Шамалардың және сандардың қатынасы

Барлық қатынастар не эквивалентті, не реттік болып бөлінеді деп ойлауға болмайды. Эквивалентті де, ретті де болмайтын қатыстың түрлері өте көп.

Бастауыш мектепте «артық», «кем», «ұзын», «қысқа» қатыстары қарастырылып, сандардың және кесінділердің жиынында реттілік орнатылады.

Егер жиында реттік қатынас бар болса, онда ол реттелген жиын деп аталады. Мысалы, натурал жиынында «артық»   қатынасы   орындалады,   яғни   әрбір   натурал   сан өзінен бұрынғы саннан артық. Сондықтан N натурал сан өзінен бұрынғы саннан артық. Сондықтан N натурал сандар жиыны реттелген жиын болып табылады.

«Артық», «кем» қатынастары қатаң реттелген қатынас деп аталады. Осы қатынастармен қатар «артық немесе тең», «кем немесе тең» қатынастары қарастырылады. Бұл қатыстар да реттік қатынас болады. Оларды қатаң емес реттік қатынас деп атайды.

Қатаң емес реттік қатынастың графының ерекшелігі -оның төбесінде міндетті түрде ілгегі болады.

2.2 Сәйкестік  туралы ұғым.

Екі жиынның элементтерінің арасындағы қандай да бір байланыс жиі қарастырылады. Осындай байланысты сәйкестік деп атайды. Мысалы, кесінділердің ұзындығын өлшегенде кесінді мен нақты сандардың арасында, жазықтықтағы нүктелер мен нақты сандар қосының арасында сәйкестік бар.

X және У жиындарының элементтерінің арасындағы сәйкестік деп олардың декарттық көбейтіндісінің ішкі жиыны болатын қостардың жиының айтады.

Ақырлы жиындардың арасындағы сәйкестік график арқылы көрнекті түрде бейнелеуге болады. Мысалы, X = {3, 5, 7, 9}, У = {4, 6} жиындарының арасындағы «артық» (үлкен) деген сәйкестік график арқылы көрсетейік. Ол үшін берілген жиындардың элементтерін нүктелер арқылы кескіндеп, X жиынының элементін көскіндейтін нүктеден У жиынының элементін кескіндейтін нүктені стрелкамен қосамыз, сонда элементтердің арасындағы «артық» сәйкестігі орындалуы керек. 5 > 4 болғандықтан стрелка 5 - тен 4 - ке қарай; 7 > 4, 7 > 6 болғандықтан 7 - ден 4 - ке, 7 - ден 6 - ға қарай т.с.с. бағытталуы тиіс. (1-сызба).

 

(1-сызба)

Сонда шыққан сызба X және У жиындарының элементтерінің арасындағы «артық» деген сәйкестіктің графы болады.

X, У сандық жиындардың арасындағы сәйкестікті координаттық жазықтықтағы график арқылы да көруге болады. Ол үшін қандай да бір R сәйкестікте болатын сандардың қосын координаттық жазықтықтағы нүктелер арқылы бейнелейді. Сонда алынған фигура R сәйкестігінің графигі болады.

Жоғарыда қарастырылған мысалдағы «артық» сәйкестігінің графигін сызайық. Берілген сәйкестікте болатын сандардың қосын жазайық: (5,4), (7,4), (7,6), (9,4), (9,6). X жиынының элементтерін Ох осінің бойынан, У жиынының элементтерін Оу осінің бойынан алып, көрсетілген сандардың қосына сәйкес келетін нүктелерді координаттық жазықтықта белгілесек, X және У жиындарының элементтерінің арасындағы «артық» сәйкестігінің графигін аламыз (2 -сызба).

Енді «артық» сәйкестігін X = R және У = {4, 6} жиындарында қарастырып, оның гафигін салайық. Бұл жағдайда X жиынының элементтері бүкіл Ох осінің бойындағы нүктелерден, ал У жиыны екі элементтен тұрады. X және У жиындарының элементтері үшін «артық» сәйкестігі берілгендіктен, X жиынындағы 4 - тен артық болатын сандарды Ох осінің бойындағы 4 санына сәйкес келетін нүктенің оң жағында орналасқан. Демек, абсциссасы (4; °°) аралығынан алынған, ал ординатасы 4 - ке тең болатын АВ сәулесі 4 - тен артық сандардың графигін береді.

АВ сәулесінің басы (4;4) нүктесі графикке енбейді, себебі 4 > 4 сәйкестігі жалған. Дәл осылайша, абсциссасы (6; °°) аралығынан, ординатасы 6 - ға тең болатын СД сәулесі 6 - дан үлкен сандардың графигі болады (3 - сызба).

(3 - сызба)

 

Сонымен, X = R, Ү = {4, 6} жиындарының арасындағы «арық» сәйкестігінің графигі А және С нүктелері енбейтін АВ және СД сәулелері болады.

Әртүрлі жиындар арасындағы бір ғана «артық» сәйкестігінің граиктерінің әртүрлі екенін көрдік.

Енді нақты сандар жиынында х = R, у = R болғанда (х > у ) «артық» сәйкестігінің графигін салайық. Абсциссасы мен ординатасы тең болатын сандар I және III кординаталық ширектерден өтетін биссектрисаның бойында жатады. Абсциссасы ординатасынан үлкен болатын нүктелер осы биссектрисаның төменгі жағына орналасады (4 - сызба).

у

(4 - сызба)

 

 

Жиындар арасындағы сәйкестік ұғымы математикадағы негізгі ұғымдардың қатарына жатады. Олай болатын себебі, бұл ұғым математикадағы функция және бейнелеу сияқты аса маңызды ұғымдарды анықтаудың негізі болып табылады. Сонымен қатар кез келген ғылымда объөктілердің өздері ғана емес, олардың арасындағы байланыстар да зерттеледі. Мысалы, географияда қалалар жиыны X және елдер жиыны У арасындағы «X қаласы У еліне қарайды» деген сәйкестік қарастырылады. Физикада «х денесінің массасы у-ке тең», химияда «х затының таңбасы у болады», математикада «х фигурасының ауданы у - ке тең» деген т.с.с. сәйкестіктер қарастырылады.

Кері сәйкестік X = {3, 5, 7}, У = {4, 6} жиындарының элементтерінің арасындағы R - «артық» сәйкөстігі берілсін. Сонда R = {5,4}, {7,4}, {7, 6} және оның графы 5 - сызбадағыдай болады.

Осы графтағы стрелкалардың бағытын кері өзгертейік. Сонда У және X жиындарының элементтерінің арасындағы «кем» сәйкестігінің графигі алынады (6 - сызба).

 

 

(5 - сызба) (6 - сызба)

Графы 5- сызбада кескінделген сәйкестік берілген R сәйкөстігіне кері сәйкестік деп аталып, R01 арқылы белгіленеді.

X және У жиындарының арасындағы сәйкестік R болса, онда У және X жиындарының арасындағы yRD1x болатындай RD1 сәйкестігі xRy болғанда және тек сонда ғана R сәйкестігіне кері сәйкестік деп аталады.

R және RD1 сәйкестері өзара кері сәйкестіктер деп аталады. Өзара кері сәйкестіктердің графиктерінің қандай ерөкшеліктері болатынын анықтайық.

R = {(5, 4), (7, 4), (7, 6)} сәйкестігінің графигін салайық (6 -сызба). RD1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} сәйкестігінің графигін салғанда қостың бірінші компонентін У жиынынан екінші компонентін X жиынынан алу керек. RD1 сәйкестігінің графигі R сәйкестігінің графигімен беттесетінін көреміз.

Бұл графиктерді ажырату өте қолайсыз. Сондықтан RD1 сәйкестігіндегі қостардың бірінші компонентін абсцисса осінен, екінші компонентін ордината осінен алу келісілген.

Мысалы, (5, 4) € R, онда (5, 4) € RD1.

Координаталары (5, 4) және (4, 5), жалпы жағдайда (х, у) және (у, х) болатын нүктелер I және III координаттық бұрыштардың биссөктрисасына қарағанда симметриялы болады. Сонымен, R сәйкестігіне кері R01 сәйкестігінің графигі R сәйкестінінің графигінің нүктелеріне I және III координаттық бұрыштар арқылы өтетін биссектрисаға қарағанда симметриялы нүктелерден тұрады. Сондықтан RD1 = {(4, 5), (4, 7), (6, 7)} болатын сәйкестіктің графигі 8 -сызбада бояп көрсетілген нүктелер жиынынан тұрады.

Натурал сандар жиынындағы R «х кем у-тен» сәйкестігі болса, оған кері RD1 сәйкестігі «х артық у - тен» болады. Кесінділер арасындағы «х кесіндісі у - тен ұзын» сәйкестігіне «х кесіндісі у - тен қысқа» деген сәйкестік кері болады.

Бастауыш мектептің математика курсында өзара кері сәйкестікке көп көңіл бөлінеді. Оқушылар 5 > 3 болғандықтан 3 < 5 екенін, егер АВ кесіндісі СД кесіндісінен ұзын болса, онда СД кесіндісі АВ кесіндісінен қысқа болатынын терең түсінуі керек.

Өзара бірмәндік сәйкестік. X және У жиындарының элементтерінің арасындағы барлық мүмкін сәйкестіктердің ішінен X жиынындағы әрбір элементке У жиынынан жалғыз элөмент және керісінше, У жиынының әрбір элементіне X жиынының жалғыз элементі сәйкес келетін сәйкестікті қарастырамыз. Мұндай сәйкестікті өзара бірмәнді сәйкестікдеп атайды.

Осындай сәйкестіктерге мысалдар қарастырайық.

1. A = {a, b, c, d}, B = {1, 2, 3, 4} болсын. Бұл жиындардың 
элементтерінің арасындағы сәйкестік былайша көрсетілген

 

 

.

 

А жиынындағы әрбір элементке В жиынындағы жалғыз элөмент сәйкес келеді. Сонымен қатар керісінше, В жиынындағы әрбір элементке А жиынынан жалғыз элемент сәйкес келеді. Сондықт ан A және В жиындарынының арасыандағы сәйкестік өзара бірмәнді болады.

2. X координаттық түзудің бойындағы нүктелер жиыны, у = R 
   болсын. Координаттық түзуді енгізуге байланысты түзудегі әрбір 
   нүктеге бір нақты сан (сол нүктенің координатасы) сәйкес келеді және 
   кез - келген нақты санға түзудің бойынан бір нүкте сәйкес келеді. 
   Сонда бұл сәйкестік те өзара бірмәнді болады.
3. X - координаттық жазықтықтағы нүктелер жиыны, ал У - нақты 
   сандардың қостарының жиыны болсын. Егер жазықтықтағы әрбір 
   нүктеге нақты сандардың жалғыз қосы (нүктенің координаталары) 
   сәйкес келсе және нақты сандардың әрбір қосына жазықтықтан бір нүкте сәйкес келсе, онда жазықтықтағы нүктелер жиыны мөн нақты сандардың қостарының жиынының арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады.

Математиқаның бастауыш курсында өзара бірмәнді сәйкестік ұғымы айқын түрде қолданылмайды: оған санау және сандарды салыстыру процесі негізделген. Мысалы, 3 = 3 теңдігін түсіндіру үшін үш қызыл, үш көк шаршыны алып, әрбір қызыл шаршыға бір көк шаршыны сәйкес қояды (шаршыны бір - біріне беттестіріп қояды, оларды кесінділермен қосады т.с.с), яғни қызыл және көк түсті шаршылар жиындары арасында өзара бірмәнді сәйкестік орнатылады. 3 < 4 теңсіздігін көрсету үшін үш элементті жиын мен төрт элементті жиынның үш элементті ішкі жиындарының арасында өзара бірмәндік сәйкестік орнатылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3. Бөлінгіштік қатынасы туралы ұғым.

Үлкен натурал сан a - ны кіші натурал сан Ь - ге бөлінгенде қалдық нольге тең болса, а санының b санына бүтіндей бөлінетінін білеміз. Сондай - ақ, егер натурал сан a , натурал сан Ь - ден артық болса, онда әрқашан да мынадай теңдікті қанағаттандыратын q мен г екі санды табуға болатындығы да тағайындалады: a = bq + г, мұндағы q мен г өкі санды табуға болатындығы да тағайындалады: a = bg+ r, мұндағы q - үлкен санды (a - ны) кіші санға (Ь - ге) бөлгендегі бөлінді де, г - қалдық. Қалдықсыз бөліну натурал сандардың осы жалпы қасиетінің бір дербес жағдайы екендігі, атап айтқанда, г - 0 болып, a = bq теңдігі шығатын жағдай екендігі айқын.

Бұл жағдайда а саны(бөлінгіш) Ь санының еселігі деп, ал Ь саны a - санының бөлгіші деп аталады.

а саны Ь санына бөлінеді, а саны Ь санының бөлгіші деген сөйлемдердің мағына жағынан бір - біріне барабар екендігін ескерейік.

a = bq теңдігіне қарағанда қандай да бір натурал санның (Ь) еселігі (а) ол сан мен екінші бір натурал санның (q) көбейтіндісі болып табылатындығы шығады. Егер a - bq болса, онда бөлудің мағынасы бойынша a ; q - Ь; демек, а саны q санының да еселігі болып табылады. Бұдан көбейтінді (а) өзінің әрбір көбейткіштерінің (Ь мөн q -дың) еселігі болып табылатындығы шығады. Көбейтудің терімділік және ауыстырымдылық заңдарын пайдалана отырып, бұл қортындының көбейткіштер саны қанша болса да тура болатындығын дәлелдеу оңай.

Дұрысында да, егер N - abc.f болса, онда терімділік қасиеті бойынша N : a = bc.f.

Демек, А/ саны - көбейткіш a - ның еселігію екінші жағынан, егер N = abc...f болса, онда ауыстырымдылық қасиеті бойынша N = bac.f ; терімділік қасиеті бойынша N = b(ac.f), ал бөлудің мағынаса бойынша N : b = ac.f.

Демек, N көбейткіш b - нің де еселігі.

Осылайша N саны өзінің басқа да қалған көбейткіштерінің әрқайсысының еселігі болып табылатындығын тағайындауға болады.

Бөлінгіштік қатынасын белгілеу үшін ерекше таңба - тігінен орналасқан үш нүкте қолданылатындығын еске саламыз.

Сонда a : b жазуын былай оқу керек: а саны Ь санына қалдықсыз бөлінеді немесе а саны Ь санының еселігі. Ал бұл қатыс орындалмайтын болса, онда бұл жағдайда «а саны Ь - ге бөлінбейді» дейтін боламыз.

Сандардың бөлгіштігінің белгілері.

Сандардың 2 - ге, 5 - ке, 4 - ке, 25 - ке, 8 - ге, 125 - ке, 3 - ке және 9 - ға бөлінгіштігінің белгілері.

2 - ге бөлінгіштік белгісі. Берілген санның соңғы цифры 2 - ге бөлінетін болса сондай  сандар, төк қана сондай сандар 2 - ге бөлінеді.

5 - ке бөлінгіштік белгісі. Берілген санның ондық жүйеде  жазылуындағы соңғы цифры 0 немесе 5 болса, тек сонда ол сан 5 - ке бөлінеді.

4 - ке және 25 - ке бөлінгіштік  белгілері. Берілген санның ондық жүйеде жазылуы екі нольмен аяқталса немесе оның соңғы екі цифрымен өрнектелетін сан 4 - ке (немесе 25 - ке) бөлінетін болса, сондай сандар, тек қана сондай сандар, 4 - ке (нөмесе 25 - ке) бөлінеді.

8 - ге және 125 - ке бөлінгіштік  белгілері. Берілген санның ондық  жүйеде жазылуы үш нольмен  аяқталатын болса немесе оның соңғы үш цифрымен өрнектелетін сан 8 - ге (немесе 125 - ке) бөлінетін болса, сондай сандар, тек қана сондай сандар, 8 - гө (немесе 125- ке) бөлінеді.

3 - ке және 9 - ға бөлінгіштік  белгісі. Санның ондық жүйеде  жазылуындағы цифрларының қосындысы 3 - ке немесе 9 - ға бөлінетін сандар, тек қана сондай сандар 3 - ке (немесе 9 - ға) бөлінеді.

Соңында бір немесе бірнеше нольдері бар бірмен өрнектелген сандардың қандайы болса да немесе 10 - ның натурал дәрежелері түріндегі сандар 9 - ға өселік сан мен бірдің қосындысы болып табылады.

 

 

 

 

 

2.4.    Геометриялық    фигуралар    және    олардың    қатынастары.

Геометриялық білімінің пайда болатын көзі біреу, ол тәжірибе. Ойын, әртүрлі жұмыс т.с.с. түрінде айналадағы табиғат, тіршілік жағдайларымен танысудан балалар геометрияның негізгі түсініктері туралы ұғым алады. Тәжірибе және бақылау, геометриялық білімінің бастапқы көздері болады.

Геометриялық білімінің пайда болуының екінші жолы логикалық ойлау   болып   табылады.   Жоғарыда   келтірілгендер   геометриялық білімінің пайда болу көздері. Дұрысында, бақылау тәжірибе қандай оңай болғанмен де, қандай нақтылы түрде кездескенмен де, оқушы тіпті жеңіл желпі түрде болса да талқылап тексермей, логикалық жүйеге соқпай кете алмайды. Мысалы, шырпыдан салынған үщбұрыш пен квадратты салыстырғанда көрінеді.