Тригонометрические функции и их графики

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ  РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

 

Учреждение образования 

«Гомельский государственный  университет 

имени Франциска Скорины»

 

Заочный факультет 

                                                        

Кафедра Высшей математики

                                                                           

 

 

Тригонометрические функции и их графики

 

Курсовая работа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исполнитель

студент группы М-51                      __________                 Е.В.Марухленко

 

 

 

Научный руководитель

_______________________           _____________             ____________

      ученая степень, звание                               подпись                            И.О.Ф.

 

 

 

 

 

 

 

 

Гомель 2013

                                                   

Реферат

Курсовая работа 43 страницы, 30 рисунков, 6 таблиц, 12 источников.

Ключевые слова: курсовая работа, тригонометрические функции, свойства, графики, тригонометрические уравнения, методы решения, примеры решения  тестовых заданий.

Объект исследования: тригонометрические функции и их графики

Цель работы: изучение тригонометрических функций, их свойств

и графиков.

 

Первый раздел «Тригонометрические функции, их свойства и графики».  Приведены основные теоретические сведения: обобщенное понятие угла, числовой окружности на координатной плоскости, определение тригонометрических функций; таблицы значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; основное тригонометрическое тождество и основные тригонометрические формулы, основные свойства тригонометрических функций и их графиков.

Второй раздел «Методы решения тригонометрических уравнений». Изложены основные методы решения тригонометрических уравнений, рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений.

Третий раздел «Примеры решения тестовых заданий» . Рассмотрены примеры решения тестовых заданий тригонометрических уравнений .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

Реферат

 

Введение………………………………………………………….………5

 

Раздел 1. Тригонометрические функции и их графики……………7

1.1 Обобщение понятия угла. Числовая окружность на координатной

       плоскости………………………………………………………….…………...7

2. Синус и косинус. Тангенс и котангенс………………………...….….……..10
3. Тригонометрические функции углового аргумента……...………...…..…..11
4. Четность и нечетность тригонометрических функций……….….………...13

  1.5 Основные тригонометрические тождества…………………………….……13

6. Основные тригонометрические формулы…………………………………15
1. Формулы приведения……………………………………………………15
2. Теоремы сложения……………………………………………………….16
3. Формулы двойного аргумента. Формулы половинного  аргумента.18
4. Преобразование суммы и разности тригонометрических   функций 

в  произведение и обратные преобразования………………..……….20

  1.7 Области определения и множества значений тригонометрических

        функций…………………………………………………………………..…..22

8. Периодичность тригонометрических функций…………………………….22
9. Интервалы знакопостоянства тригонометрических функций……………23 

  1.10 Графики тригонометрических функций………………………………….24

1.10.1 График функции и ее свойства……………………………….24

1.10.2 График функции ……………………………………………….25

1.10.3 График функции …………………………………...26

  1.11 Гармонические колебания…………………………………………………27

 

Раздел 2. Методы решения  тригонометрических уравнений……29

 

  2.1 Тригонометрические уравнения…………………………………………...29

  2.2 Уравнения, сводимые к алгебраическим………………………………….31

  2.3 Однородные уравнения…………………………………………………...…..32

  2.4 Уравнения, решаемые методом разложения на множители……………..33

  2.5 Уравнения, решаемые методом введения дополнительного угла……….34

  2.6 Метод универсальной подстановки…………………………………………35

  2.7 Метод оценок…………………………………………………………………35

  2.8 Уравнения, решаемые понижением степени уравнения…………………..37

  2.9  Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических

         произведений в сумму или разность………………………………………...37

  2.10 Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических сумм

          (разностей) в произведение…………………………………………………37

 

Раздел3. Примеры  решения тестовых заданий……………………39

 

Заключение……………………………………………………………..42

 

Список используемых источников………………………………….43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Термин «тригонометрия»  происходит от греческих слов «тригонон» —треугольник и «метрио»— измеряю, что вместе означает «измерение треугольника».

Потребность в измерении  углов возникла так же давно, как и потребность в измерении расстояний. Одним из стимулов развития тригонометрии была необходимость определения времени, определения положения корабля в открытом море или каравана в пустыне.

Изучая зависимость между сторонами и углами треугольника, древние нашли способы вычислений различных элементов треугольника.

Некоторыми знаниями тригонометрии владели ученые Древнего Вавилона. Об этом свидетельствует тот факт, что вавилоняне умели предсказывать солнечные и лунные затмения. На одной из глиняных табличек Древнего Вавилона (2 тыс. лет до н. э.) решается задача, в которой по известному диаметру круга и высоте сегмента вычисляется длина хорды,

что соответствует установлению связи между синусом и косинусом.

Древнегреческие ученые владели методами решения прямоугольных треугольников. Астроном и математик Гиппарх (II в. до н. э.) составил таблицы хорд— первые тригонометрические таблицы.

Одним из значительных достижений в составлении тригонометрических таблиц было сочинение К. Птолемея (II в.) «Альмагест». В этой работе собраны и обобщены различные известные к тому времени сведения по астрономии и смежным с нею наукам. Здесь же приводится таблица хорд, составленная в шестидесятеричной системе счисления через полградуса от 0 до 180 . По существу таблица хорд является таблицей синусов от 0° до 90°. Птолемей вывел также формулы, которые в современных обозначениях выглядят так: ^,

. Эти сведения по тригонометрии использовались главным образом для решения задач практической астрономии, для определения не доступных расстояний.

Дальнейшее развитие тригонометрии осуществили ученые Индии и Ближнего и Среднего Востока. Ими были введены синус, косинус, тангенс, котангенс, положено начало радианной мере угла. Тригонометрические знания, накопленные арабскими математиками, достигли такого уровня, что тригонометрию стали считать отдельным разделом математики.  

Впервые обозначать синус и косинус знаками и стал

И. Бернулли в письме 1739 г. к Эйлеру. Эйлер принял эти обозначения и систематически применял их.

После Эйлера тригонометрия  приобрела форму исчисления: различные  факты стали доказываться путем  формального применения формул тригонометрии, доказательства стали  намного компактнее, проще.

В настоящее время изучению тригонометрических функций именно как функций числового  аргумента уделяется большое  внимание в школьном курсе алгебры  и начал анализа. Существует несколько  различных подходов к преподаванию данной темы в школьном курсе. Тригонометрические функции представляют собой наиболее удобное и наглядное средство для изучения  всех свойств функций (до применения производной), а в особенности  такого свойства многих природных процессов как периодичность. Поэтому их изучению следует уделить пристальное внимание, что обуславливает актуальность изучения исследуемой работы.

Цель работы: изучение тригонометрических функций, их свойств

и графиков.

Гипотеза: изучение тригонометрических функций будет более эффективным, в том случае когда:

1) перед введением тригонометрических функций проведена достаточно широкая пропедевтическая работа  с числовой окружностью;

2) числовая окружность рассматривается не только как самостоятельный объект, но и как элемент декартовой системы координат;

3) построение графиков осуществляется после исследования свойств тригонометрических функций, исходя из анализа поведения функции на числовой окружности;

4) Выделить основы формирования умений, необходимых для решения тригонометрических уравнений.

Для  решения проблемы исследования, проверки достоверности гипотезы и достижения  цели реализуются следующие задачи:

1) исследование научно-методической литературы по этой теме;

2) проведение логико-дидактического анализа изложения этой темы в современных учебных пособиях;

3) обобщение и систематизация полученных сведений.

 

 

         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 1. Тригонометрические функции и их графики

 

1.1 Обобщение понятия угла. Числовая окружность на координатной

             плоскости

В геометрии угол определяется как фигура, образованная двумя лучами, исходящими из общей точки; при этом не делается различия между сторонами  угла: угол или ВОА считаются одинаковыми. Кроме того нигде в геометрии не встречаются отрицательные углы.

Установим более общий  взгляд на угол как на алгебраическую величину, которая может принимать  любые значения: положительные, отрицательные  или нуль.

Проведем ось ОР из начала О и произвольным радиусом r опишем окружность. Пусть эта окружность пересекает

 ось ОР в точке А (рисунок 1). Если М—произвольная точка

 на окружности, то ей соответствует вектор , который в

     Рисунок 1           дальнейшем будем называть радиус-вектором точки М. Тогда угол АОМ равный α будем считать образованный вращением вектора в направлении против движения часовой стрелки от первоначального положения ОА до положения ОМ: ОА—начальная сторона угла (неподвижная сторона) ОМ—конечная сторона.

Определение 1: угол α считается положительным, если он образован вращением вектора против часовой стрелки, отрицательным, если вектор вращается по часовой стрелки.

Однако данному положению  ОМ конечной стороны угла α соответствует  не единственный угол α: вектор , повернувшись сначала в положительном направлении на угол α, может после этого совершать любое целое число оборотов в положительном или отрицательном направлении, после чего конец его неизменно окажется в той же фиксированной точке М. Следовательно, данному положению конечной стороны угла соответствует бесчисленное множество углов как положительных, так и отрицательных. Все эти углы получаются по формуле : ,где k—любое  целое число, в том числе и нуль,

Пример 1.1

Если радиус-вектор повернуть в положительном направлении на угол 120° относительно начальной стороны ОА, то такому положению вектора соответствуют

а) положительные углы 120°, 480°, 840°, 1200°,….

       б) отрицательные углы (–240°), (–600°), (–960°),….

Все названные углы содержаться  в формуле . При для углов а) и при для отрицательных углов б)

     Расположим числовую окружность в декартовой прямоугольной системе координат (рисунок 2): центр окружности совместим с началом координат, ее радиус примем за масштабный отрезок. Начальная точка числовой окружности — это точка (1; 0), при этом -- Для любой точки числовой окружности выполняются неравенства:

         Рисунок 2        .

Нетрудно составить уравнение  числовой окружности,  поскольку  ее центром служит начало координат, а радиус равен 1. 

        Уравнение числовой окружности имеет вид .

Нам важно научиться отыскивать координаты точек числовой окружности.

Начнем с точек: ; ; и .

Числу соответствует точка М₁ на рисунке 3. Опустим из точки М₁ перпендикуляр М₁Р на прямую ОА и рассмотрим  треугольник ОМ₁Р. Так как дуга АМ₁ составляет половину дуги АВ, то соответствующий дуге АМ₁ центральный угол окружности равен 45°, т. е. POM₁ = 45°. Значит, ОМ₁Р — равнобедренный  прямоугольный треугольник; его катеты ОР и М₁Р равны, т. е. у точки М₁ абсцисса и ордината равны. Кроме того, координаты точки M₁(x; у) удовлетворяют уравнению окружности х² + у² = 1. Значит,