Самостоятельная работа как средство развития творческого мышления учащихся старших классов в условиях дифференцированного обучения мат

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4 уровень.

Цели самостоятельной  работы:

• ученик знает и умеет обосновать основные определения, формулы и свойства геометрической прогрессии, переносит знания на нестандартные случаи, имеет понятие о рекуррентных формулах и умеет работать с ними;
• ученик умеет доказывать равенства, состоящие из членов геометрической прогрессии, строит график функции, который задает геометрическая прогрессия, решает текстовые задачи повышенного уровня сложности с применением знаний о геометрической прогрессии.

 

1 блок. Проверка теоретических  знаний.

Вопросы и задания.

Баллы

Сформулируйте и докажите условия убывания геометрической прогрессии. Докажите достаточность условий признака геометрической прогрессии. Постройте график функции, являющийся геометрической прогрессией на множестве натуральных чисел. Доказать равенство: bk²=bk-1bk+1 для k≥2. Могут ли три числа одновременно составлять арифметическую и геометрическую прогрессию? Докажите, что если является геометрической прогрессией, то выполняется равенство     (b1²+b2²+…+bn-1²)(b2²+b3²+…+bn²)=(b1b2+b2b3+…+bn-1bn)².

1   1   2 2   2     2

 

 

 

 

2 блок. Самоконтроль и  самооценка.

Задачи.

Баллы

Последовательность {xn} при n>2 определяется рекуррентной формулой xn+1=2xn-xn-1+1, где x1, x2 – заданные числа. Выразить xn через x1, x2 и n. Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех ее членов в три раза больше суммы членов, стоящих на четных местах. Определить знаменатель прогрессии. В трех растворах проценты содержания (по массе) спирта образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4, то получится раствор, содержащий 32% спирта, если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 22% спирта. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор? Найти Sn=1+2а+3а²+4а³+…, а≠0.                                                                                                                                      2/9                                     16/9 5) b1,b2,… - геометрическая прогрессия. b1b2= 2 – 1; b9b10 = 4 – 2.            Вычислить: b1b2+ b2b3+…+ b9b10. 6) Даны две бесконечные  геометрические прогрессии со  знаменателем  |q|<1 , различающиеся только знаками их знаменателей. Их суммы соответственно равны S1 и S2. Найти сумму S бесконечной геометрической прогрессии, составленной из квадратов членов любой из данных прогрессий. Установить связь между S1, S2 и S. Определить бесконечно убывающую геометрическую прогрессию, в которой второй член равен 6, а сумма членов равна 1/8 суммы квадратов ее членов. Доказать, что три числа sinα/6, cosα, tgα составляют геометрическую прогрессию только при α=±π/3+2kπ, где k=±1,±2,...                                                                     2          3          4                        99 Найти сумму: 1+2*2+3*2+4*2+5*2+…+100*2.   Могут ли числа 12, 13, 14 быть членами одной и той же геометрической прогрессии?

1       1             1 1   1           1   1     1   1 1

 

После прохождения каждого  уровня ученик выставляет себе суммарную оценку (максимально 20 баллов за уровень) и переводит ее в пятибалльную систему по следующей схеме:

20 – 18 баллов – «5»,

17 – 14 баллов – «4»,

13 – 10 баллов – «3»,

ниже 10 баллов – «2».

Если ученик прошел уровень  на оценки 5 или 4, то он может переходить на уровень выше. При прохождении всех уровней ученик может переходить к работе над проектом по пройденной теме. Образец такого проекта предложен в следующем параграфе данной работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2. Применение метода проектов как способа организации самостоятельной работы учащихся в условиях дистанционного обучения.

В последние годы в разных странах  обратили внимание на возможности использования  компьютерных телекоммуникационных технологий для организации обучения. Компьютерные телекоммуникации обеспечивают эффективную обратную связь, которая предусматривает как организацию учебного материала, так и общение (через электронную почту, телеконференцию) с преподавателем, ведущим определенный курс. Такое обучение на расстоянии получило название дистанционного обучения.

Понятие дистанционное  обучение еще недостаточно нам знакомо, часто его просто воспринимают как  синоним заочного обучения. Рассмотрим особенности дистанционного обучения.

Основное отличие –  это самые современные на сегодняшний день методы обучения: и с позиции методологии с применением новаций в области педагогики и психологии, и с точки зрения использования новых информационных технологий и систем мультимедиа как необходимого условия самого учебного процесса. Дистанционное обучение получает все более широкое распространение, поскольку способствует удовлетворению образовательных потребностей общества. Оно не снижает качества обучения, которое соответствует государственным образовательным стандартам; дает возможность получить образование в самые короткие сроки; эффективно действует на любом расстоянии от учебного центра.

Основа дистанционного обучения - самостоятельная работа учащегося со всеми специально подобранными по теме его курса учебными материалами: литературой, записями на аудио- и видеокассетах, компьютерными программами. Значительную роль в образовательном процессе играет преодаватель-консультант.

Характеристика дистанционного образования:

• уникальная доступность;
• модульное построение, каждый может выбрать себе курсы по потребностям;
• низкие относительные затраты на обучение, что связано с малой потребностью в аудиториях и преподавателях;
• высокая мобильность;
• максимальная экономия свободного времени обучаемого.

Примером применения дистанционного обучения является метод проектов. Мы рассматриваем этот метод в сочетании с традиционными методами обучения в качестве дополнительного элемента, действенного в организации самостоятельных работ учащихся. [30, 84]

Здесь происходит явная  активизация субъектной роли обучающегося, поскольку применение проектной деятельности в ходе усвоения учащимися учебного курса способствует преобразованию процесса обучения в процесс самообучения: обучаемый сам выбирает образовательную траекторию в детально разработанной и умело организованной учебной среде стремится освоить учебный материал в процессе творческой деятельности.

Проектирование личностно-ориентированного процесса предполагает:

• выделение ученика как субъекта, признание его основной ценностью всего образовательного процесса;
• развитие способностей ученика как индивидуальных возможностей, признание того, что развитие индивидуальных способностей – основная цель образования;
• предоставление каждому обучающемуся возможности проектировать собственную образовательную траекторию на основе выбора содержания образования в соответствии с направленностью приоритетных образовательных областей и с прогнозируемым уровнем достижений по учебному предмету;
• создание условий для осуществления деятельностного подхода к обучению, разработку обучающих технологий, обеспечивающих перевод обучающегося в режим саморазвития.

Избранная форма организации  обучения позволяет повысить эффективность  обучения, обеспечивая систему действенных  обратных связей, что в свою очередь  способствует развитию личности не только обучающихся, но и педагогов, принимающих участие в проектной деятельности, предоставляя им новые возможности самореализации, осмысление собственного опыта, мастерства, дальнейшего углубления педагогического сотрудничества, направленное на укрепление межпредметных связей, выработку единства требований, что в конечном счете способствует оптимизации учебного процесса на основе его информатизации. [30, 85]

Таким образом, применение метода проектов в развитой информационной среде способствует становлению  и укреплению новых позиций субъектов образовательного процесса.

 

Проект на тему «Геометрическая  прогрессия»

Цели проекта:

повторение и обобщение  понятия геометрической прогрессии, систематизация основных свойств геометрической прогрессии, формирование у учащихся творческого подхода к решению нестандартных задач по данной теме, развитие умений отличать геометрическую прогрессию среди числовых последовательностей с использованием теоретических знаний, развитие способностей к доказательному рассуждению, развитие умений аргументировать свои мысли, развитие познавательного интереса учащихся, использование компьютера на уроках математики.

 

 

I. Теоретический материал.

Определение. Геометрической прогрессией называется такая числовая последовательность, в которой первый член отличен от нуля, а каждый из последующих равен предыдущему, умноженному на некоторое постоянное для данной последовательности число, отличное от нуля. Это число называется знаменателем геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия задается своим первым членом и знаменателем.

Любой член геометрической прогрессии можно вычислить по формуле

    n-1

bn=b1· q       ,

где bn – член прогрессии с номером n, b1 - первый член и q – ее знаменатель.

Доказательство.

Возьмем произвольное натуральное n. Из определения геометрической прогрессии следует

                                     2                           n-1

bn =bn-1·q = bn-2·q      =…= b1·q     .

 

 Эта цепочка состоит  из n неравенств, поэтому для любого конечного n она может быть выписана. Следовательно, любой член геометрической прогрессии можно вычислить, зная его номер, первый член прогрессии и ее знаменатель.

Замечание. Эта формула может быть также доказана методом математической индукции.

Определение. Если каждый член числовой последовательности больше предыдущего, то последовательность называется возрастающей, если меньше предыдущего, то убывающей.

Геометрическая прогрессия возрастает, если

         b1>0, q>1 или b1 < 0, 0<q<1.

Геометрическая прогрессия убывает, если

         b1<0, q>1 или b1 > 0, 0<q<1.

Признак геометрической прогрессии. Последовательность положительных чисел является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, начиная со второго, является средним геометрическим предшествующего и последующего членов.

Доказательство. Необходимость.

Из определения геометрической прогрессии следует, что

                                                       bn+1              bn+2

=

                                                        bn                  bn+1

 

Выразив из этого равенства bn+1, получим

b²n+1 =bn+2 ·bn

Так как члены прогрессии положительны, можно записать

bn+1 =√bn+2 ·bn

Все преобразования можно  проделать и в противоположную сторону, поэтому достаточность условий тоже доказана.

Теорема доказана.

Замечание. Признак геометрической прогрессии можно расширить на другие случаи. Если ее члены отрицательны, получим

bn+1 = - √bn+2 ·bn

Если знаки членов последовательности чередуются, получим

n+i

bn+1 =(-1)  √bn+2 ·bn,

где i =0 или 1.

Если на плоскости  нанести точки с координатами (bn, n), где n - номер, а bn – n-й член некоторой геометрической прогрессии, у которой q>0, то все точки будут лежать на графике функции

                x-1

y=b1· q  ,

 где q – знаменатель прогрессии, а b1 – ее первый член.

Это означает, что

Геометрическая прогрессия при  q>0 является показательной функцией, заданной на множестве натуральных чисел.

 

Теорема. (Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии).

Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна

bnq – b1

                                                 Sn=

q - 1

при q ≠ 1 и Sn = n ∙ b1 при q = 1.

Определение. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если ее знаменатель q по абсолютной величине меньше единицы.

Определение. Суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии называется число, к которому сумма n первых членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии неограниченно приближается с неограниченным ростом n.

b1

                                                      S =

1 – q

 

II. Первичная диагностика усвоения знаний.

Тест.

1. Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если

b2= - ½ и b4= -1/72.

1. b1=3, q=1/6;

б)  b1=-3, q=1/6;

в)  b1=-3, q=1/6, b1=3, q=-1/6.

2. Между числами 1/3 и 27 вставить три числа так, чтобы получилось пять последовательных членов геометрической прогрессии.

а) 1, 3, 9; -1, 3, -9;

б) -1, -3, -9; 1, 3, 9;

в)  1, 3, 9.

3. Вычислить первый член и знаменатель геометрической прогрессии, если b1+b2=60, b1+b3=51.

а) b1=48, q = 0,6;

б) b1= 37,5  q = 0,6;

в) b1=48 q =0,24.

4. Записать бесконечную периодическую дробь в виде десятичной 0,4444…

а) 2/9;

б) 1/9;

в) 4/9.

5. Найти сумму чисел 3+6+12+..+96, если ее слагаемые являются последовательными членами геометрической прогрессии.

а) 180;

б) 189;

в) 210.

6. Найти номер подчеркнутого члена геометрической прогрессии 4, 12, 36,…,324,…