Самостоятельная работа как средство развития творческого мышления учащихся старших классов в условиях дифференцированного обучения мат

а) 5;

б) 6;

в) 10.

7. Если q>0, геометрическая прогрессия будет

а) возрастающей;

б) убывающей;

в) ни той, ни другой.

8. В геометрической  прогрессии найти q, если b2=3 и b4+b6=60;

а) 3 или –3;

б) 2 или – 2;

в) 2.

9. В геометрической  прогрессии найти S5, если b3-b1=24 и b5-b1=624.

а) 781 или 521;

б) 784 или 413;

в) 521.

10. Арифметической или  геометрической является последовательность 

1, 2, 2, 2, …

а) арифметической;

б) геометрической;

в) ни той, ни другой.

III. Комбинированные задачи.

                                                              2    3           99

1. Решите уравнение:  1+х+х+х+…+х   =0.

 

2. Известно, что х1 и х2 – корни уравнения х²-3х+а=0, х3, х4 – корни уравнения х²-12х+b=0, причем числа х1, х2, х3, х4 составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти а и b.

3. Бригада рабочих  могла выполнить всю работу  за 24 часа, если бы работали все  рабочие. Однако по плану в  первый час работал один рабочий,  во второй час – два рабочих,  в третий час – три рабочих  и т д. до тех пор, пока  в работу не включились все  рабочие. И только несколько часов перед завершением работы работали все члены бригады. Время работы, предусмотренное планом, было бы сокращено на 6 часов, если бы с самого начала работы работала вся бригада, за исключением пяти рабочих. Найти количество рабочих в бригаде.

4. Решить уравнение  1+2х+4х²+…+(2х)ª+…=3,4 – 1,2х, если известно, что 

|х| < 0,5.

5. Найти сумму корней  уравнения:

                             sin³х+1

2cos²х+ctg²х=                      , принадлежит промежутку 2≤х≤40.

                               sin²х

 

IV. Задачи на доказательство.

1. Доказать, что если  – последовательные члены арифметической  прогрессии, а  - последовательные  члены геометрической прогрессии, то 

                                   a1b1 – an+1bn+1           b2 – bn+1q

a1b1+a2b2+…+anbn =                         + d                   ,

                                       1-q                     (1 - q)²

                                           

  где d – разность арифметической прогрессии, q - знаменатель геометрической прогрессии, q≠1.

2. Найти четыре числа,  первые три из которых составляют  арифметическую прогрессию, а последние  три – геометрическую, если сумма  крайних чисел равна 11, а сумма  средних чисел равна 10.

6. Доказать равенство: √ 11…1 – 22…2 =33…3, причем 1 взяты 200 раз, 2 и 3 по 100 раз.

4. Доказать тождество:

            2              n 2       n                         n-1                           n+1

(1+х+х +…+х ) – х  = (1+…+х    )(1+х+…+х    ).

5. Даны арифметическая и геометрическая прогрессии с положительными членами. Первые и вторые члены этих прогрессий совпадают. Доказать, что всякий другой член арифметической прогрессии не больше соответствующего члена геометрической прогрессии.

V. Задачи, предложенные на вступительных экзаменах.

1. Решить уравнение:

         2х+1+х² - х³+…=13/6, где |х|<1.

2. Сократить дробь

                       х+ху²+ху+х²у+у

                       х+х³у+х²у²+ху³+у   

3. Найти условия, при  которых квадраты трех последовательных  членов арифметической прогрессии  являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии.

4. Три числа образуют  геометрическую прогрессию. Если  второе число увеличить на 2, то  прогрессия станет арифметической, а если после этого увеличить  последнее число на 9, то прогрессия  снова станет геометрической. Найти эти числа.

5. Доказать, что сумма  первого, четвертого и восьмого  членов геометрической прогрессии  не больше, чем – 1,5, если первый  член прогрессии – меньший  корень уравнения х +16 = 8х²+3√4-х².

6. Числа a, b, c, d составляют геометрическую прогрессию. Найдите значение выражения (a-c)² + (b-c)²+ (b-d)² – (a-d)².

7. Найдите отношение  третьего члена убывающей геометрической  прогрессии к пятнадцатому ее  члену, если сумма двенадцати  членов этой прогрессии, начиная  с тринадцатого, составляет 40% суммы ее начальных двенадцати членов.

8. Сумма членов бесконечно  убывающей геометрической прогрессии  равна наибольшему значению функции  ƒ(х)=х³+3х – 9 на отрезке [-2; 3], разность между первым и вторым  членами прогрессии равна ƒ´(0). Найдите знаменатель прогрессии.

9. Пусть а1,а2,а3 – арифметическая прогрессия с ненулевой разностью. Известно, что а1а2, а2а3, а3,а1 – геометрическая прогрессия. Найти ее знаменатель.

10. Сумма первых пяти  членов геометрической прогрессии  равна 62. Известно, что пятый, восьмой и одиннадцатый член этой прогрессии являются соответственно первым, вторым и десятым членами арифметической прогрессии. Найти первый член геометрической прогрессии.

 

VI. Итоговый контроль. Рейтинговая контрольная работа.

Задания

Баллы

Пусть Sn – сумма первых n членов геометрической прогрессии.  Доказать, что Sn(S3n-S2n)=(S2n-Sn)². Сумма первых трех членов убывающей геометрической прогрессии равна 14, а сумма их квадратов равна 84. Найти первый член прогрессии. В некоторой арифметической прогрессии второй член равен 14, а третий равен 16. Требуется составить геометрическую прогрессию, знаменатель которой был бы равен разности арифметической прогрессии, а сумма первых трех членов была бы одна и та же в обеих прогрессиях. Если к четырем последовательным членам арифметической прогрессии прибавить соответственно 7, 1, -3, -6, то получим 4 первых члена бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Найти сумму всех членов геометрической прогрессии (q≠0). Произведение четвертого и двенадцатого членов геометрической прогрессии равно 64. Найти абсолютную величину восьмого члена прогрессии. Последовательность {xn} при n>2 определяется рекуррентной формулой xn=(α+β)xn-1-αβxn-2, где x1, x2, α,β – заданные числа, причем α≠β. Выразить xn через x1, x2, α, β. Найдите первый член геометрической прогрессии, если известно, что ее третий член равен – 15, а его квадрат в сумме с седьмым и удвоенным пятым членами дает нуль. При каких значениях а и х прогрессия (а+х)/(а-х); (а-х)(а+х); (а-х)²(а+х)² является бесконечно убывающей? 9) Известно, что а1,…а5 – геометрическая прогрессия с положительными членами, а2а3 а4=1, а1=10000а5. Найти все члены этой прогрессии. 10) Числа x, y, z, t являются последовательными членами геометрической прогрессии. Известно, что xt=24, y³+z³ =288. Найти x+t.

2   1     3         2       1     1       2   3   2       3

 

Максимальное количество баллов – 20. Перевод в пятибалльную систему осуществляется по схеме, приведенной  в предыдущем параграфе.

 

 

 

 

 

 

§3. Экспериментальная проверка метода проектов по теме «Геометрическая прогрессия».

В целях определения  путей более эффективного применения метода проектов как способа проведения самостоятельной работы, направленной на развитие творческого мышления, нами был проведен педагогический эксперимент, предназначенный для объективного и доказательного подтверждения выдвинутой педагогической гипотезы.

Эксперимент проходил в  два этапа.

На первом этапе проходил анализ организации самостоятельных  работ в современных школах. На данном этапе был сделан вывод  о том, что самостоятельные работы составляются учителями по следующему образцу. Работа состоит в основном из пяти заданий, где за каждое правильно выполненное задание учащийся получает один балл. Это говорит об однотипности предлагаемых заданий и, следовательно, об отсутствии дифференциации обучения. Самостоятельные работы включают в себя материал, пройденный на уроках и не содержащего ничего нового для учащихся. На выполнение самостоятельной проверочной работы отводится от 10 до 20 минут, в зависимости от количества заданий, представленных в работе, и 1 академический час для выполнения  контрольной итоговой работы. Причем оба вида работ содержат, как правило, одинаковое количество заданий.

Проведенный анализ позволил сделать вывод о том, что самостоятельные  работы в школе направлены на проверку знания учащимися основных формул и выполнения заданий по уже известному образцу – алгоритму. Причем учитель при составлении самостоятельных работ ориентируется только на проверку знаний конкретной темы и не связывает пройденный материал с ранее пройденными темами, что приводит к обрывочным знаниям и неумением решать комбинированные задания.

Для выявления уровня усвоения знаний по теме «Геометрическая  прогрессия» учащимся 9 класса была предложена самостоятельная работа, содержащая по одному заданию из системы самостоятельных работ, представленной в первом параграфе данной главы.

Содержание работы:

 

1 вариант

1).Чему равна сумма  бесконечно убывающей геометрической  прогрессии, если  b1 =2, q =1/2?

2 вариант

1). Найдите сумму 6 первых  членов геометрической прогрессии, если b1=1, q =3.

 

2). Запишите признак  геометрической прогрессии для  отрицательных членов.

2).Запишите признак  геометрической прогрессии для  чередующихся членов.

 

3).Между числом 3 и неизвестным  числом вставлено еще одно  число так, что все три числа образуют арифметическую прогрессию. Если средний член уменьшить на 6, то получится геометрическая прогрессия. Найти неизвестное число.

3).Написать несколько  первых членов геометрической  прогрессии, у которой разность  между третьим и первым членами равна 9, а разность между пятым и третьим членами равна 36.

 

4).Доказать, что три  числа sinα/6, cosα, tgα составляют геометрическую прогрессию

4).Найти Sn=1+2а+3а²+4а³+…, а≠0.

 

только при α=±π/3+2kπ, где k=±1,±2,..

 

В эксперименте участвовало 28 человек. В результате было выявлено, что учащиеся 9-ых классов находятся на уровнях от нулевого до второго, так как они справились только с двумя первыми заданиями, а к решению 4-го задания никто не приступил.

Качественная оценка результатов приведена в таблице 1.

Таблица 1.

№	Выполнили верно (%)	Не приступили к решению (%)	Замечания по выполнению задания
1	93	0	Недостаточно сформировано понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии и ее суммы.
2	89	7	Учащиеся недостаточно владеют теоретическим материалом темы.
3	7	43	У учащихся не сформированы основные и нестандартные приемы работы с геометрической прогрессией.
4	0	100	Учащиеся не могут  перенести свои знания на нестандартный  случай, не умеют решать комбинированные  задачи.

 

На втором этапе была проведена работа с проектом, приведенным в параграфе 2 данной главы. Учащиеся получили задание, состоящее из следующих пунктов:

1. Изучить теоретический материал, предложенный в проекте.
2. Выполнить тест, основываясь на теоретическом материале.
3. Решить следующие задачи, содержащиеся в различных пунктах проекта:

1).Известно, что х1 и х2 – корни уравнения х²-3х+а=0, х3, х4 – корни уравнения х²-12х+b=0, причем числа х1, х2, х3, х4 составляют в указанном порядке геометрическую прогрессию. Найти а и b. {2 балла}

2).Найти четыре числа, первые три из которых составляют арифметическую прогрессию, а последние три – геометрическую, если сумма крайних чисел равна 11, а сумма средних чисел равна 10.{3 балла}

.3).Сократить дробь

                       х+ху²+ху+х²у+у

                       х+х³у+х²у²+ху³+у    {3 балла}

4).Пусть Sn – сумма первых n членов геометрической прогрессии.  Доказать, что Sn(S3n-S2n)=(S2n-Sn)².{1 балл}

5).Сумма первых трех  членов убывающей геометрической  прогрессии равна 14, а сумма  их квадратов равна 84. Найти первый член прогрессии.

{1 балл}

4. Выставить себе оценку, исходя из предложенной системы оценивания.