Тригонометрические функции и их графики

    Все приводимые ниже формулы разбиты на несколько групп и справедливы при произвольных значениях угла α (естественно, входящих в область определения соответствующих функций), хотя применяются преимущественно в тех случаях, когда угол α—острый.

1. Формулы этой группы позволяют избавиться от рассмотрения отрицательных углов:

 

 

2. Формулы этой группы позволяют избавиться от рассмотрения углов, больших 2π:

 

 

     Эти формулы выражают свойства периодичности соответствующих функций.

3. С помощью этих формул можно получить выражение функций данного угла через функции угла, не превышающего развернутый:

 

 

4. Эти формулы позволяют получить выражение функции данного угла через функцию острого угла:

 

 

    Пример1.4

     Вычислить

 

     Решение:

;

;

;

;

;

..

После подстановки получим: P=–1+sin²α+cos²α=0

Ответ:0

 

     1.6.2   Теоремы сложения

 

     Здесь речь пойдет о преобразовании тригонометрических выражений. Для этого используются различные тригонометрические формулы, основные из которых мы внимательно рассмотрим.

Пожалуй, самыми важными  в тригонометрии являются теоремы сложения для косинуса и теоремы сложения для синуса.

Теорема 3. Для любых двух углов α и β справедливы тождества:

                (13)

     Доказательство: В тригонометрическом круге с центром в начале координат О проведем радиусы ON и OM, образующие с положительным направлением оси Ох данные углы α и β соответственно. Кроме того , проведем радиусы ОА и ОР, образующие с осью Ох соответственно угол в 0 радиан и угол (α–β), рисунок 17.

     Рассмотрим треугольник ОМN и ОАР. Эти треугольники

        Рисунок 17        являются равнобедренными, поскольку их боковые стороны являются радиусами тригонометрического круга; углы при вершине в этих треугольниках по построению равны. Следовательно эти треугольники равны, а поэтому, равны их основания, т.е. MN=AP.

     По определению тригонометрических функций координаты рассматриваемых точек таковы:

А(1;0); М(); N(); P().

     Если известны координаты концов отрезка, то через них можно выразить квадрат длины этого отрезка. Тогда

и

 

     Как уже доказано, длины MN и АР равны, следовательно и квадраты их равны, поэтому имеет место равенство

 

     Из этого равенства вытекает утверждение теоремы.

 

     Замечание - приведенное доказательство небезупречно—не ясно, что произойдет,

     если рассматриваемые треугольники не существуют, т.е. если разность углов α и β

    кратна π. Этот случай придется рассмотреть отдельно.

 

     Итак, пусть . При этом, доказываемое тождество принимает вид:

 

     Пользуясь формулами приведения

 

 

его можно переписать в  виде

 

т.е. для данного случая доказываемое тождество есть просто равносильная форма записи основного  тригонометрического тождества, следовательно, рассматриваемое тождество справедливо.

Теорема доказана.

     Докажем теорему 4: для любых двух углов α и β справедливо тождество:

                                (14)

     Доказательство: представим сумму (α+β) в виде и применим только что доказанную теорему, а также воспользуемся свойствами  нечетности синуса и четности косинуса. Получаем:

 

Теорема доказана.

     Теперь докажем теорему 5: для любых двух углов α и β справедливо тождество:

                                 (15)

     Доказательство: воспользуемся формулами приведения и формулой косинуса разности, получим

 

Теорема доказана.

     Осталось доказать теорему 6: для любых двух углов α и β справедливо тождеств:

                                (16)

     Доказательство: представим разность в виде суммы и применим формулу синуса суммы, а также воспользуемся свойствами нечетности синуса и четности косинуса. Получим

 

Теорема доказана.

     Выше мы получили формулы, выражающие синус и косинус суммы и разности аргументов через синусы и косинусы аргументов. Далее речь пойдет о том, как тангенс суммы или разности аргументов выражается через тангенсы аргументов.

     Теорема 7. Для любых двух углов α и β таких, что ,

 , , k, n, mZ справедливо тождество

                                                 (17)

     Доказательство: Воспользуемся формулами синуса и косинуса суммы и определением тангенса и для произвольных допустимых значениях α и β запишем:

 

Теорема доказана.

     Приведенные  ниже формулы доказываются аналогично.

                                                 (18)

                                            (19)

                                               (20)

 

     1.6.3 Формулы двойного аргумента. Формулы половинного

               аргумента

 

     Здесь речь пойдет о формулах тригонометрии, позволяющих

выразить sin2α, cos2α, tg 2α и ctg 2α через sin α, cos α, tg α и ctg 2α. Эти формулы обычно называют формулами двойного аргумента.

     Рассмотрим выражение sin 2α, представив при этом 2α в виде α + α. Это позволит применить к выражению sin (α + α) формулу синуса суммы:

 

     Итак,

                                            (21)

     Рассмотрим выражение cos 2α, представив при этом 2αв виде α + α. Это позволит применить к выражению cos (α + α) формулу косинуса суммы:

 

     Итак,

                                     (22)

     Рассмотрим выражение tg 2α, представив при этом 2α в виде α + α. Это позволит применить к выражению tg (α + α) формулу «тангенс суммы»:

 

     Итак,

                                                 (23)

     Рассмотрим выражение ctg 2α, представив при этом 2α в виде α + α. Это позволит применить к выражению ctg (α + α) формулу «котангенс суммы»:

 

Итак,

                                             (24)

     Формулы синуса двойного аргумента и косинуса двойного аргумента справедливы для любых значений аргумента (никаких ограничений нет), тогда как формула тангенса двойного аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента х, для которых определены tg α и tg 2α, а также отличен от нуля знаменатель дроби, т. е. , а формула котангенса двойного аргумента справедлива лишь для тех значений аргумента х, для которых определены сtg α и сtg 2α, а также отличен от нуля знаменатель дроби, т. е.

Разумеется, формулы двойного аргумента можно применять и  в тех случаях, когда место  аргумента α занимает более сложное выражение. Например, справедливы следующие соотношения:

                                        (25)

                                             (26)

                                          (27)

     Если в формуле   ^{заменить}   на

  получим: ^{т. e.}

^{. Значит,}

                                                     (28)

     Если в формуле   ^{заменить}   на

  получим: ^{т. e.}

^{. Значит,}

                                                     (29)

     Эти две последние формулы обычно называют формулами понижения степени.

 

Замечание 2 - полученные две формулы называют также  формулами половинного

аргумента, поскольку они позволяют, зная значение cos α, найти значения синуса и

косинуса половинного  аргумента . Впрочем, с помощью этих формул можно

найти и значение тангенса и котангенса половинного аргумента:

                                                            (30)

                                                          (31)

 

1.6.4 Преобразование суммы и разности тригонометрических

             функций в произведение и обратные преобразования

 

     Здесь речь пойдет о формулах, особенно полезных при решении тригонометрических уравнений, поскольку они  позволяют сумму или разность синусов или косинусов разложить на множители.

     Рассмотрим выражение Применив формулы синуса суммы и синуса разности, получим:

 

     Итак,

 (a)

     Введем обозначения: Если эти равенства сложить, получим: , т. е . Если же из равенства

 вычесть равенство  , получим: , т. е.

 . А теперь заменим в формуле (a) на , на , на ,   на . Тогда формула (a) примет вид:

                               (32)

     Воспользовавшись тем, что , и формулой суммы

синусов, находим, что 

 

     Итак,

                               (33)

     Рассмотрим выражение Применив формулы косинуса суммы и косинуса разности, получим:

 

     Итак,

 

     Введем обозначения: получим (как при

выводе формулы (1)):

                              (34)

     Рассмотрим выражение Применив

формулы косинуса суммы и  косинуса разности, получим:

 

     Итак,

 

     Перейдя к переменным , получим:

                            (35)

     При всех значениях а и β, отличных от + πk, имеют место равенства:

                                     (36)

                                    (37)

     При всех значениях а и β, отличных от πk, имеют место равенства:

                                  (38)

                                   (39)

     Известно, что любая математическая формула на практике применяется как справа налево, так и слева направо. Поэтому неудивительно, что в тригонометрии приходится осуществлять и «движение в обратном направлении»:  преобразовывать произведение тригонометрических функций в сумму. Об этом и пойдет речь.

     Мы видели, что .

Отсюда получаем:

                           (40)

Мы видели, что .

Отсюда получаем:

                        (41)

Мы видели, что 

Отсюда получаем:

                        (42)

Таковы три формулы, позволяющие  преобразовать  произведение тригонометрических функций в сумму.

 

1.7 Области определения и множества значений тригонометрических функций

     1. Областью определения функций и : является множество всех действительных чисел, т. е. интервал

В самом деле, будучи координатами конца дуги, измеряющейся числом х, эти функции имеют определенное значение, каково бы ни было действительное число х.

2. Областью определения функции является бесконечное множество интервалов

….,

В самом деле, функция  имеет смысл для любых дуг, кроме дуг, оканчивающихся в точках и _{; эти последние дуги} измеряются числами . Исключив числа из множества всех действительных чисел, получим бесконечное множество интервалов

  .

Аналогично устанавливается, что 

3. Областью определения  функции  является бесконечное множество интервалов

4. Множеством значений функции , а также функции является сегмент [—1, 1].

Иными словами, косинус (синус) может принимать любое действительное значение, принадлежащее сегменту [—1, 1 ].

5. Множеством значений функции , а также функции является множество всех действительных чисел ().

Из изложенного следует, что функции  и ограничены,

так как , , а функции и неограничены (в соответствующей области определения).

 

1.8 Периодичность тригонометрических функций

     Пусть вектор в единичном круге образует угол α с осью (рисунок 1). Если к аргументу, т.е. к углу α прибавим любое целое число оборотов, то конец вектора окажется в прежней точке окружности и от такого увеличения аргумента на целое число оборотов значения тригонометрических функций не изменятся, каков бы ни был исходный угол α.

     Определение 4: функция называется периодической, если существует число, отличное от нуля, прибавление которого к любому значению аргумента не меняет значения функции.

     Определение 5: наименьшее положительное число, прибавление которого к любому значению аргумента не меняет значения функции, называют периодом функции.

     Все тригонометрические функции периодичны, причем период синуса, косинуса, секанса и косеканса равен 2π, а для тангенса и котангенса период равен π.

    Свойство периодичности функции следует записывать следующим образом: , где Т—период функции (рисунок 18)

По отношению к тригонометрическим функциям, аргумент которых  обозначим  через , свойство периодичности запишется так:

 

 

              Рисунок 18                                              

                                                                            

 

 

1.9 Интервалы знакопостоянства тригонометрических функций 

Функция . Косинус положителен (отрицателен) для дуг, оканчивающихся в правой (левой) открытой полуокружности. Следовательно, в интервале и (в силу периодичности косинуса) во всех интервалах вида (правая полуокружность) .