Методы исследования и моделирование национальной экономики

Неограниченный рост целевой функции невозможен, так как ограничены запасы ресурсов, которыми располагает предприятие. Для записи системы ограничений решаемой задачи следует записать неравенства по расходу имеющихся ресурсов.

Запишем выражение для  расчета ожидаемых затрат сырья. По условию задачи на одну единицу изделия А затрачивается 6 кг сырья, тогда на весь ожидаемый выпуск изделия А (х₁) будет затрачено 6 ∙ х₁ кг. На все выпускаемые изделия В будет затрачено 2 ∙ х₂ кг и т.п. Таким образом, выражение для расчета ожидаемых затрат сырья имеет вид:

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 5 ∙ x₅ .

Поскольку ожидаемые  затраты сырья не могут превысить  имеющихся запасов сырья, то:

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 5 ∙ x₅ ≤ 6000.

Рассуждая аналогично, запишем  ограничения по использованию фонда времени оборудования и комплектующих:

5 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 5 ∙ x₄ + 4 ∙ x₅ ≤ 7 500,

4 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄ + 2 ∙ x₅ ≤ 4 300.

Таким образом нами сформированы ресурсные ограничения задачи.

Кроме того, в условиях заключенного контракта оговорено, что потребность в продукции В составляет не менее 100 ед. Выполнение этого требования обусловливает ввод в математическую модель планового ограничения, которое имеет вид:

x₂ ≥ 100.

Анализ условия задачи позволяет сделать вывод об отсутствии третьего типа ограничений – технологических.

В результате нами сформирована математическая модель задачи:

Z = R – VK à max,

6 ∙ x₁ + 2 ∙ x₂ + 7 ∙ x₃ + 4 ∙ x₄ + 5 ∙ x₅ ≤ 6000,

5 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 4 ∙ x₃ + 5 ∙ x₄ + 4 ∙ x₅ ≤ 7500,

4 ∙ x₁ + 3 ∙ x₂ + 5 ∙ x₃ + 2 ∙ x₄ + 2 ∙ x₅ ≤ 4300,

x₂ ≥ 100.

Исходя из здравого смысла, очевидно, что объемы выпуска продукции не могут быть отрицательными, т.е.

x₁ ≥ 0; x₂ ≥ 0; x₃ ≥ 0; x₄  ≥ 0; x₅  ≥ 0.

 

V этап. Выбор метода решения и численное решение задачи

Оптимизационная задача – это всегда задача математического программирования, т.е. задача определения численных значений управляемых переменных, максимизирующих или минимизирующих целевую функцию. В простейшем случае (как, например, в решаемой задаче) целевая функция и ограничения задачи являются линейными. Задача линейного программирования относится к задачам отыскания условного экстремума функции. Однако к решению этих задач нельзя применить хорошо разработанные методы математического анализа. Для их решения были созданы специальные вычислительные методы. К числу наиболее распространенных вычислительных методов относится симплексный метод, реализующий идею последовательного улучшения решения. Метод универсален, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования, записанную в каноническом виде. Идея симплексного метода заключается в том, что, начиная с некоторого опорного решения, осуществляется последовательное направленное перемещение по опорным решениям задачи к оптимальному. В пользу названного метода говорит тот факт, что под него разработано многочисленное стандартное программное обеспечение,  
в частности надстройка «Поиск решения» в среде ППП Microsoft Excel.

К сожалению, симплексный  метод не всегда позволяет получить целочисленные значения управляемых переменных, поэтому в тех случаях, когда это необходимо, на переменные дополнительно накладываются ограничения целочисленности.

При решении более  сложных задач, например, формирования оптимального портфеля ценных бумаг, используется аппарат нелинейного программирования.

Однако в тех случаях, когда округление результатов не несет существенной погрешности, есть смысл свести задачу к задаче линейного программирования и использовать для ее решения симплексный метод, поскольку в этом случае исследователь получает гораздо более богатый материал для дальнейшего анализа.

VI этап. Анализ полученного решения и корректировка модели

В результате решения  задачи возможны следующие исходы:

целевая функция модели не ограничена;

система ограничений модели несовместна и задача имеет недопустимое решение;

получены численные  значения управляемых переменных и целевой функции.

Если целевая функция  математической модели не ограничена, значит, в системе ограничений задачи не учтены одно или несколько существенных ограничений. В этой ситуации следует вернуться ко второму  этапу экономико-математического исследования и повторить анализ существенных ограничений.

Если задача имеет недопустимое решение, значит, система ограничений задачи несовместна. Как правило, это вызывается конфликтом между ресурсными и плановыми ограничениями задачи (имеющихся ресурсов не хватает для выпуска продукции в требуемом объеме). Методы устранения несовместности системы ограничений задачи линейного программирования будут рассмотрены ниже.

В наиболее благоприятном  случае, когда получены численные  значения управляемых переменных и целевой функции, проводится развернутый анализ результатов решения и его устойчивости.

2.1.2. Процедура решения задачи в среде ППП Microsoft Excel

Таблица с исходными данными задачи расположена на листе Excel и имеет вид:

	B	C	D	E	F	G	H
3	Ресурсы	Изделие А	Изделие В	Изделие С	Изделие D	Изделие E	Объем   ресурсов
4	Сырье, кг	6	2	7	4	5	6 000
5	Оборудование, ст.-час	5	3	4	5	4	7 500
6	Комплектующие, шт.	4	3	5	2	2	4 300
7	Трудоресурсы, чел.-час	9	4	5	4	8
8	Цена реализации, р.	2 580	1 780	2 850	1 480	1 700

Для получения численного решения задачи сформированную нами экономико-математическую модель следует  записать с использованием адресов ячеек электронной таблицы. В первую очередь резервируем пустые ячейки под управляемые переменные (ячейки С13 : G13):

	C	D	E	F	G
11	x1	x2	x3	x4	x5
12	Изделие А	Изделие В	Изделие С	Изделие D	Изделие E
13

Целевая функция задачи записывается в виде формулы согласно математической модели в одну из ячеек электронной таблицы.

В нашем случае целесообразно  схему расчета целевой функции Z задать поэтапно, т.е. предварительно записав выражения для расчета всех компонентов целевой функции в отдельных ячейках¹.

	B	C	D
16	Трудозатраты, чел.-час	Т	= СУММПРОИЗВ(C7:G7;C13:G13)
17	Кредит, р.	K	= D16*150
18	Проценты по кредиту	Р	= D17*14%*5/12
19	Возврат кредита, р.	VK	= D17+D18
20	Денежная  сумма, полученная от реализации продукции, р.	R	= СУММПРОИЗВ(C8:G8;C13:G13)
21	Денежная  сумма, оставшаяся после выплаты кредита, р.	Z	= D20 – D19

До использования процедуры «Поиск решения» и получения значений управляемых переменных х_i в ячейках с формулами (D16 : D21) будут выводиться нулевые значения.

Далее в рамках компьютерного  формирования математической модели необходимо записать выражения для ресурсных и плановых ограничений задачи:

	B	C	D	E
24	Ресурсы	реально использовано	<=	запас ресурса
25	Сырье, кг	= СУММПРОИЗВ(C4:G4;C13:G13)	<=	6 000
26	Оборудование, ст.-час	= СУММПРОИЗВ(C5:G5;C13:G13)	<=	7 500
27	Комплектующие, шт.	= СУММПРОИЗВ(C6:G6;C13:G13)	<=	4 300
28
29		реально выпущено	>=	плановое  задание
30	Изделие В	= D13	>=	100

Таким образом в ячейках электронной таблицы полностью записана экономико-математическая модель решаемой задачи.

После того, как  математическая модель задачи сформирована, приступаем к процедуре поиска решения. В меню «Сервис» выбираем пункт «Поиск решения»². В открывшемся окне диалога «Поиска решения» заполняем поля, характеризующие сформированную математическую модель (рис.1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1. Окно диалога «Поиск решения»

В поле «Установить целевую ячейку» указывается адрес ячейки, содержащей выражение для расчета целевой функции Z. В поле «Равной» указывается направление оптимизации, в нашем случае это максимум.  
В поле «Изменяя ячейки» указываются адреса ячеек, содержащих управляемые переменные. Поле «Ограничения» позволяет добавить, изменить  
и удалить ограничения задачи, используя соответствующие команды с правой стороны поля.

Для ввода ограничения  выбираем команду «Добавить». В результате диалоговое окно «Поиск решения» сворачивается и появляется окно диалога «Добавление ограничения», в котором необходимо заполнить все открывшиеся поля. В поле «Ссылка на ячейку» указываются адреса ячеек, содержащих левые части неравенств и уравнений системы ограничений. Ограничения, имеющие одинаковый знак (например, все ресурсные ограничения), можно вводить одновременно, ссылаясь на смежный блок клеток электронной таблицы. Например, при вводе ресурсных ограничений в поле «Ссылка на ячейку» указываются адреса ячеек, содержащих формулы затрат ресурсов (С25 : С27). В следующем поле выбирается знак ограничения, для ресурсных ограничений это знак «меньше или равно». В поле «Ограничения» указываются адреса ячеек, содержащих правые части неравенств и уравнений системы ограничений. В нашем случае при вводе ресурсных ограничений в поле «Ограничения» указываются адреса ячеек, содержащих значения исходных запасов ресурсов (Е25 : Е27) (рис. 2).

Рис. 2 Окно диалога «Добавление ограничения»

 

 

 

 

Рис. 2. Окно диалога «Добавление ограничения»

Принцип ввода плановых и технологических ограничений  полностью аналогичен. После ввода ограничений нажимается кнопка «ОК»,  
и система возвращается в окно диалога «Поиск решения». Для выбора метода решения необходимо нажать кнопку «Параметры» и в открывшемся окне диалога «Параметры поиска решения» установить флажки в полях «Линейная модель» и «Неотрицательные значения» (рис. 3).

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 3. Окно диалога «Параметры поиска решения»

После ввода параметров модели нажимается кнопка «ОК» и система вновь возвращается в окно диалога «Поиск решения».

Для получения численного решения задачи следует нажать кнопку «Выполнить». В появившемся окне диалога следует в поле «Тип отчета» отметить позиции «Результаты» и «Устойчивость» и нажать «ОК» (рис. 4).

 

 

 

 

Рис. 4. Окно диалога «Результаты поиска решения»

В результате на листе, содержащем математическую модель задачи, выводится оптимальное решение задачи – значения управляемых переменных, максимальная величина целевой функции и значения левых частей ограничений:

	B	C	D	E	F	G
11		x1	x2	x3	x4	x5
12		Изделие А	Изделие В	Изделие С	Изделие D	Изделие E
13		0	100	733	167	0
14
15
16	Трудозатраты, чел.-час	Т	4 733
17	Кредит, р.	K	710 000
18	Проценты  по   кредиту, р.	Р	41 417
19	Возврат кредита, р.	VK	751 417
20	Денежная  сумма, полученная от реализации продукции, р.	R	2 514 667
21	Денежная  сумма, оставшаяся после выплаты  кредита, р.	Z	1 763 250
22
23
24	Ресурсы	затраты ресурса	<=	запас ресурса
25	Сырье, кг	6 000	<=	6 000
26	Оборудование,   ст.-час	4 067	<=	7 500
27	Комплектующие, шт.	4 300	<=	4 300
28
29		реально  выпущено	>=	плановое  задание
30	Изделие В	100	>=	100