Шамалардың және сандардың қатынасы

Жоспар

 

Кіріспе.............................................................................3-4

 

I Шамалардың және сандардың қатынасы

1. Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы................................................5-6
2. Қатынас мүшелерінің қасиеттері, кері қатынастар.......................................7-10

II Бастауыш математика курсында қатынастарды 
оқыту

1. Қатынас ұғымы. Қатынастың қасиеттері...................................................11-18
2. Сәйкестік туралы ұғым................................................................................19-24
3. Бөлінгіштік қатынасы туралы ұғым...........................................................25-26
4. Геометриялық фигуралар және олардың қатынасы..................................27-31
5. Математикадан алғашқы ұғым беру...........................................................32-41

Қорытынды..................................................................................................42

Әдебиеттер.......................................................................................43-45 

Кіріспе

Математикада тек қана обьектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру - бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды.

Геометрияда түзулердің параллельдік, перпендикулярлық, фигуралардың теңдік, ұқсастық т.с.с. геометриялық обьектілердің арасындағы әр түрлі қатынастарды зерттейді.

Жиындарды салыстырып, олар қиылысады немесе тең, біреуі екіншісіне тиісті, т.с.с. яғни жиындар арасында да қатынастар орнатылады.

Сандардың, геометриялық фигуралардың, жиындардың және басқа да обьектілердің арасындағы белгілі бір қатыстар туралы біле отырып, оларда қандай ортақ қасиет бар екенін, әртүрлі қатыстардың жиынын қалай классификациялауға болатынын қарастырамыз.

Диплом жұмысының зерттеу әдісі

Оқушылардың ғылыми - дүниетанымдық қабілетін қалыптастыру, логикалық ойлау қабілетін дамыту, практикалық дағдылары мен ебедейліктерін дамыту және т.б өзекті мәселелердің ішінде бастауыш сынып оқушылардың қатынас туралы білімін жетілдіру

Диплом жұмысының болжамы

         Егер   бастауыш сыныпта оқушыларға шамалардың, сандардың қатынасын жетік меңгерте алсақ, онда олардың математикадан білім деңгейі жоғарылайды және т.б пәндерді оқушылардың жетелей түсінуіне,   қазіргі заман талабына сай терең білім   алуына    ықпал жасайды.

Диплом жұмысының мақсаты

Ой өрісі дамыған, сана сезімі оянған, рухани ойлау дәрежесі биік, математикадан білім деңгейі жоғары, пәнге деген қызығушылығы мол, теориялық білімді терең түсіне алатын оқушыларды тәрбиелеу.

 

 

Диплом жұмысының міндеті

Бастауыш мектепте шамалардың, сандардың т.б. қатынасын толық меңгерту арқылы оқушылардың ой - өрісін дамыту мүмкіндіктерін анықтау;

Диплом жұмысының практикалық құндылығы

Бастауыш класта математиқаны оқыту әдістемесін жетілдіруде, бастауыш мұғалімдері мен әдіскерлердің іс - тәжірібесінде қолдануға болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І. Шамалардың және сандардың қатынасы.

1.1   Шамалардың қатынасы, сандардың қатынасы.

Бір текті екі шаманың қатынасы деп бір шаманың екінші шамадан неше есе артық екендігін немесе ол, осы екінші шаманың қандай бөлігі екендігін көрсететін санды атайды. Мысалы; 4 километрдің 2 километрге қатынасы 2-ге тең, ал 20 сантиметрдің 1 метрге қатынасы 0,2-ге тең.

Бірінші жағдайда қатынас бір текті екі шаманың біреуі (4 км) екіншісінен (2 км-ден) неше есе артық екендігін көрсетеді, ал екінші жағдайда 0,2 қатынасы бірінші шама (20 см) екінші шаманың (1 л/-дің) қандай бөлігі екендігін көрсетеді.

Бұл анықтамаға карағанда бір текті шамалардың қатынасы дерексіз сан екендігі көрінеді.

Әдетте шамалардың орнына олардың сан мәндері алынады. Бұдан қашан болса да шамалардың қатынасының орнына осы шамалардың мәндерін көрсететін сандардың қатынасын алуға болады деп қорытынды шығаруға болады.

Сандардың қатынасы

Сандарды бөлуді қарастырғанымызда біз екі санның қатынасы бір санды екіншісіне бөлгенде шығатын бөлінді екендігін тағайындаған едік. Бөлшектерді енгізуге байланысты бөлуді барлық жағдайларда (әрине,  бөлуден басқаларында) орындауға мүмкіншілік туды.

Олай болса, екі санның арасындағы қатынасты анықтау дегеніміз бірінші сан екінші саннан неше есе артық екендігін немесе бірінші сан екіншінің қандай бөлігі екендігін білу деген сөз деп айтуға болады.

Екі санның қатынасы (бөлінді) бірге тең болса, онда бұл - осы екі санның тең екендігін көрсетеді; егер қатынас бірден үлкен болса, онда ол - бірінші сан екінші саннан неше есе артық екендігін көрсетеді, егер қатынас бірден кіші болса, онда ол - бірінші сан екіншінің қандай бөлігі екендігін көрсетеді.

Жоғарыда айтылған анықтамадан, берілген а мен а сандарының b қатынасы, оны q-ға көбейткенде а шығатын сан деп айтуымызға болады.

Әдетте қатынас былай жазылады: a:b=q; a саны қатынастың алдыңғы мүшесі, Ь саны оның жалғас мүшесі, ал - қатынас деп аталады.

Сандарды  әріптермен  белгілегенде  а:Ь  жазуы   кейде  бөлу амалын орындауды емес, бөлудің нәтижесін көрсететінін өскерте кетейік. Осыған сәйкес а:Ь жазуына а санының Ь санына қатынасының белгісі деп карауға болады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.2. Қатынас мүшелерінің қасиеттері, кері қатынастар.

Қатынастың алдынғы мүшесі бөлінгіш, жалғас мүшесі бөлгіш, ал қатынас бөлінді болатындықтан, а:б = q қатынастың қасиеттері бөлу амалы компоненттерінің қасиетіндей болады, атап айтқанда, ол қасиеттер мынадай:

1) Алдыңғы мүше жалғас мүше мен қатынастың көбейтіндісіне тең:

a = bq.

2. Жалғас   мүше   алдыңғы   мүшені   қатынаска   бөлгендегі 
   бөліндіге тең: b = a:q.
3. Егер   алдыңғы   мүшені   бірнеше   есе   арттырса    немесе 
   жалғас мүшені сонша есе кемітсе, онда қатынас сонша есе артады: 
   (ав):Ь = (де); (а:е): Ь= (q :в); бұл жағдайлардыц екеуінде де қатынас е 
   есе артты.
4. Егер апдыңғы мүшені бірнеше есе кемтісе немесе жалғас 
   мүшені сонша есе арттырса, онда қатынас сонша есе   кемиді: (а:с): b 
   = (q:e) немесе  a:(be) = (q:e); бұл жағдайлардың екеуінде де қатынас е 
   есе кеміді.

5) Егер алдыңғы мүшені де, жалғас мүшені де бірдей сан есе 
арттырса немесе кемітсе, онда қатынас езгермейді: (ас):( be)- b

немесе (а:е):( b-e)-q; бұл жағдайлардың екеуінде де қатынас өзгерген жоқ. Қатынастың қасиеттеріне сүйеніп: 1) қатынастың кез келген мүшесін табуға, 2) бөлшек сандардын қатынасын бүтін сандардың қатынасымен алмастыруға, 3) қатынастың мүшелерін қысқартуға болады.

6) Алдыңғы мүше кез келген сан бола алады; жалғас мүше 
нольдөн басқа кез келген сан бола алады; ноль бола алмайтын себебі 
- нольге бөлуге болмайды.

Кері қатынастар

Егер екі қатынастың біреуінін алдыңғы мүшесі екіншісінін жалғас мүшесі, ал біріншісінің жалғас мүшесі екіншісінің алдыңғы мүшесі болып табылса, онда мұндай қатынастар кері қатынастар деп аталады;  мысалы,  16:8 = 2  мен  8:16=1/2  кері қатынастар.

Берілген қатынасқа кері қатынас шығарып алу үшін, бірді осы берілген қатынасқа бөлу керек.

Бөлімдері немесе алымдары, бірдей болған жағдайларда, бөлшек сандардың қатынасын бүтін сандардың қатынасымен оңай алмастыруға болады.

Бірінші жағдайда, бөлшек сандардың қатынасын бүтін сандардың қатынасымен алмастырудағыдай, бөлшектердін қатынасы олардың тікелей алымдарының қатынасына тең болады; екінші жағдайда бөлшектердің қатынасы олардың бөлімдерінің кері қатынасына тең болады.

Екі қатынастың теңдігі пропорция деп аталады Мысалы, егер a: b-q және c:d=q болса, онда a:b=c:d теңдігі пропорция деп аталады. Пропорция жасайтын төрт сан пропорционал сандар деп аталады; бұлардың біріншісі мен төртіншісі (а мен d) пропорцияның шеткі мүшелері, ал екіншісі мөн үшіншісі (Ь мен с) орта мүшелері деп аталады.

Тура пропорционал шамалар. Егер А мен В екі шама бұлардың біреуінің кез келген екі мәнінің қатынасы екіншісінің бұларға сәйкес мәндерінің қатынасына тең боларлықтай байланыста болса, онда мұндай шамалар тура пропорционал шамалар деп аталады. Мысалы, егер  а],а2,а2....  әріптерімен А шаманың мәндерін,    ал ЬХ,Ь2,ЪУ...   әріптерімен  В  шаманың     оларға     сәйкес     мәндерін белгілесек, онда А мен В шамалар а,    b,    a,     b болғанда тура пропорционал болады.

Пропорционал шамалардың мысалы: заттың бағасы тұрақты болғандағы қүны оның массасына тура пропорционал; шеңбердің ұзындығы оның радиусына немесе диаметріне тура пропорционал;  бір қалыпты қозғалатын дененің жүретін жолы қозғалыс уақытына тура пропорционал.

Тура пропорционалдықтың белгісі. Егер берілген екі шаманың біреуінің қандай да болса бір мәні бірнеше есе артқанда немесе кемігенде, екіншісінің сәйкес мәні сонша есе артатын немесе кемитін болса, онда бұл екі шама тура пропорционал шамалар болады. Яғни біреуінің кез келген екі мәнінің қатынасы екіншісінің сәйкес екі мәнінің қатынасына тең болады.

Кері пропорционал шамалар. Егер А мен В шамалары біріне - бірі біріншісінің екі мәнінің қатынасы екіншісінің сәйкес екі мәнінің кері қатынасына тең боларлықтай түрде тәуелді болса, онда мұндай шамалар кері пропорционал шамалар деп аталады.

Егер Мысалы, егер ах,а2,аг.... әріптерімен А шаманың мәндерін, ал bl,b2,br... әріптерімен В шаманың   оларға    сәйкес    мәндерін белгілесек, онда А мен В шамалар кері пропорционал болу үшін а]    b2   ax    b3 . Кері пропорционал шамалардың мысалы: арақашықтық тұрақты болғанда, бір қалыпты қозғалыстың жылдамдығы жүріс уақытына кері пропорционал; температура тұрақты болғанда, газдың көлемі қысымға кері пропорционал; ауданы өзгермейтін тік төртбұрышты участоктың табаны мен ені өзара кері пропорционал.

Кері пропорционалдықтың белгісі. Егер екі шаманың біреуінің бір мәндерін бірнеше есе арттырғанда немесе кеміткенде, екінші шаманың сәйкес мәндері бірінші жағдайда сонаш есе кемісе, ал екінші жағдайда сонша есе артса, онда мұндай шамалар кері пропорционал болады.

Пайыздар. Бір санның   жүзден   бір бөлігі   осы санның пайызы деп аталады. Пайыздың анықтамасынан пайзы бөлімі 100 болып келген бөлшектерді   өрнектеудің   айрықша   тәсілі   екендігі көрінеді. Пайыз ұғымының түрлендірудің екі түрімен байланысы бар:

Пайыздық есептеулер күнделікті тұрмыста кең түрде қолданылады. Пайыздар, әсіресе жинақ кассаларындағы, банкалардағы, сауда орындарындағы ақша есептерінде басқа да есеп - қисап жұмыстарында жиі қолданылады.

Қаржылық операцияларының қайсыларында болса да есептеулер жүргізілетін шамаларға арнаулы атаулар қолданылады. Мысалы, банк немесе жинақ кассасына салынған ақша бастапқы капитал деп аталады; бастапқы капитал бір жылдың ішінде неше пайызға артуы (немесе кемуі) керек екендігін көрсететін сан пайыздық такса деп аталады; бастапқы капиталдың белгілі бір уақыттың ішінде берген өсімі пайыздық ақша неиесе тек, пайыз деп аталады. Пайыздық ақшамен қоса есептегенде бастапқы капитал өскен капитал деп аталады. Қаржылық есеп - қисаптарда бір жылда 360 күн, ал бір айда 30 күн бар деп есептеледі.

Егер пайыз тек бастапқы капиталдан (бір рет) есептелетін болса, онда оны жай пайыз дөп, ал егер ол өскен капиталдан (бірнеше рет) есептелетін болса, онда оны күрделі пайыз деп атайды. Күрделі пайыздар финанстық есептеулерде, халықтың өсуін, жануардың немесе өсімдіктің т.с.с. бір түрінің көбеюін есептегенде жиі қолданылады.

Пайызға берілген есептердің типтері және оларды шығарудың тәсілдері

Практикалық тұрмыста берілген есептердің көбінесе мынадай үш типі кездеседі; 1) берілген саннан пайызды табу; 2) пайызы бойынша санды табу; 3) екі санның пайыздық қатынасын табу. Финанстық операцияларға байланысты пайыздарға берген есептер айрықша орын алады.

 

ІІ. Бастауыш математика курсында қатынастарды оқыту.

2.1. Қатынас ұғымы, қатынастың қасиеттері.

Математикада тек қана объектілер емес (сан, фигура, шама т.с) олардың арасындағы қатынастар, байланыстар да зерттеледі. Натурал сан ұғымын қалыптастыру - бастауыш математика курсының негізгі ұғымы және жалпы математика сандар арасындағы әртүрлі өзара байланысты зерттей отырып дамиды. Мысалы:        5 саны 2 санынан артық;

10 саны 8 санынан 2-ге артық;

8 саны 7 санынан кейін келеді, яғни сандар өзара әртүрлі «артық», «қаншаға артық», «кейін келеді» қатынастары арқылы байланысқан.

         Геометрияда түзулердің параллельдік,перпендикулярлық, фигуралардың теңдік, ұқсастық т.с.с. геометриялық обьектілердің арасындағы әр түрлі қатынастарды зерттейді.