Тригонометрические функции и их графики

     При уравнения (3) и (4) равносильны. Из уравнения (4) 

находим , а затем соответствующие значения .

 

     Пример 2.10

Решить уравнение  .

Решение. Разделим обе части уравнения на : и , Z.

Ответ: Z.

     Пример 2.11

Решить уравнение 

Решение. Разделим обе части уравнения на : , , , , Z.

 Ответ: Z.

 

2.4 Уравнения, решаемые методом разложения на множители

     При решении уравнений этого пункта нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители  алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения и  деления и искусственные приемы.

     Очень хорошо, если уравнение удаётся представить в таком виде, что в левой части стоит произведение двух или нескольких множителей, а в правой части -ноль. Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Сложное уравнение, таким образом, распадается в совокупность более простых.

 

     Пример 2.12

     Решить уравнение

     Применяем формулу синуса двойного угла:

     Ни в коем случае не сокращайте на косинус! Ведь может случиться, что обратится в нуль, и мы потеряем целую серию решений. Переносим всё в одну часть, и общий множитель- за скобки:

Полученное уравнение  равносильно совокупности двух уравнений: . Решаем каждое из них и берём объединение множества решений.

     Пример 2.13

     Рассмотрим  уравнение 

     Применим формулу  суммы синусов: 

     Дальше действуем так же, как и в предыдущей задаче:

     Решаем уравнение 1:                       

     Решаем уравнение 2: .       

     Если в формуле (1) число n кратно 5, то мы получаем все решения

серии (2).

     Поэтому ответ:

     Пример 2.14

     Ещё пример, где финальное разложение на множители поначалу замаскировано:

     Здесь используем формулу понижения степени:

(которая является ни  чем иным, как переписанной в  другом виде формулой косинуса  двойного угла). Получаем: и дальше ясно.

 

2.5 Уравнения, решаемые методом введения дополнительного угла

 

    Этот метод применяется для уравнений вида . Он присутствует в школьных учебниках. Правда, в них рассматриваются только частные случаи - когда числа являются значениями синуса и косинуса углов в 30◦, 45◦ или 60◦.

 

     Пример 2.15

     Рассмотрим уравнение .

Делим обе части на 2: Замечаем что

     В левой части получили синус суммы: . Откуда

     Пример 2.16

     Другой пример:

     Делим обе части на . Сделаем теперь для разнообразия в левой части косинус разности: = ±,

 

    Рассмотрим теперь общий случай уравнения

    Делим обе части на : + =.  

    Для чего мы выполнили это деление? Всё дело в получившихся коэффициентах при косинусе и синусе. Легко видеть, что сумма их квадратов равна единице: +=1. Это означает, что данные коэффициенты сами являются косинусом и синусом некоторого угла :   =

    Соотношение + =тогда приобретает вид: или

Исходное уравнение сведено к простейшему. Теперь понятно, почему рассматриваемый метод называется введением дополнительного угла. Этим дополнительным углом как раз и является угол .

 

Пример 2.17

    Снова решим уравнение

Делим обе части на ; . Существует угол такой, что =, =. Например, =

Получаем: =, , − = , x = ± , x =± ,

 

2.6 Метод универсальной подстановки

    Запомним две важные формулы: =, =,

Их ценность в том, что  они позволяют выразить синус  и косинус через одну и ту же функцию -тангенс половинного угла. Именно поэтому они получили название универсальной подстановки. Единственная неприятность, о которой не надо забывать: правые части этих формул не определены при Поэтому если применение универсальной подстановки приводит к сужению ОДЗ, то данную серию нужно проверить непосредственно.

 

Пример 2.18

Решим уравнение  .

Выражаем , используя универсальную подстановку: ,

Делаем замену Получаем кубическое уравнение:

Оно имеет единственный корень . Стало быть, откуда

Сужения ОДЗ в данном случае не было, так как уравнение с  самого начала содержало 

 

Пример 2.19

Рассмотрим уравнение

А вот здесь использование  универсальной подстановки сужает ОДЗ. Поэтому сначала непосредственно подставляем в уравнение и убеждаемся, что это решение. Теперь обозначаем = и применяем универсальную подстановку: 6 + 6

После простых алгебраических преобразований приходим к уравнению:

Следовательно, =

Ответ:

 

2.7 Метод оценок

В некоторых уравнениях на помощь приходят оценки ,

 

Пример 2.20

Рассмотрим уравнение 

Так как оба синуса не превосходят  единицы, данное равенство может  быть выполнено лишь в том случае, когда они равны единице одновременно:

 

 

Таким образом, должны одновременно выполняться следующие равенства:  
 

Обратим внимание, что сейчас речь идёт о пересечении множества решений (а не об их объединении, как это было в случае разложения на множители). Нам ещё предстоит понять, какие значения удовлетворяют обоим равенствам. Имеем:

Умножаем обе части  на 90 и сокращаем на π:

Правая часть, как видим, должна делиться на 5. Число при делении на 5 может давать остатки от 0 до 4; иначе говоря, число может иметь один из следующих пяти видов Для того, чтобы делилось на 5, годится лишь .

Искать , в принципе, уже не нужно. Сразу находим :

Ответ:

Пример 2.21

Рассмотрим уравнение

Ясно, что данное равенство  может выполняться лишь в двух случаях: когда оба синуса одновременно равны 1 или −1. Действуя так, мы должны были бы поочерёдно рассмотреть две системы уравнений.

Лучше поступить по-другому: умножим обе части на 2 и преобразуем  левую часть в разность косинусов:

Тем самым мы сокращаем работу вдвое, получая лишь одну систему:

 

 

Имеем:

 

⇔

 

 

                                                          

Ищем пересечение:

Умножаем на 21 и сокращаем  на π:

Данное равенство невозможно, так как в левой части стоит  чётное число, а в правой -нечётное.

Ответ: решений нет.

 

2.8 Уравнения, решаемые понижением степени уравнения

     При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.

 

Пример 2.22

Решить уравнение .

Применяя формулу, получим  равносильное уравнение.

 

.

Ответ. ; .

 

2.9 Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических   произведений в сумму или разность

Пример 2.23

Решить уравнение 

Решение.  Применим  к  левой  и  правой  частям  уравнения  формулу 

 

Получим: ,

Применив формулу для  разности косинусов, получим уравнение : распадающееся на два уравнения

 

 

 

Совокупность решений  х₁ содержит совокупность решений х₂.

Ответ:

 

2.10 Уравнения, решаемые преобразованием тригонометрических сумм (разностей) в произведение

Пример 2.24

Решить уравнение:

Решение.  Преобразуя  сумму  двух  и  сумму  последних  двух слагаемых левой части в  произведение, получим 

Применим еще раз формулу 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 3. Примеры  решения тестовых заданий

    Тесты  обеспечивают  простоту  проверки  ответов  учеников  и позволяют выявить пробелы в их знаниях. Тесты - это достаточно краткие  испытания  и  предназначены  для  того,  чтобы  оценить успешность овладения конкретными знаниями, как отдельных разделов программы, так и всего курса в целом (итоговые тесты). Грамотно  составленные  тесты  являются  объективными  показателями обученности школьников. 

     Задания теста,  составлены согласно теории по теме «Тригонометрические уравнения» в пределах учебного материала для учащихся 10 класса,  предназначены для проверки уровня знаний, умений и навыков учащихся по данной теме и могут помочь выпускникам при подготовке к  ЕГЭ. 

 

       Пример 3.1

     Решить уравнение

     Зная, что   запишем. Подставляя значение в исходное уравнение, получим

     Полученное уравнение равносильно совокупности двух простейших уравнений:

1. , откуда и
2. откуда , поскольку областью значений функции является отрезок, а число не принадлежит этому отрезку.

 

Пример 3.2

Решить уравнение 

Запишем уравнение в виде:

ОДЗ:  

 

 

Приведем в левой части  уравнения дроби к общему знаменателю  и применим основное свойство пропорции. Получим . Запишем . Подставляя это выражение в последнее уравнение, запишем . Поскольку , то .

Выполняя очевидные преобразования, получим:

.

, ,

.

Полученное уравнение  равносильно совокупности трех уравнений: простейшего уравнения  и двух однородных уравнений относительно . Рассмотрим их решения:

1. , откуда
2. .
3. .

Объединим решения второго и третьего уравнений. С этой целью отберем  несколько последовательных корней этих уравнений:

Если 

          Если

Нанесем полученные числа  на координатную

Рисунок 28                         прямую, как на рисунке 28. Замечая, что . Запишем

Ответ:

 

Пример 3.3

Решить уравнение

 
Преобразуем правую часть уравнения  следующим образом

Затем перенесем все слагаемые  в левую часть и получим

ОДЗ уравнения (6) являются все  , за исключением . На данной ОДЗ уравнение равносильно совокупности двух уравнений

Первое уравнение имеет  решение  , а второе . Однако ОДЗ принадлежат лишь , которые и являются решением исходного уравнения 
     Ответ: 

 

Пример 3.4

Найдите сумму всех корней уравнения: принадлежащих отрезку

Решение. Применяя формулу основного тригонометрического тождества, формулу двойного угла  и формулу приведения, получим: ^{, ,}

Так как левая часть  уравнения содержит два множителя, а правая часть тождественно равна нулю, то рассмотрим два случая:

1. , откуда
2. , . Откуда

Произведем отбор корней уравнения на отрезке, изображено на рисунке 29.

     Если , то при . При .    Найдем сумму полученных корней уравнения: -π-.

          Рисунок 29                    Ответ: .

 

Пример 3.5

Укажите количество корней уравнения 3sin²x+0,75sin2x-2,5cos²x = cos°3x, принадлежащих отрезку [0; π].

Решение. Запишем уравнение в виде

Применив основное тригонометрическое тождество, запишем число 2 как:

^{а исходное уравнение  примет вид:}

Получили однородное уравнение второго порядка относительно .

Разделим обе его части  на и решим квадратное уравнение относительно : , откуда и . На отрезке [0; π] строим график функции и , как изображено на рисунке 30. Поскольку график функции пересекает прямые и в двух точках, то исходное уравнение имеет два корня.

 Ответ: два

     Рисунок 30

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В данной работе были рассмотрены  методы решения тригонометрических уравнений.

Приведены основные теоретические  сведения: определение и свойства тригонометрических функций; выражение  тригонометрических функций через  другие тригонометрических функции, что  очень важно для преобразования тригонометрических выражений; приведены основные тригонометрические формулы. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений. Результаты данной дипломной работы могут быть использованы в качестве учебного материала при подготовке курсовых и дипломных работ, при составлении факультативов для школьников, так же работа может применяться при подготовке учащихся к вступительным экзаменам и централизованному тестированию.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Список использованных источников

1. Калнин, Р. А. Алгебра и элементарные функции/ Р.А. Калнин. М.: 1967.– 464 с.
2. Новоселов, С. И. Специальный курс тригонометрии/ С.И. Новоселов –М.: Высшая школа, 1966.– 536 с.
3. Бородуля, И. Т. Тригонометрические уравнения и неравенства: кн. для учителя/ И.Т. Бородуля – М.: Просвещение, 1989. – 239 с.
4. Тригонометрия/ Ю.Ю. Громов [ и др.]. –Тамбов.: Изд-во Тамб. гос. техн. ун-та, 2003. –104 с.
5. Гельфанд, И. М. Тригонометрия/ И.М. Гельфанд, С.М. Львовский, А.Л. Тоом – М.: МЦНМО, 2002.– 199 с.
6. Мордкович, А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс: учебник для учащихся общеобразовательных  учреждении (профильный уровень): в 2 ч./ А.Г. Мордкович, П. В. , Семенов. –6-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2009. – Ч. 1.– 424 с.
7. Якушева, Е. В. Математика (все для экзамена: учебное пособие/ Е. В. Якушева, А. В. Попов, А. Г. Якушев.– М., 2001.–199с.–( ЗАО изд. Экономика /Учебно-научный центр довузовского образования).
8. Алгебра: учебник для 9 класса общеобразовательных учреждений/ Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк , К.И. Нешков, С.Б. Суворова.– 5-е изд., Москва, 2000.―271с.
9. Сиротина, И. К. Математика: пособие для подготовки к централизованному тестированию и экзамену/ И.К. Сиротина – Минск,  Тетра-Системс, 2010. – 400 с.
10. Жафяров, А. Ж. Математика ЕГЭ: решение задач уровня СЗ: учебное  пособие / А. Ж. Жафяров. – Новосибирск: Сиб. унив. изд-во, 2010. –181с.
11. Мальцев,  Д. А. Математика: все для ЕГЭ/ Д.А. Мальцев, А.А. Мальцев, А.И. Мальцева А.―Ростов н/Д. изд. Д.А. Мальцев: М.: Народное образование, 2012. – Кн. 2.– 206 с.
12. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений/ А.Н. Колмогоров [и др.]; под ред. А.Н. Колмогорова.– 7-е изд., доп.– М.: Просвещение, 1998.―365 с.