,

x₂ ≥ 1 500.

В результате использования процедуры «Поиск решения» получим отчеты по результатам и по устойчивости (рис. 11, рис. 12). Из отчета по результатам видно, что денежная сумма, оставшаяся у предприятия после возврата банковского кредита, достигает 1 717 500 р. Несмотря на увеличение запаса комплектующих, значение целевой функции снизилось (на 45 750 = 1 763 250 – 1 717 500) по сравнению с ситуацией, когда плановое задание на изделие В составляло 100 ед. Это связано с тем, что весь объем комплектующих расходуется только на изделие В без сопоставления его рентабельности с рентабельностью других изделий. Судя по результатам решения, рентабельность изделия В ниже рентабельности других изделий, так как каждая выпущенная сверх плана единица изделия В сокращает величину целевой функции на 123 р. (теневая цена для планового ограничения по изделию В равна –123).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11. Отчет по результатам решения задачи с измененными запасами ресурсов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12. Отчет по устойчивости решения задачи с измененными запасами ресурсов

 

2.4. Бинарные переменные в задачах оптимизации

В рассмотренных выше моделях управляемые переменные (объемы выпуска) имели непрерывные области изменения. Однако теория не накладывает никаких ограничений на характер управляемых переменных. Переменные, входящие в состав экономико-математической модели, могут принимать дискретное множество значений или всего два значения. Необходимость рассматривать такие переменные возникает в том случае, когда требуется принять во внимание какой-либо качественный признак или выполнение какого-либо особого условия.

В англоязычной литературе бинарные переменные называются dummy variables, что на русский язык часто переводится как «фиктивные переменные». Однако фиктивные переменные – это такие же «равноправные» переменные, как и любые другие. Их «фиктивность» состоит только  
в том, что они количественным образом описывают качественные признаки.

Бинарные переменные, как правило, принимают значение «1», если данный качественный признак присутствует в наблюдении, и значение «0» при его отсутствии.

Бинарные переменные, несмотря на свою внешнюю простоту, являются весьма гибким инструментом при исследовании качественных признаков.

Рассмотрим пример решения  задачи на использование бинарных переменных. В Сибири работают четыре химических завода, участвующих в конкурсе на размещение госзаказа по производству изделий пяти наименований в следующих объемах:

Изделие    1   2   3   4   5

Объем, шт. 350 250 400 150 150

Каждый завод разработал несколько вариантов годовой производственной программы по выполнению госзаказа и определил соответствующие каждому варианту объемы финансирования:

Изделие	Объемы выпуска изделий, шт.
	Варианты   завода 1			Варианты завода 2		Варианты   завода 3			Варианты завода 4
	1	2	3	1	2	1	2	3	1	2
1	100	200	200	50	80			100	100	50
2	200	100	150			200	250	100	40	60
3	300	250	250	120	100	100	50	50	60	100
4	100	50	100	100	50				50
5	50	100	80			100	100	80	150	100
Объем финансирования, млн р.	12	16	14	7	9	16	15	17	5	8