Методы исследования и моделирование национальной экономики

Необходимо определить, какие заводы примут участие в выполнении госзаказа. Для каждого завода, выполняющего госзаказ, необходимо определить наиболее выгодный вариант участия, исходя из минимизации общего объема финансирования.

Решение данной задачи, как  и любой задачи оптимизации, предполагает последовательное выполнение шести этапов.

I этап. Выбор управляемых переменных

В нашем случае для  каждого завода необходимо определить наиболее целесообразный вариант участия в выполнении госзаказа.

Рассмотрим первый вариант завода 1. Он может быть либо принят, либо отвергнут. Опишем ситуацию с помощью бинарной переменной. Управляемая переменная х₁₁ будет характеризовать участие завода 1 в выполнении госзаказа по первому варианту. Пусть

х₁₁ = 0, если вариант отвергается,

х₁₁ = 1, если вариант будет принят.

Аналогично х₁₂ описывает возможность принятия второго варианта участия 1-го завода в выполнении госзаказа и т.п.

Таким образом,  любая управляемая переменная x_ij описывает возможность принятия j-го варианта для i-го завода, i = 1, 2, 3, 4; j = 1, 2, 3.

II этап. Анализ существенных ограничений

В рассматриваемой задаче ресурсные ограничения отсутствуют.

Согласно условию необходимо учесть объем госзаказа по каждому из пяти изделий. Следовательно, математическая модель будет содержать 5 плановых ограничений:

100 х₁₁ + 200 х₁₂ + 200 х₁₃ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 1 в случае его участия в выполнении госзаказа;

50 х₂₁ + 80 х₂₂ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 2 в случае его участия в выполнении госзаказа;

100 х₃₃ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 3  
в случае его участия в выполнении госзаказа;

100 х₄₁ + 100 х₄₂ + 50 х₄₃ – объем 1-го изделия, который будет выпущен заводом 4 в случае его участия в выполнении госзаказа.

Объем 1-й продукции, выпущенной всеми заводами, представляет собой сумму всех вышеприведенных выражений и должен быть не ниже планового задания (350 шт). Аналогично формируются ожидаемые объемы выпуска для остальных изделий.

Помимо плановых ограничений, в модели необходимо учесть тот факт, что завод может принять участие в выполнении госзаказа только по одному из предложенных вариантов. Эти ограничения будем рассматривать как технологические, т.е. сумма переменных, характеризующих участие каждого завода в выполнении госзаказа, не должна превышать 1. Например, для завода 1: х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ ≤ 1.

III этап. Выбор целевой функции

В качестве целевой функции  выбирается общий объем финансирования выполнения госзаказа, который по условию задачи должен быть минимальным:

12 х₁₁ + 16 х₁₂ + 14 х₁₃ – объем финансирования завода 1 в случае его участия в выполнении госзаказа;

7 х₂₁ + 9 х₂₂ – объем финансирования завода 2 в случае его участия  
в выполнении госзаказа;

16 х₃₁ + 15 х₃₂ + 17 х₃₃ – объем финансирования завода 3 в случае его участия в выполнении госзаказа;

5 х₄₁ + 8 х₄₂ – объем финансирования завода 4 в случае его участия  
в выполнении госзаказа.

Общий объем финансирования, предоставляемый всем заводам, участвующим в выполнении госзаказа, рассчитывается как сумма вышеприведенных выражений и должен быть минимальным.

IV этап. Построение математической модели

На этом этапе все  ограничения должны быть представлены в виде неравенств или уравнений  относительно управляемых переменных. Цель задачи записывается в виде функции от  управляемых переменных. 

Математическая модель задачи имеет вид:

Z = 12 х₁₁ + 16 х₁₂ + 14 х₁₃ + 7 х₂₁ + 9 х₂₂ + 16 х₃₁ + 15 х₃₂ + 17 х₃₃ +  
+ 5 х₄₁ + 8 х₄₂ à min,

100 х₁₁ + 200 х₁₂ + 200 х₁₃ + 50 х₂₁ + 80 х₂₂ + 100 х₃₃ + 100 х₄₁ + 100 х₄₂ + 50 х₄₃ ≥ 350;

200 х₁₁ + 100 х₁₂ + 150 х₁₃ + 200 х₃₁ + 250 х₃₂ + 100 х₃₃ + 40 х₄₁ + 60 х₄₂ + 50 х₄₃ ≥ 250;

300 х₁₁ + 250 х₁₂ + 250 х₁₃ + 120 х₂₁ + 100 х₂₂ + 100 х₃₁ + 50 х₃₂ + 50 х₃₃ + 60 х₄₁ +

+ 100 х₄₂ ≥ 400;

100 х₁₁ + 50 х₁₂ + 100 х₁₃ + 100 х₂₁ + 50 х₂₂ + 50 х₄₁ ≥ 150;

50 х₁₁ + 100 х₁₂ + 80 х₁₃ + 100 х₃₁ + 100 х₃₂ + 80 х₃₃ + 150 х₄₁ + 100 х₄₂ ≥ 150;

х₁₁ + х₁₂ + х₁₃ ≤ 1;

х₂₁ + х₂₂ ≤ 1;

х₃₁ + х₃₂ + х₃₃ ≤ 1;

х₄₁ + х₄₂ ≤ 1.

Исходя из здравого смысла, очевидно, что управляемые переменные данной задачи принимают только двоичные значения (1 или 0) и не могут быть отрицательными. Условие неотрицательности переменных задается в окне «Параметры» процедуры «Поиск решения». Условие двоичности переменных задается добавлением ограничения, для чего в поле «Ссылка на ячейку» задаются адреса управляемых переменных, а вместо знака указывается вид переменных – двоичные (рис. 14).

 

 

 

 

 

Рис. 14. Задание условия двоичности переменных

V этап. Выбор метода решения и численное решение задачи

Сформированная модель относится к задачам линейного программирования и решается симплексным методом с использованием ППП Excel по уже описанной нами схеме.

 

VI этап. Анализ полученного решения

Отчет по результатам  проведенного решения представлен  на  
рис. 15. Отметим, что отчет по устойчивости решения для задач с двоичными управляемыми переменными не выводится.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 15. Отчет по результатам решения задачи о выполнении госзаказа

Согласно полученным результатам минимально возможный объем финансирования составил 38 млн р. В выполнении госзаказа

завод 1 принимает участие по 3-му варианту (х₁₁ = 0; х₁₂ = 0; х₁₃ = 1);

завод 2 принимает участие по 1-му варианту (х₂₁ = 1; х₂₂ = 0);

завод 3 принимает участие по 3-му варианту (х₃₁ = 0; х₃₂ = 0; х₃₃ = 1);

завод 4 не принимает участия в выполнении госзаказа (х₄₁ = 0; х₄₂ = 0).

Об участии заводов  в выполнении госзаказа можно  судить еще и по столбцу «Значение» таблицы «Ограничения».

Достигнутые в результате решения задачи объемы выпуска также указаны в столбце «Значение» таблицы «Ограничения». По столбцу «Разница» можно определить, что изделия 1 и 2-го видов выпускаются строго  
в плановых объемах. План по 3, 4 и 5-му изделиям перевыполнен на величины 20, 50 и 10 ед. соответственно.

 

Вопросы для  самопроверки

2.1. Какой экономический  смысл может иметь целевая функция в задачах оптимизации?

2.2. Какие типы ограничений могут вводиться в математическую модель оптимизационной задачи?

2.3. Что позволяет определить решение комплектной модели?

2.4. В каких случаях решается t-модель?

 

Контрольные вопросы

6. Что такое управляемые переменные в задачах оптимизации?
7. С помощью какого математического метода решаются задачи линейной оптимизации?

2.8. Перечислите причины неразрешимости задачи оптимизации.

2.9. С чем может быть связан неограниченный рост или неограниченное падение целевой функции в задачах оптимизации?

2.10. По какой причине может быть несовместна система ограничений в задаче оптимизации?

2.11. Как по результатам решения определить избытки ресурсов?

2.12. Как по результатам решения определяются полностью израсходованные ресурсы?

2.13. Что показывает нормированная стоимость?

2.14. Что показывает теневая цена?

2.15. Какие ресурсы в небольших объемах взаимозаменяемы?

2.16. В рамках какой теории математического программирования обосновывается рентабельность выпускаемых изделий?

2.17. Дайте характеристику показателя «Допустимое увеличение» Отчета по устойчивости полученного оптимального решения.

2.18. Дайте характеристику показателя «Допустимое уменьшение» Отчета по устойчивости полученного оптимального решения.

2.19. Как и с какой целью строится интервал устойчивости?

2.20. Какие переменные называются бинарными?

2.21. В каких случаях при решении задач оптимизации используются бинарные переменные?

2.22. Какая процедура ППП Excel позволяет выполнить решение задачи оптимизации?

2.23. Как устраняется неразрешимость задач оптимизации?

2.24. Когда наращивание ресурса нецелесообразно?

2.25. Перечислите этапы экономико-математического исследования.

 

Ответы на вопросы для  самопроверки

2.1. Целевая функция  представляет собой максимум или минимум основного экономического показателя решаемой задачи.

2.2. Ресурсные, плановые, технологические.

2.3. Долю планового  задания, выполняемого на имеющихся  ресурсах.

2.4. Когда возникает  необходимость определить недостающий  объем ресурсов.

2.5. Оптимальный компромисс  между двумя основными показателями, например, максимум прибыли при минимуме затрат.

 

 

Библиографический список

 

1. Афанасьев М.Ю., Суворов Б.П. Исследование операций в экономике. М., 2003.
2. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. М., 2001.
3. Горчаков А.А., Орлова И.В. Компьютерные экономико-математические модели. М., 1996.
4. Компьютерное моделирование менеджмента / Горшков А.Ф., Евтеев Б.В., Коршунов В.А. и др. М., 2004.
5. Экономические расчеты и оптимизационное моделирование в среде Excel / Дубина А.Г., Орлова С.С., Шубина И.Ю., Хромов А.В. СПб, 2004.
6. Ерохина Р.И., Самраилова Е.К. Анализ и моделирование трудовых показателей на предприятии. М., 2000.
7. Карлберг К. Бизнес-анализ с помощью Microsoft Excel. М., 2005.
8. Кочкина Е.М., Радковская Е.В. Методы исследования и моделирование национальной экономики. Екатеринбург, 2001.
9. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании. М., 2000.
10. Лихтенштейн В.Е., Павлов В.И. Экономико-математическое моделирование.  М., 2001.
11. Орлова И.В. Экономико-математическое моделирование. М., 2005.
12. Попов Л.А. Анализ и моделирование трудовых показателей. М., 1999.
13. Ханк Д.Э., Уичерн Д.У., Райтс А.Дж. Бизнес-прогнозирование. М., 2003.
14. Шапкин А.С., Мазаева Н.П. Математические методы и модели исследования операций. М., 2006.
15. Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели. М., 2005.
16. Фомин Г.П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности. М., 2001.
17. Эйдинов Р.М. Финансово-экономическое моделирование. Екатеринбург, 1998.

¹ Формулы расчета задаются с использованием соответствующих адресов ячеек электронной таблицы. Например, чтобы указать общие трудозатраты на выпуск продукции А (9 ∙ x₁) нужно в предварительно выбранную ячейку записать формулу: = С7 * С13. Для записи произведений массивов данных может быть использована встроенная математическая функция СУММПРОИЗВ.

² При отсутствии в меню «Сервис» пункта «Поиск решения» следует выбрать опцию «Надстройки» и установить флажок, активизирующий «Поиск решения».

³ Незначительные расхождения в результатах вызваны погрешностями округления при вычислениях.