Тригонометрические функции и их графики

В интервале  и во всех интервалах имеем .

     Функция. Синус положителен (отрицателен) для дуг, оканчивающихся в верхней (нижней) полуокружности; следовательно, в интервале , а также во всех интервалах функция положительна. В интервале во всех интервалах функция отрицательна.

     Функция . Для дуг, оканчивающихся в I четверти (открытой), тангенс положителен, а для дуг, оканчивающихся в IV четверти (открытой), тангенс отрицателен, поэтому в интервале и   в интервале . Рассмотрение функции в интервалах, соответствующих остальным четвертям, излишне; в силу того, что π есть период тангенса, имеем в интервалах (I и III четверти) и в интервалах (II и IV четверти).

     Функция положительна (отрицательна) в тех же интервалах, что и .

 

1.10 Графики тригонометрических функций

     Для построения графика тригонометрической функции достаточно выполнить построение на каком-либо сегменте, охватывающем период данной функции, и затем периодически продолжить построенный график. Если выполнено построение графика в первой четверти, то, пользуясь известными свойствами тригонометрических функций, можно выполнить построение графика и в других четвертях.

     Повторим свойства каждой из тригонометрический функций для построения их графиков.

 

1.10.1 График функции и ее свойства.

 

     Свойство 1. Область определения — множество R действительных чисел.

    Свойство 2. — нечетная функция.

    Значит, график функции , как график любой нечетной функции, симметричен относительно начала координат в  прямоугольной системе координат.

   Свойство 3. Функция возрастает на отрезке и убывает на отрезке

    Свойство 4. Функция ограничена и снизу и сверху.

Это следует из того, что  для любого t справедливо неравенство 

 

    Свойство 5. y_min = (этого значения функция достигает в любой точке вида ); y_max = 1 (этого значения функция достигает в любой точке вида ).

    Свойство 6. Функция периодическая, ее основной период равен .

     Воспользовавшись полученными свойствами, построим график интересующей нас функции.

     Сначала построим график функции на отрезке

     При этом договоримся о следующем масштабе на осях координат: на оси ординат 1 см = 1 (т. е. в ваших тетрадях в клеточку роль единичного отрезка на оси у составит отрезок в две клеточки); на оси абсцисс 1 см (две клеточки) = . Это, конечно, не совсем соответствует действительности (на самом деле 1,05), но на это при построении графика особого внимания не обращают.

     Составим таблицу 6 значений функции

     Таблица 6

Рисунок 19

     Отметим эти точки на координатной плоскости и соединим их плавной кривой. Это график функции на отрезке [0; π] (рисунок 20).

Обратите внимание на плавность  графика в точке  и на то, что из начала координат

кривая выходит как  бы под углом 45°. Добавив к построенной линии симметричную ей относительно начала координат, получим график функции на отрезке

                 Рисунок 20                   [] (рисунок 21).

     Наконец, воспользуемся тем, что 2π — основной период  функции . Это значит, что на отрезке график функции

выглядит так же, как  на отрезке . Так же график будет выглядеть на отрезках и т. д.

     Окончательный вид графика функции

 x представлен на рисунке 22.

Линию, служащую графиком функции 

                    Рисунок 21                       называют синусоидой.

 

     Опираясь на построенный график, отметим еще несколько свойств функции .

     Свойство 7. — непрерывная функция.

                     Рисунок 22                            Свойство 8. Область значений функции — отрезок

     Свойство 9. Функция выпукла вверх на отрезке выпукла

вниз на отрезке и т. д.

 

     1.10.2 График функции

 

     Изучение функции можно было бы осуществить примерно по той же схеме, которая была использована для функци . Но мы выберем более короткий путь. Воспользуемся формулой . Она позволяет утверждать, что функции и тождественны, значит, их графики совпадают. Построим график функций

                        Рисунок 23                                       . Для этого перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке ( и построим график функции в новой системе координат — это и будет график функции в старой системе координат (рисунок 23), т. е. график функции . Его, как и график функции , называют синусоидой (что вполне естественно).

 

     1.10.3 График функции

 

     Тангенсоида — так называется график функции .

     На полусегменте тангенс возрастает от 0 до +, следовательно, график имеет вертикальную асимптоту . Для уточнения графика следует воспользоваться известными значениями тангенса, а также тригонометрическими таблицами. Построение с какой угодно степенью точности можно выполнить геометрически следующим образом. Достаточно разделить первую четверть тригонометрического круга и промежуток на некоторое (одинаковое) количество равных частей и перенести линии тангенса в качестве ординат,

        Рисунок 24               восставленных в соответствующих точках, как показано на рисунке 24.

     Из свойства нечетности тангенса следует симметричность линии относительно на-

чала координат; таким  образом, для построения графика  в промежутке достаточно график, построенный в промежутке продолжить по нечетности (симметрично относительно начала координат). Построив график в интервале и продолжив его периодически (с периодом π), получим представленную на рисунке 24 линию.

     Построение графика функции .

     Тождество показывает, что для построения

графика котангенса достаточно сместить тангенсоиду влево на расстояние и отразить ее симметрично, как в зеркале, относительно оси абсцисс (рисунок 25, пунктиром помечена ветвь тангенсоиды).

                                                           Рисунок 25

 

1.11 Гармонические  колебания

   Величины, меняющиеся согласно закону

                                 (1)

Или

 (2)

играют важную роль в физике. По такому закону меняется, например, координата шарика, подвешенного на пружине (рисунок 26). Говорят, что этот шарик совершает гармонические колебания.

     Функцию (2) тоже можно записать в виде (1): .

     Параметры , и , полностью определяющие колебание (1), имеют

 

                Рисунок 26                  специальные названия: —называют амплитудой колебания, —циклической (или круговой) частотой  колебания, —начальной фазой колебания (обычно берут ). Период функций и  , равный , называют периодом гармонического колебания.

     Свойства функции (1) и (2) удобно проиллюстрировать на следующем примере из механики. Пусть точка движется равномерно по окружности радиуса с угловой скоростью (при вращение против часовой стрелки, а при по часовой стрелке), причем в начальный момент времени составляет угол с положительным направлением оси абсцисс (рисунок 27). Рассмотрим две следующие функции от координаты проекций точки на оси абсцисс и

      Рисунок 27            ординат—функции .

В момент времени  вектор составляет с положительным направлением оси угол , при этом согласно закону равномерного движения по окружности. По определению функций синус и косинус

 

 

     Изучим свойства этих функций, опираясь на кинематические соображения. Их период равен, очевидно, времени , за которое точка совершает один оборот. Длина окружности равна , а линейная скорость точки равна .

     Рассмотрим один из моментов времени t₀, в который точка занимает крайнее правое положение. Тогда x(t₀), y(t₀)=0. Начиная с этого момента времени функция будет попеременно убывать от до на первой половине периода и возрастать от  до на второй половине периода. При этом точки максимума функции —это моменты времени, когда точка занимает крайнее правое положение; точки минимума соответствуют крайнему левому положению, а нули—верхнему и нижнему положениям.

     Аналогичными свойствами обладает и функция ; ее точки максимума и минимума соответствуют верхнему и нижнему положениям точки на окружности, а нули—правому и левому положениям.

      Отметим, что соответственно .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Раздел 2. Методы решения тригонометрических уравнений

2.1Тригонометрические уравнения

    К определению тригонометрического уравнения различные  авторы учебных пособий подходят по-разному. Мы назовем  тригонометрическим уравнением равенство тригонометрических выражений, содержащих неизвестное (переменную) только под знаком  тригонометрических функций. Уравнения ; . суть тригонометрические уравнения. Уравнения и т.д. не являются тригонометрическими, они относятся к типу трансцендентных уравнений и, как правило, решаются  приближенно или графически. Может случиться так, что уравнение не является тригонометрическим согласно определению, однако оно может быть сведено к тригонометрическому. Например, ы видим, что х-6 не содержится под знаком  тригонометрических функций, однако оно решается аналитически: и , .

     Решить тригонометрическое уравнение — значит найти все его корни — все значения неизвестного, удовлетворяющие  уравнению. При решении тригонометрических уравнений мы будем  пользоваться известными тригонометрическими формулами. 

     Простейшими тригонометрическими уравнениями являются: . Для решения

различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. Перейдем к рассмотрению решения тригонометрических уравнений различных видов.

     Уравнение вида

     Уравнение может иметь решение только при . Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:

  и .         (43)

    Частные случаи.

     1. Если

     2. Если .

     3. Если

     Пример 2.1

Решите уравнение  .

Решение. , , Z.

Ответ: Z.

     Пример 2.2

Решите уравнение  .

 Решение. , Z.

Ответ: Z.

 

     Уравнение вида

     Уравнение может иметь решение только при . Известно, что решение этого уравнения находят по обобщенной формуле:

                  (44)

    Полезно знать, что .

    Частные случаи.

     1. Если , то

     2. Если cosx= -1, то

 

    Пример 2.3

Решите уравнение .

Решение. , , Z.

Ответ: Z.

     Пример 2.4

Решите уравнение .

Решение. , ,     , , Z.

Ответ: Z.

 

     Уравнение вида

     Известно, что решение данного уравнения находят по  обобщенной формуле:

                                   (45)

     Полезно помнить, что

 

     Пример 2.5

Решите уравнение .

Решение. , , , Z.

Ответ: Z.

     Пример 2.6

Решите уравнение .

Решение. , , , , , Z.

 Ответ: Z.

 

     Уравнение вида

     Известно, что решение данного уравнения находят по формуле

, где и                      (46)

Полезно помнить, что 

 

     Пример 2.7

 Решить уравнение .

 Решение. , Z.

Ответ: Z.

 

2.2 Уравнения, сводимые к алгебраическим

     Это уравнения, сводимые к одной и той же функции  относительно одного и того же неизвестного выражения, входящего только

под знак функции.

     Тригонометрические уравнения ,

;

уже сведены к алгебраическим. Действительно, положив в них соответственно , получим

алгебраические уравнения: и . Решив каждое из них, найдем ,

     Уравнения не являются по виду алгебраическими, но их можно свести к алгебраическим: , и

 

     Пример 2.8

Решить уравнение 

Решение. , , , .

1) , следовательно решений нет.

2) , Z.

Ответ: Z.

     Пример 2.9

Решить уравнение .

Решение. , , , , .

1) , Z.

2) , Z.

Ответ: , Z.

 

2.3 Однородные уравнения

     Уравнения ;

 и т.д. называют 

однородными относительно и . Сумма показателей степеней при и у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения.  Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень. Делением на , где — степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно  функции .

     Рассмотрим уравнение (1). Разделим уравнение (1) на , получим: (2). При (1) и (2) равносильны, так как . Если же , то из уравнения (1) видно, что и , что невозможно, так как теряет смысл тождество ( и при одном и том же значении х в нуль не обращаются). Из уравнения (2) определяем значения , а затем находим соответствующие  значения . Очевидно, что при значения не существуют на множестве , а потому уравнение (2), а значит, и уравнение (1) решений не имеют.

     Уравнение (3) в таком виде не является однородным, но его можно привести к однородному, умножив его правую часть на : т.е.