Тригонометрические функции и их графики

чтобы найти координаты точки М₁  нужно решить

          Рисунок 3        систему уравнений

при условии, что х>0, у > 0.  Решением является пара чисел ).Итак, М₁()=). Проанализируем полученное равенство. Что означает запись М₁()? Она означает, что точка М₁ числовой окружности  соответствует числу .А что означает запись М₁ )? Она означает, что точка М₁

имеет соответствующие координаты в прямоугольной системе координат хОу. И в дальнейшем будем придерживаться подобного способа записи: если будет написано M(t), то это значит, что точка М числовой окружности соответствует  числу t; если написано М(х; у), то это значит, что числа х и у являются соответственно абсциссой и ординатой точки М. Таким образом, (х; у) — декартовы координаты точки М, a t — «криволинейная» координата точки М на числовой окружности.

Рассмотрим точку М₂()— середину второй четверти.  Рассуждая, как и выше, получим для модуля абсциссы и модуля  ординаты этой точки те же значения: . Но во второй  четверти х < 0, а у > О, значит,

М₂()=М₂).

Для точки М₃ () — середины третьей четверти — получаем:

М₃ ()= М₃).

Для точки М₄() — середины четвертой четверти — имеем:

М₄()= М₄).

Оформим полученные результаты в виде таблицы 1:

Таблица 1

                                                Рисунок 4

Теперь найдем координаты  точек, изображенных на рисунке 3. Из точки М₁( ) опустим перпендикуляр М₁Р на прямую ОА и рассмотрим  прямоугольный треугольник ОМ₁Р (рисунок 5). Гипотенузой этого треугольника является отрезок ОМ₁ и причем OM₁ = 1. Угол М₁ОР  равен 30°, поскольку дуга АМ₁ составляет треть дуги АВ. Известно, что катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, М₁Р =, тем самым найдена ордината точки М₁: у = (в первой четверти у > 0).

Абсциссу точки M₁ найдем с помощью теоремы Пифагора:

        OM₁²– М₁Р² =

        Рисунок 5                    

Получаем: (в первой четверти х > 0).

Итак, М₁( )=М₁(;).

Возьмем точку М₂ (). Треугольник М₂0К равен треугольнику М₁ОР (рисунок 5), поэтому М₂ ()= М₂ (; ).

    Те же самые абсолютные значения ( и ) будут иметь координаты точек ; ; ; ; ; (рисунок 3). По чертежу нетрудно определить, какая координата равна по модулю числу , а какая — числу —Возьмем для примера точку М₃() (рисунок 3). Числу соответствует точка третьей четверти, в которой х < 0 и у < 0; далее, для точки М₃ выполняется неравенство |у| < |х| (рисунок 5), значит, |x|=, а |y|=.

    Таким образом,

М₃()= М₃()

    Проведя аналогичные рассуждения, можно найти декартовы координаты остальных точек.

    Оформим результаты в виде таблицы 2.

    Таблица 2

                                              Рисунок 6

 

    1.2 Синус и косинус. Тангенс и котангенс

 

    Определение 2. Если точка М числовой окружности  соответствует числу t, то абсциссу точки М называют косинусом числа t и обозначают cos t, а ординату точки М называют синусом числа t и обозначают sin t.

    Итак, рисунок 7

    Мы отметили, что для любой точки М(х; у) числовой окружности выполняются неравенства: –1 ≤ х ≤ 1, –1 ≤ у ≤1.

Отсюда следует, что      –1 ≤ sin t ≤ 1,

                              –1 ≤ cos t ≤1.

Каждая точка М числовой окружности имеет в системе хОу  координаты х и у, причем если точка М находится в  первой четверти, то х > 0, у > 0; если точка М находится во второй четверти, то х < 0, у > 0; если точка М находится в  третьей четверти, то х < 0, у < 0; если точка

               Рисунок 7         М находится в  четвертой четверти, то х > 0, у < 0.

    Это позволяет составить  соответствующую таблицу 3 знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности:

Таблица 3

                          Рисунок 8             

Определение 3. Отношение синуса числа t к косинусу того же числа называют тангенсом числа t и обозначают tg t. Отношение косинуса числа t к синусу того же числа называют котангенсом числа t и обозначают ctg t.

;

    Говоря о tg t подразумевают, что cos t ≠ 0, т. е. что t ≠ , а говоря о ctg t, подразумевают, что sin t ≠0, т. е. что t≠. Поэтому обычно определения tg t и ctg t записывают так:

                               (1)

                                          (2)

Опираясь на таблицу знаков синуса и косинуса по четвертям числовой окружности нетрудно  составить аналогичную таблицу 4 для тангенса и котангенса:

Таблица 4

                          Рисунок 9            

 

1.3 Тригонометрические функции углового аргумента

Из геометрии известно, что синус (косинус) острого угла — это 

отношение катета прямоугольного треугольника к его гипотенузе, тангенс (котангенс) угла — это отношение катетов прямоугольного треугольника.

Возьмем угол с градусной  мерой α° и построим его в модели «числовая окружность на координатной 

плоскости» так, как показано на рисунке 10 вершину угла совместим с центром окружности (с началом системы

координат), а одну сторону угла  совместим с положительным лучом оси абсцисс. Точку пересечения второй стороны угла с

      Рисунок 10       окружностью обозначим буквой М. Ординату точки М естественно считать синусом угла α°, а абсциссу этой точки — косинусом угла α°. Для отыскания синуса или косинуса угла а° совсем не  обязательно каждый раз делать указанные построения. Достаточно учесть, что дуга AM составляет такую же часть длины числовой окружности, какую угол α° составляет от угла 360°. Если длину дуги AM обозначить буквой t, то получим:

; ; т.е.

Таким образом,

; ;

    Например,

;

.

    30°, 90° — это градусная мера угла, а , — радианная мера того же угла: 30° = рад, 90° = . Вообще

                                               (3)

    В частности,

 

    Например, 35°=

    Так что же такое 1 радиан? Мы знаем, что есть различные меры длины: сантиметры, метры, ярды и т. д. Есть и различные меры для обозначения величины угла. Мы рассматриваем  центральные углы единичной окружности. Угол в 1° — это центральный угол, опирающийся на дугу, составляющую часть окружности. Угол в 1 радиан — это центральный угол,  опирающийся в единичной окружности на дугу длиной 1, а в 

окружности произвольного  радиуса — на дугу, длина которой равна радиусу окружности.

    Из формулы 1 рад = получаем, что 1 рад = 57,3°.

    Составим с помощью формулы (3) таблицу 5 радианной и градусной меры некоторых углов:

Таблица 5    

                                                 Рисунок 11

    Завершая этот пункт, убедимся в том, что определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса, которые мы изучали в геометрии, представляют собой частные случаи тех определений, что были предложены в этой главе.

    Теорема 1. Если а,b, с — катеты и гипотенуза  прямоугольного треугольника ABC (рисунок 12), то выполняются следующие равенства:

;  ; 

     Доказательство. Совместим прямоугольный треугольник ABC числовой окружностью так, как показано на рисунке 13 вершину А поместим в центр окружности, катет АС «пустим» по положительному направлению оси абсцисс. Точку пересечения гипотенузы АВ с окружностью обозначим буквой М. Опустим из очки М перпендикуляр МР на прямую АС.

Заметим, что АР и МР — абсцисса и ордината точки

          Рисунок 12               М, т. е. АР = cos А, МР = sin А. Учтем также, что AM = 1 (радиус числовой окружности равен 1) и что АВ = с,

 АС = b, ВС = а. Так как треугольники AMP и ABC подобны, то

, т.е .

Из пропорции , находим, что .

Из пропорции , находим, что .

Далее, ; .

 Теорема доказана.

     Рисунок 13          

 

1.4.Четноcть и нечетность тригонометрических функций

    Теорема 2. Косинус является четной функцией, т. е. cos (—α) = cos α; синус, тангенс и котангенс являются нечетными функциями, т. е. sin(–) = –sin α, tg(–α) = –tgα ,ctg(–α) = ctgα.

       Рисунок 14                          Рисунок 15    

Доказательство. Точки Μ и М₁ единичной окружности, изображающие взаимно противоположные значения аргумента α и –α, симметричны относительно оси ОХ (рисунок 14). Следовательно, точки Μ и М₁ имеют одну и ту же абсциссу х=OB и взаимно противоположные ординаты у= ВΜ и –у = ВМ₁ откуда х=cos = –cos α и sin(–α)= –y = –sin α

Для функции tg α имеем tg(–α)= == –tgα (рисунок 15)

и аналогично: ctg(–α)=  –ctg α, ч. т. д.

     Пример 1.2

 sin (зо)=–sin 30= – , cos (6о)=,

tg (45)= – tg 45= –1, ctg (зо)= – ctg зо= –, sin ()= – sin = –1,

cos ()= cos = .

 

1.5 Основные тригонометрические тождества

    Рассмотрим, как связаны между собой синус и косинус одного и того же угла.

    Пусть при повороте радиуса ОА вокpyг точки О на угол а получен радиус ОВ (рисунок 16). По определению sin α=, cos α=, где х—абсцисса точки В,  у—ее ордината, а r—длина радиуса ОА. Отсюда х=r cosα, y=r sinα

     Так как точка В принадлежит окружности с центром в начале координат, радиус которой равен r, то ее координаты удовлетворяют уравнению х²+у²=r². Подставив в это уравнение вместо х и у выражения

r cosα и r sinα, получим: (r cos α)²+(R sin α)²=r².

Разделив обе части  последнего равенства на r² , найдем, что

                                 (4)

Равенство (4) верно при любых значениях α.

        Рисунок 16         Сумма квадратов синуса и косинуса одного и того же угла равна 1

    По определению tg α=. Так как х=r cosα, y=r sinα, то , таким образом

                                                           (5)

    Тангенс угла есть отношение синуса этого угла к косинусу того же угла (предполагается, что cos α0).

    По определению ctg α=. Аналогично

Следовательно,

                                                          (6)

   Котангенс угла есть отношение косинуса этого угла к синусу того же угла (предполагается, что sin α0).

    Равенство (5) верно при всех значениях α, при которых cоsα≠ 0, а равенство (6) верно при всех значениях α, при которых sinα ≠0.

    Если к тождествам (4), (5) и (6) присоединить еще два:

                                                           (7)

                                                     (8)

то получим пять независимых  друг от друга соотношений между  шестью тригонометрическими функциями одного и того же угла.

    Выведем некоторые следствия из равенств (4)–(8): ,

т.е.

                                                  (9)

или

                                                            (10)

    Котангенс угла есть величина, обратная тангенсу, и наоборот.

    Разделим обе части равенства на cos²α, а затем на sin²α; получим ;

    На основании равенств (5) и (7) имеем:

                                              (11)

   Подобным же образом делением обеих частей того же равенства (4) на sin²α получим:

                                             (12)

   Равенства (4)—(10) являются тождествами. Их называют основными тригонометрическими тождествамu. Рассмотрим примеры использования этих тождеств для нахождения значений тригонометрических функций по известному значению oдной из них.

    Пример 1.3

    Найдем cos α, tg α и ctg α, если известно, что = и .

    Найдем сначала cos α. Из формулы , получаем, что =1–. Так как α является yглом II четверти, то eгo косинус

отрицателен. Значит,

Зная синус и косинус  угла α, можно найти eго тангенс:

Для отыскания котангенса угла α удобно воспользоваться формулой . Имеем:

Итак,

 

1.6 Основные тригонометрические формулы

 

    1.6.1 Формулы приведения

 

    Формулами приведения называются формулы, дающие выражение тригонометрических функций от аргументов

 

через функции от аргумента  α.

    Значения тригонометрических функций произвольных углов, используя формулы приведения, можно выразить через значения функций острого угла.